Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu 150 bài toán nhị thức Newton và xác suất, tài liệu bao gồm 16 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

150 bài toán nhị thức Newton và xác suất

Chuyên đề 6 Tổ hợp - xác suất - nhị thức newton

Bài 1. Nhị thức newton

I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững

- Nhị thức Newton là khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng:

${(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k}  \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} +  \cdots  \cdots  + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}.$

+ Trong khai triên ${(a \pm b)^n}$ có $n + 1$ số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau: $C_n^k = C_n^{n - k}$.

+ Số hạng tổng quát dạng: ${T_{n + 1}} = C_n^k \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k}$ và số hạng thứ N thì $k = N - 1$.

+ Trong khai triển ${(a - b)^n}$ thì dấu đan nhau, nghĩa là +, rồi -, rồi $+ , \ldots  \ldots$.

+ Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n.

+ Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như:

- ${(1 + x)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} +  \cdots  \cdots  + C_n^n\mathop  \to \limits^{x = 1} C_n^0 + C_n^1 +  \cdots  \cdots  + C_n^n = {2^n}$.

- ${(1 - x)^n} = C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} +  \cdots  \cdots  + {( - 1)^n}C_n^n\mathop  \Rightarrow \limits^{x =  - 1} C_n^0 - C_n^1 +  \cdots  \cdots  + {( - 1)^n}C_n^n = 0.$

- Công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển):

+ Hoán vị: ${P_n} = n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \ldots 3 \cdot 2 \cdot 1,(n \ge 1)..$

+ Chỉnh hợp: $A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}},(1 \le k \le n)..$

+ Tổ hợp: $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.(n - k)!}} = \frac{{A_n^k}}{{k!}},(1 \le k \le n)$ và $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}.$

II. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều cho trước

1) Khai triển dạng: ${\left( {{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{p}}} + {\rm{b}}{{\rm{x}}^{\rm{q}}}} \right)^{\rm{n}}}$ kết hợp với việc giải phương trình chứa ${\rm{A}}_{\rm{n}}^{\rm{k}},{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{k}},{{\rm{P}}_{\rm{n}}}$.

BT 1. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x ) trong khai triê̂n của nhị thức:

a) ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{12}},\forall x \ne 0.$

ĐS: 924 .

b) ${\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}$.

ĐS: -10

c) ${\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)^{10}},\forall x \ne 0..$

ĐS: -8064

d) ${\left( {\frac{x}{3} + \frac{3}{x}} \right)^{12}}$.

e) ${\left( {\frac{1}{x} + \sqrt x } \right)^{12}},\forall x > 0$

ĐS: 495 .

f) ${\left( {2x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)^{18}},(x > 0)$.

ĐS: 6528 .

g) ${\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7},\forall x > 0$.

ĐS: 35

h) ${\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}}} \right)^{17}},\forall x \ne 0$

ĐS: 24310 .

BT 2. Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triển nhị thức:

a) ${(2x - 3y)^{17}}$.

$M = {x^8}{y^9}.$

ĐS: $- {3^9} \cdot {2^8} \cdot C_{17}^9$.

b) ${(x + y)^{25}}$.

$M = {x^{12}}{y^{13}}.$

ĐS: $C_{25}^{13}$.

c) ${(x - 3)^9}$.

$M = {x^4}$.

ĐS: $- {3^5} \cdot C_9^5$.

d) ${(1 - 3x)^{11}}$.

$M = {x^6}$.

ĐS: ${3^6} \cdot C_{11}^6$.

e) ${\left( {3x - {x^2}} \right)^{12}}$.

$M = {x^{15}}.$

ĐS: $- {3^9} \cdot C_{12}^3$.

f) ${\left( {{x^2} - 2x} \right)^{10}}$.

$M = {x^{16}}.$

ĐS: 3360 .

g) ${\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}},\forall x \ne 0$.

ĐS: 35

h) ${\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^{10}},\forall x \ne 0$.

