Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Hướng dẫn giải các dạng toán vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc, tài liệu bao gồm 113 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Hướng dẫn giải các dạng toán vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc

CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

BÀI 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

A. Tóm tắt lí thuyết

I. Các định nghĩa

1. Véctơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu và điểm cuối).

2. Véctơ - không là véctơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

3. Ký hiệu véctơ: \[\overrightarrow {AB} \] (điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow x ,\overrightarrow y ,...\]

4. Độ dài của véctơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của véctơ đó. Kí hiệu \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\], \[\left| {\overrightarrow a } \right|\].

5. Giá của véctơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véctơ đó.

6. Hai véctơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

7. Hai véctơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.

8. Hai véctơ bằng nhau là hai véctơ cùng hướng và có cùng độ dài.

Tức là $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff \left\{\begin{array}{c}cung phuong\\ \left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|\end{array}\right.$

9. Hai véctơ đối nhau là hai véctơ ngược hướng nhưng vẫn có cùng độ dài.

10. Các phép toán cộng, trừ, nhân véctơ với một số được định nghĩa tương tự trong mặt phẳng.

II. Các quy tắc tính toán với véctơ

1. Quy tắc ba điểm (với phép cộng): \[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \].

2. Quy tắc ba điểm (với phép trừ): \[\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {AB} \].

3. Quy tắc ba điểm (mở rộng):

 \[\overrightarrow {A{X_1}}  + \overrightarrow {{X_1}{X_2}}  + \overrightarrow {{X_2}{X_3}}  + ... + \overrightarrow {{X_{n - 1}}{X_n}}  + \overrightarrow {XnB}  = \overrightarrow {AB} \].

4. Quy tắc hình bình hành:

a) \[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \].

b) \[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AE} \]

trong đó ABCD là hình bình hành và E là trung điểm của BD.

5. Quy tắc hình hộp:

\[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \]

trong đó \[ABCD.A'B'C'D'\] là một hình hộp.

1. I là trung điểm của đoạn thẳng AB

 ⇔ \[\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OI} \]

(với O là một điểm bất kỳ).

2. G là trọng tâm của tam giác ABC

\[\begin{array}{l}\overrightarrow { \Leftrightarrow GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \] (với O là một điểm bất kỳ, M là trung điểm cạnh BC).

3. G là trọng tâm của tứ diện ABCD

⇔ \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {OG} \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AG}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AA'} \] (với điểm O bất kỳ, A 0 là trọng tâm của ∆BCD)

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  = \overrightarrow 0 \] (với M, N là trung điểm 1 cặp cạnh đối diện).

4. \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] \[ \ne \overrightarrow 0 \] cùng phương ⇔ ∃k ∈ R : \[\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \]

5. \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] \[ \ne \overrightarrow 0 \] cùng hướng ⇔ ∃k ∈ R⁺ : \[\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \]

6. \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] \[ \ne \overrightarrow 0 \] ngược hướng ⇔ ∃k ∈ R⁻ : \[\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \]

7. Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ∈ R : \[\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \]

III. Điều kiện đồng phẳng của ba véctơ

Định nghĩa 1. Trong không gian, ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

Hệ quả 1. Nếu có một mặt phẳng chứa véctơ này đồng thời song song với giá của hai véctơ kia thì ba véctơ đó đồng phẳng.

Định lí 1. (Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng) Trong không gian cho hai véctơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \]  không cùng phương và véctơ \[\overrightarrow c \]. Khi đó \[\overrightarrow a \], \[\overrightarrow b \]  và \[\overrightarrow c \] đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số (m; n) sao cho \[\overrightarrow c  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b \] (cặp số (m; n) nêu trên là duy nhất).

Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng

 ⇔ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \] đồng phẳng ⇔ \[\overrightarrow {AB}  = m.\overrightarrow {AC}  + n.\overrightarrow {AD} \].

IV. Phân tích một véctơ theo ba véctơ không đồng phẳng

Định lí 2. Cho ba véctơ \[\overrightarrow a \], \[\overrightarrow b \]  và \[\overrightarrow c \]  không đồng phẳng. Với mọi véctơ \[\overrightarrow x \], ta đều tìm được duy nhất một bộ số (m; n; p) sao cho \[\overrightarrow x  = m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b  + p.\overrightarrow c \].

V. Tích vô hướng của hai véctơ

Định nghĩa 2.

1. Nếu \[\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \] và \[\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \] thì \[\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\].

2. Nếu \[\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \] hoặc \[\overrightarrow b  = \overrightarrow 0 \] thì \[\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\]

3. Bình phương vô hướng của một véctơ: \[{\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\]

Một số ứng dụng của tích vô hướng

1. Nếu \[\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \] và \[\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \]  ta có \[\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\]

2. Công thức tính côsin của góc hợp bởi hai véctơ khác \[\overrightarrow 0 \]:

\[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\]

3. Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng:

\[AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}} \]

B. Các dạng toán

DẠNG 1.1. Xác định véctơ và các khái niệm có liên quan

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa của các khái niệm liên quan đến véctơ (xem mục 1)

Dựa vào tính chất hình học của các hình hình học cụ thể.

Ví dụ 1. Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Hãy xác định các véctơ (khác \[\overrightarrow 0 \]) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] và

a) cùng phương với \[\overrightarrow {AB} \].

b) cùng phương \[\overrightarrow {AA'} \].

