Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Các bài toán khó về quan hệ vuông góc, tài liệu bao gồm 111 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Các bài toán khó về quan hệ vuông góc

CÁC BÀI TOÁN KHÓ VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1. Phương pháp vector.

Đây là một phương pháp rất mạnh để xử lý các bài toán có yếu tố vuông góc ví dụ như hình hộp chữ nhật, hình lập phương, khối tứ diện đều. Trước tiên ta cần phải tìm hiểu các kiến thức nền tảng của phương pháp này.

1.1 Cơ sở của phương pháp vector.

1.1.1 Quy tắc hình hộp.

Nếu \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình hộp thì \[\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c \].

1.1.2 Quy tắc trọng tâm tứ diện.

G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra

1. \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \].

2. \[\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MG} ,\forall M\]

1.1.3 Quy tắc đồng phẳng.

Điều kiện cần và đủ để ba vector \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] đồng phẳng là có các số m, n, p không đồng thời bằng 0 sao cho \[m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \]

1. Cho hai vector không cùng phương khi đó điều kiện cần và đủ để ba vec tơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] đồng phẳng là có các số m, n sao cho \[\overrightarrow c  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b \].

2. Nếu ba vector \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]không đồng phẳng thì mỗi vec tơ \[\overrightarrow d \] đều có thể phân tích một cách duy nhất dưới dạng \[\overrightarrow d  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c \].

1.2 Các dạng toán và phương pháp giải.

Dạng 1. Chứng minh đẳng thức vector.

Phương pháp giải. Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc trừ ba điểm, quy tắc trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ giác, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp,...để biến đổi vế này thành vế kia.

Bài tập 1.

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng

\[{\overrightarrow {SA} ^2} + {\overrightarrow {SC} ^2} = {\overrightarrow {SB} ^2} + {\overrightarrow {SD} ^2}\]

2. Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB và CD thỏa mãn điều kiện \[\overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {MB} \], \[\overrightarrow {ND}  =  - 2\overrightarrow {NC} \]; các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho \[\overrightarrow {IA}  = k\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {JM}  = k\overrightarrow {JN} ,\overrightarrow {KB}  = k\overrightarrow {KC} \].

Chứng minh với mọi điểm O ta có \[\overrightarrow {OJ}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OI}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OK} \].

Dạng 2. Ba vector đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng.

Phương pháp giải. Để chứng minh ba vector \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] đồng phẳng ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau

1. Chứng minh giá của ba vector \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]cùng song song với một mặt phẳng.

2. Phân tích \[\overrightarrow c  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b \] trong đó \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] là hai vector không cùng phương.

Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ta có thể chứng minh ba vector \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \] đồng phẳng. Ngoài ra có thể sử dụng kết quả quen thuộc sau. Điều kiện cần và đủ để điểm D ∈ (ABC) là với mọi điểm O bất kì ta có \[\overrightarrow {OD}  = x\overrightarrow {OA}  + y\overrightarrow {OB}  + z\overrightarrow {OC} \] trong đó x + y + z = 1. Tính chất trên gọi là tâm tỉ cự trong không gian.

Bài tập 2.

1. Cho tứ diện ABCD, các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi P, Q lần lượt là các điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {PA}  = k\overrightarrow {PD} ,\overrightarrow {QB}  = k\overrightarrow {QC} \] (k ≠ 1). Chứng minh M, N, P, Q đồng phẳng.

2. Cho tứ diện ABCD, các điểm M, N xác định bởi \[\overrightarrow {MA}  = x\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NB}  = y\overrightarrow {ND} \] (x, y ≠ 1). Tìm điều kiện giữa x và y để ba vector \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {MN} \] đồng phẳng.

3. Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\], M, N là các điểm thỏa \[\overrightarrow {MA}  =  - \frac{1}{4}\overrightarrow {MD} ;\overrightarrow {NA'}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {NC} \]Chứng minh MN // (BC’D).

4. Cho lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\]. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của \[\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {CC'} \]và G là trọng tâm của tam giác \[A'B'C'\]. Chứng minh \[(MGC')//(AB'N)\].