$M = {x^{11}}.$

ĐS: $- {2^3} \cdot C_{10}^3$.

i) ${\left( {\sqrt[3]{{{x^{ - 2}}}} + x} \right)^7}$.

$M = {x^2}.$

ĐS: 35 .

j) ${\left( {\sqrt {xy}  + \frac{x}{y}} \right)^{10}},\forall xy \ge 0,y \ne 0$

$M = {x^6}{y^2}$

ĐS: 45 .

$M = {x^6}{y^2}.$

ĐS: 45 .

k) ${\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}$.

$M = {x^{10}}.$

ĐS: 101 .

1) $x{(1 - 2x)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}$.

$M = {x^5}.$

ĐS: 3320 .

m) ${(2x + 1)^4} + {(2x + 1)^5} + {(2x + 1)^6} + {(2x + 1)^7}.\quad M = {x^5}.\quad$

ĐS: 896

BT 3. Tìm hệ số của số hạng thứ n trong khai triễn nhị thức, ứng với các trường hợp sau:

a) ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^5},\forall x \ne 0$

$n = 4$.

ĐS: 120 .

b) ${(3 - x)^{15}}$.

$n = 13.$

ĐS: 12285 .

c) ${\left( {\sqrt x  - \frac{1}{x}} \right)^{15}},\forall x > 0$.

$n = 4.$

ĐS: 120 .

d) ${(2 - 3x)^{25}}$

$n = 21$

ĐS: ${2^5} \cdot {3^{20}} \cdot C_{25}^{20}$

BT 4. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điêu kię̂n)

a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn $C_n^3 = 5C_n^1$. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của ${\left( {\frac{2}{{n - 5}}\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^n},x > 0$ ?

$ÐS:C_7^4=35$.

b) Tìm hệ số của ${x^4}$ trong khai triển biểu thức ${\left( {\frac{2}{x} - {x^3}} \right)^n},\forall x \ne 0$, biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức: $C_{n - 4}^{n - 6} + n \cdot A_n^2 = 454$ ?

ĐS: n = 8; -1792

c) Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển: ${\left( {x \cdot \sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[5]{{{x^{28}}}}}}} \right)^n},\forall x \ne 0$, biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: $C_n^n + C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 79$ ?

ĐS: 792 .

d) Cho $a = {5^{{{\log }_5}\sqrt {{9^{r - 1}} + 7} }}$ và $b = {5^{ - \frac{1}{{{{\log }_5}\left( {{3^{5 - 1}} + 1} \right)}}}}$. Tìm các số thực x, biết rẳng số hạng chứa ${a^3}$ trong khai triển Newton: ${(a + b)^8}$ bằng 224 .

ĐS: $x = 1 \vee x = 2$.

e) Tìm các giá trị của x, biết trong khai triển ${\left[ {\sqrt {{2^{\lg \left( {10 - {3^x}} \right)}}}  + \sqrt[5]{{{2^{(x - 2)\lg 3}}}}} \right]^n}$ có số hạng thứ 6 bằng 21 và $C_n^1 + C_n^3 = 2C_n^2$.

ĐS: $x = 0 \vee x = 2$.

f) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: $3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} + 15$. Tìm số hạng chứa ${x^{10}}$ trong khai triển nhị thức Newton: ${\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^n},\forall x \ne 0$.

ĐS: $C_{10}^4 \cdot {2^6} \cdot {3^4} \cdot {x^{10}}$.

g) Cho khai triển: ${(1 + 2x)^n} = {a_o} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \ldots  + {a_n}{x^n}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$. Biết rằng ${a_3} = 2014{a_2}$.

Tìm n ?

ĐS: n=6044.

h) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: ${\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^n},x > 0$. Biết rằng n thỏa mãn điều kiện: $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8$.