Lời giải

a) Các véctơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp cùng phương với\[\overrightarrow {AB} \]là \[\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {A'B'} ;\overrightarrow {B'A'} ;\overrightarrow {C'D'} ;\overrightarrow {D'C'} \].

b) Các véctơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp cùng phương với\[\overrightarrow {AA'} \] là \[\overrightarrow {AA'} ;\overrightarrow {A'A} ;\overrightarrow {BB'} ;\overrightarrow {B'B} ;\overrightarrow {CC'} ;\overrightarrow {C'C} ;\overrightarrow {DD'} ;\overrightarrow {D'D} \].

Ví dụ 2. Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Gọi \[O,O'\] lần lượt là các giao điểm của hai đường chéo của hai đáy. Hãy xác định các véctơ (khác \[\overrightarrow 0 \]) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương\[ABCD.A'B'C'D'\]sao cho

a) bằng \[\overrightarrow {OO'} \].

b) bằng \[\overrightarrow {AO} \].

Lời giải

a) Ta có \[\overrightarrow {OO'}  = \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DD'} \].

b) Ta có các véctơ thỏa mãn là: \[\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {A'O'}  = \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {O'C'} \]. 

Bài 1. Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Hãy xác định các véctơ (khác \[\overrightarrow 0 \]) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]

a) cùng hướng \[\overrightarrow {AM} \].

b) ngược hướng \[\overrightarrow {MN} \].

Lời giải.

a) Các véctơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ cùng hướng với \[\overrightarrow {AM} \]là \[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DN} ;\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {A'B'} ;\overrightarrow {D'C'} \].

b) Các véc tơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ ngược hướng với \[\overrightarrow {MN} \] là \[\overrightarrow {DA} ;\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {D'A'} ;\overrightarrow {C'B'} \]. 

Bài 2. Cho bốn điểm A, B, C, D. Hãy xác định các véctơ trong các trường hợp sau:

a) Có điểm đầu hoặc cuối là A, B;

b) Có điểm đầu hoặc cuối là A, B, C;

c) Có điểm đầu hoặc cuối là A, B, C, D.

Lời giải.

a) Các véctơ thỏa mãn là: \[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BA} \].

b) Các véctơ thỏa mãn là: \[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {CA} \].

c) Các véctơ thỏa mãn là:

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {DA} ;\\\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {DB} .\end{array}\]

Bài 3. Cho hình lăng trụ tứ giác \[ABCD.A'B'C'D'\]. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên \[AA',BB',CC',DD'\] lần lượt tại I, K, L, M. Xét các véctơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có điểm cuối là các đỉnh của hình trụ. Hãy chỉ ra các véctơ

a) Cùng phương với \[\overrightarrow {IA} \].

b) Cùng hướng với \[\overrightarrow {IA} \].

c) Ngược hướng với \[\overrightarrow {IA} \].

Lời giải.

a) Các véctơ cùng phương với \[\overrightarrow {IA} \] bao gồm

\[\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow {IA'} ;\overrightarrow {KB} ;\overrightarrow {KB'} ;\overrightarrow {LC} ;\overrightarrow {LC'} ;\overrightarrow {MD} ;\overrightarrow {MD'} \].

b) Các véctơ cùng hướng với \[\overrightarrow {IA} \] bao gồm

\[\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow {KB} ;\overrightarrow {LC} ;\overrightarrow {MD} \].

c) Các véctơ ngược hướng với \[\overrightarrow {IA} \] bao gồm

\[\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow {KB} ;\overrightarrow {LC} ;\overrightarrow {MD} \]. 

Dạng 1.2. Chứng minh đẳng thức véctơ

Để chứng minh đẳng thức vectơ ta thường sử dụng:

Qui tắc cộng, qui tắc trừ ba điểm, qui tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp.

Tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác, tích một số với một vectơ... Để biến đổi vế này thành vế kia.

Ví dụ 1. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:

\[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \]

Lời giải

Ta có :

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \end{array}\]                          

Ví dụ 2. Cho tứ diện A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.

a) Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {IJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right)\]

b) Cho G là trung điểm của I, J. Chứng minh rằng: \[4\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \], với mọi điểm M trong không gian.

Lời giải

a) Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {IJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right)\]

Ta có \[\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DJ} \] và \[\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CJ} \]

Suy ra

\[\begin{array}{l}2\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DJ}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CJ} \\ = \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DJ}  + \overrightarrow {CJ} } \right)\end{array}\]

\[ = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow 0  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \]

b) Cho G là trung điểm của I, J. Chứng minh rằng:\[4\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \], với mọi điểm M trong không gian.

Ta có

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \\ = 4\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} \\ = 4\overrightarrow {MG}  + 2\overrightarrow {GI}  + 2\overrightarrow {GJ} \\ = 4\overrightarrow {MG}  + 2\overrightarrow 0  = 4\overrightarrow {MG} \end{array}\]

 (Vì I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CD, G là trung điểm của I J) 

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {MN} \].

Lời giải.

Vì N là trung điểm cuả CD nên ta có: \[\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN} \].

Vì M là trung điểm của AB nên ta có: \[\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN} \].

Suy ra, \[2\overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {CN} } \right)\]

\[ = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow 0  = \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right)\]

Vậy \[\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {MN} \].