5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành . Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Mặt phẳng \[(AB'D')\]cắt SC tại C’. Tính \[\frac{{SC'}}{{SC}}\].

6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi K là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M, N. Chứng minh \[\frac{{SB}}{{SM}} + \frac{{SD}}{{SN}} = 3\].

7. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh AB, AC, AD lấy các điểm K, E, F. Các mặt phẳng (BCF), (CDK), (BDE) cắt nhau tại M. Đường thẳng AM cắt (KEF) tại N và cắt mặt phẳng (BCD) tại P. Chứng minh \[\frac{{NP}}{{NA}} = 3\frac{{MP}}{{MA}}\].

8. Cho đa giác lồi A₁A₂...A_n (\[n \ge 2\]) nằm trong (P) và S là một điểm nằm ngoài (P). Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh SA₁, SA₂,..., SA_n của hình chóp S.A₁A₂...An tại các điểm B₁, B₂,.., B_n sao cho \[\frac{{S{A_1}}}{{S{B_1}}} + \frac{{S{A_2}}}{{S{B_2}}} + ... + \frac{{S{A_n}}}{{S{B_n}}} = a\]. Chứng minh rằng mặt phẳng (α) luôn đi qua một điểm cố định.

Dạng 3. Tính độ dài đoạn thẳng.

Phương pháp giải. Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vector ta sử dụng cơ sở \[{\overrightarrow a ^2} = \left| {{{\overrightarrow a }^2}} \right| \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow a }^2}} \]

Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau

1. Chọn ba vector không đồng phẳng \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.

2. Phân tích \[\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c \]. Khi đó

\[MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow {MN} }^2}}  = \sqrt {{{\left( {m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c } \right)}^2}} \]

= \[\sqrt {{m^2}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {n^2}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + {p^2}{{\left| {\overrightarrow c } \right|}^2} + 2\sum {mn\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)} } \]    

Bài tập 3.

1. Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a và các góc \[\widehat {BAA'} = \widehat {BAD} = \widehat {DAA'} = {60^0}\].Tính độ dài đường chéo \[AC'\].

2. Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]có tất cả các mặt đều là hình vuông canh a. Lấy M thuộc đoạn \[A'D\], N thuộc đoạn BD với AM = DN = x (0 < x < a\[\sqrt 2 \]). Tính MN theo a và x.

Bài tập 4.

1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD, biết rằng AB = CD = a, MN = \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

2. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính góc gữa đường thẳng MN với các đường thẳng AB, BC và CD.

3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn noại tiếp tam giác BCD. Chứng minh AO⊥CD.

4. Cho tứ diện ABCD có CD = \[\frac{4}{3}\]AB. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Cho biết JK = \[\frac{5}{6}\]AB. Tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB.

5. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. Gọi O là điểm thỏa mãn OA = OB = OC = OD và G là trọng tâm của tam giác ACD, gọi E là trung điểm của BG và F là trung điểm của AE. Chứng minh OF vuông góc với BG khi và chỉ khi OD vuông góc với AC.

6. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều

Chứng minh AB⊥CD.

Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.

7. Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]cạnh a. Trên các cạnh DC và BB’ lấy các điểm M và N sao cho MD = NB = x (\[0 \le x \le a\]). Chứng minh rằng

\[AC' \bot B'D'\].

\[AC' \bot MN\].

8. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {EA}  = k\overrightarrow {EB} \], \[\overrightarrow {FD}  = k\overrightarrow {FC} \] còn P, Q, R là các điểm xác định \[\overrightarrow {PA}  = l\overrightarrow {PD} ,\overrightarrow {QE}  = l\overrightarrow {QF} ,\overrightarrow {RB}  = l\overrightarrow {RC} \]. Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng.

9. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của IJ.

Chứng minh \[2\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \].

Chứng minh \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = 0\].

Xác định vị trí của M để \[\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right|\] nhỏ nhất.

10. Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Xác định vị trí các điểm M, N lần lượt trên AC và \[D'C\] sao cho \[MN//BD'\]. Tính tỉ số \[\frac{{MN}}{{BD'}}\].

11. Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] có các cạnh đều bằng a và các góc \[\widehat {B'A'D'} = {60^0},\widehat {B'A'A} = \widehat {D'A'A} = {120^0}\]?

Tính góc giữa các cặp đường thẳng \[AB\] với \[A'D\]; \[AC'\] với \[B'D\].

Tính diện tích các tứ giác \[A'B'CD\] và \[A'B'CD\].

Tính góc giữa đường thẳng \[AC'\] với các đường thẳng \[AB,AD,AA'\].

12. Chứng minh rằng diện tích của tam giác ABC được tính theo công thức

\[S = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2}A{C^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} \]

13. Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho \[\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BN}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AQ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DP}  = k\overrightarrow {DC} \]. Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng.

14. Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC. Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng (BCM), (CAN), (ABP) và J là giao điểm của ba mặt phẳng (ANP), (BPM), (CMN). Chứng minh S, I, J thẳng hàng và \[\frac{{MS}}{{MA}} + \frac{{NS}}{{NB}} + \frac{{PS}}{{PC}} + 1 = \frac{{JS}}{{JI}}\].

15. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, \[\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = \alpha \]. Gọi (β) là mặt phẳng đi qua A và các trung điểm của SB, SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (β).

16. Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (α) cắt các tia SA, SB, SC, SG lần lượt tại các điểm \[A',B',C',G'\], với G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh \[\frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} = 3\frac{{SG}}{{SG'}}\].

17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại \[A',B',C',D'\]. Chứng minh \[\frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} = \frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SD}}{{SD'}}\].

18. Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c. Một mặt phẳng (α) luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại \[A',B',C'\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[\frac{1}{{SA{'^2}}} + \frac{1}{{SB{'^2}}} + \frac{1}{{SC{'^2}}}\].

19. Cho tứ diện ABCD, M là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng AM, BM, CM, DM cắt các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) lần lượt tại \[A',B',C',D'\]. Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với (BCD) lần lượt cắt \[A'B',A'C',A'D'\] tại các điểm B₁, C₁, D₁.Chứng minh M là trọng tâm của tam giác B₁C₁D₁.

20. Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. Gọi S là diện tích toàn phần. Chứng minh rằng \[\frac{1}{{{a^2}{b^2}}} + \frac{1}{{{b^2}{c^2}}} + \frac{1}{{{c^2}{a^2}}} \le \frac{9}{{{S^2}}}\].

21. Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] và các điểm M, N, P xác định bởi \[\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \] (\[k \ne 0\]), \[\overrightarrow {NB}  = x\overrightarrow {NC'} \], \[\overrightarrow {PC}  = y\overrightarrow {PD'} \]. Hãy tính x, y theo k để ba điểm M, N, P thẳng hàng.

22. Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng \[AA',BC,C'D'\] lần lượt tại M, N, P sao cho \[\overrightarrow {NM}  = 2\overrightarrow {NP} \]. Tính \[\frac{{MA}}{{MA'}}\].

23. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và BC = \[a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA = AB và SA ⊥ BC.

Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC.

Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J.

25. Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.

Chứng minh AD ⊥ BC.

Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB thỏa mãn điều kiện \[\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {ND}  = k\overrightarrow {NB} \]. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC.

26. Cho hình hộp thoi \[ABCD.A'B'C'D'\] có tất cả các cạnh đều bằng a và thỏa mãn điều kiện \[\widehat {ABC} = \widehat {B'BA} = \widehat {B'BC} = {60^0}\]. Chứng minh \[AC \bot B'D'\].

27. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AD. Cho biết AB = CD = 2a và MN = \[a\sqrt 3 \]. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

28. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC.

Chứng minh MN ⊥ RP, MN ⊥ RQ.

Chứng minh AB ⊥ CD.

29. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.

Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.

Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD.

30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh AD (M khác A và D). Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.

Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.

Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x?

Bài tập 5. [Các bài toán khó]

1. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (α) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm \[B',C',D'\] khác A. Gọi h_A, h_B, h_C lần lượt là khoảng cách từ A, B, C, D đến mặt phẳng (α). Chứng minh rằng \[h_B^2 + h_C^2 + h_D^2 \ge 3h_A^2\].