ĐS: $C_{15}^6 \cdot {2^6} = 320320$.

i) Cho $n \in {\mathbb{Z}^ + }$và $a,b,(b > 0)$. Biết trong khai triển nhị thức Newton ${\left( {\frac{a}{{\sqrt b }} + b} \right)^n}$ có hạng tử chứa ${a^4}{b^9}$, tìm số hạng chứa tích a và b với số mũ bằng nhau?

ĐS: $5005{a^6}{b^6}$.

j) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: $C_n^{n - 3} - C_{n - 1}^2 = C_{n - 1}^1C_{n + 3}^{n + 2}$. Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^{11}}$ trong khai triển: $P = {x^3}{\left( {{x^{n - 8}} - \frac{n}{{3x}}} \right)^n},x \ne 0$.

ĐS: $C_{12}^8 \cdot {4^8}$.

k) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: $6C_{n + 1}^{n - 1} = A_n^2 + 160$. Tìm hệ số của ${x^7}$ trong khai triển: $\left( {1 - 2{x^3}} \right){(2 + x)^n}$ ?

ĐS: -2224 .

1) Cho $P = {\left( {1 - x + {x^2} - {x^3}} \right)^4} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + .. + {a_{12}}{x^{12}}$. Tìm ${a_7}$ ? ĐS: -40.

${\rm{m}})$ Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển: $P = x{(1 - 2x)^n} + {x^2}{(1 + 3x)^{2n}}$, biết rằng $A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5$.

ĐS: 3320 .

n) Cho $P(x) = {(x + 1)^{10}}(x + 2) = {x^{11}} + {a_1}{x^{10}} + {a_2}{x^9} + .. + {a_{10}}x + {a_{11}}$. Tìm ${a_5}$ ? ĐS: 672 .

o) Cho: $P(x) = {\left( {x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{20}} + {\left( {{x^3} - \frac{1}{x}} \right)^{10}},\forall x \ne 0$. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức sẽ gồm bao nhiêu số hạng ?

ĐS: 29 số hạng.

2) Khai triển dạng: ${\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}{{\rm{x}}^{\rm{p}}} + {\rm{c}}{{\rm{x}}^{\rm{q}}}} \right)^{\rm{n}}}$ kết hợp với việc giải phương trình chứa ${\rm{A}}_{\rm{n}}^{\rm{k}},{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{k}},{{\rm{P}}_{\rm{n}}}$

Viết $P(x) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n} = {\left[ {a + \left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)} \right]^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {\left( {b{x^p}} \right)^{k - i}} \cdot {\left( {c{x^q}} \right)^i}$ $= \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{i = 0}^k {C_n^k} } {a^{n - k}} \cdot C_k^i \cdot {\left( {b{x^p}} \right)^{k - i}} \cdot {\left( {c{x^q}} \right)^i}$, với $k,i \in \mathbb{N}$.

BT 5. Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:

a) ${\left( {1 + x + 3{x^2}} \right)^{10}}$.

$M = {x^4}$.

ĐS: 1695 .

b) ${\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}$.

$M = {x^4}$.

ĐS: 8085 .

c) ${\left( {1 + x + 2{x^2}} \right)^{10}}$

$M = {x^{17}}.$

ĐS: 38400 .

d) ${\left( {2 + \sqrt x  - 3{x^2}} \right)^5},\forall x \ge 0$.

$M = {x^2}$.

ĐS: $- 230$.

e) ${\left( {{x^2} + x - 1} \right)^5}$.

$M = {x^3}$.

ĐS: $- 10$.

f) ${\left( {1 + {x^2} - {x^3}} \right)^8}$.

$M = {x^8}$.

ĐS: 238 .

g) ${\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}$

$M = {x^{10}}$.

ĐS: 101 .

h) ${\left( {1 - {x^4} - \frac{1}{x}} \right)^{12}},x \ne 0$

$M = {x^8}.$

ĐS: -27159.

BT 6. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)

a) Cho ${\left( {1 + x - {x^2}} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \cdots  \cdots  + {a_{20}}{x^{20}}$. Tim ${a_8}$ ?

$ÐS:a_8=45$.

b) Cho $P(x) = {\left[ {\frac{1}{x} - \left( {x + {x^2}} \right)} \right]^n},\forall x \ne 0$. Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển P(x) biết n thỏa: $C_n^3 + 2n = A_{n + 1}^2$.

ĐS: -98.

c) Tìm hệ số ${x^4}$ trong khai triển biểu thức ${\left[ {\sqrt x  + 3\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)} \right]^n},(x > 0)$ ? Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn $3C_{n + 1}^1 + 8C_{n + 2}^2 = 3C_{n + 1}^3$.

ĐS: 4422 .

d) Cho khai triển nhị thức: ${\left( {1 - 2x + {x^3}} \right)^n} = {a_o} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \cdots  \cdots  + {a_{3n}}{x^{3n}}$. Xác định hệ số ${a_{{6^\prime }}}$ biết rằng: ${a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \frac{{{a_2}}}{{{2^2}}} +  \cdots  \cdots  + \frac{{{a_{3n}}}}{{{2^{3n}}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{15}}$. ĐS: ${a_6} =  - 150$.

e) Cho: ${(1 + 2x)^{10}}{\left( {3 + 4x + 4{x^2}} \right)^2} = {a_o} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \cdots  + {a_{14}}{x^{14}}$. Tìm ${a_6}$ ? ĐS: ${a_6} = 482496$.

f) Tìm hệ số của ${x^{10}}$ trong khai triển Newton: ${\left( {\frac{{{x^2}}}{4} + x + 1} \right)^2} \cdot {(x + 2)^{3n}}$ với n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: $A_n^3 + C_n^{n - 2} = 14n$.

ĐS: ${a_{10}} = 2956096$.

3) Khai triển ${\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^{\rm{n}}};{\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}$ kết hợp tính tổng đơn giản

Khai triển Newton: ${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b +  \cdots  \cdots  + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$, với:

- Số mũ của a giảm dần và số mũ của b tăng dần. Nếu trong biểu thức không có số mũ tăng hoặc giảm thì nó (a hoặc b ) có thể bằng 1 .

- Nếu dấu của biểu thức đan nhau thì khai triển sẽ có dạng ${(a - b)^n}$.

- Trong biểu thức có  (toàn chẵn hoặc toàn lẻ) thì đó là dấu hiệu nhận dạng khai triển hai biểu thức dạng ${(a - b)^n}$ và ${(a + b)^n}$ khi chọn a, b rồi cộng lại ( khi toàn chẵn) hoặc trừ đi ( khi toàn lẽ) theo từng vế.

BT 7. Biết tổng các hệ số trong khai triển ${\left( {1 + {x^2}} \right)^n}$ là 1024 . Tìm hệ số của ${x^{12}}$ ? ĐS: n = 10, 210.

BT8. Tìm hệ số của ${x^6}$ trong khai triển ${\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^n}$, với n là số nguyên dương và biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024 ?

ĐS: n = 10, 210.

BT9. Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triên $P(x) = {\left( {\frac{2}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}$ với $x > 0$. Biết n thỏa mãn điều kiện: $C_n^1 + C_n^2 +  \cdots  \cdots  + C_n^{n - 1} + C_n^n = 4095$.

ĐS: $C_{12}^8 \cdot {2^4} = 7920$.

BT 10. Tìm hệ số của ${x^{10}}$ trong khai triển nhị thức ${(2 + x)^n}$, biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: ${3^n}C_n^n - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_1^2 - {3^{n - 3}}C_n^3 +  \cdots  \cdots  + {( - 1)^n}C_n^n = 2048$.

ĐS: ${a_{10}} = C_{11}^{10} \cdot 2 = 22$.

BT 11. Tim hệ số của ${x^{10}}$ trong khai triển ${\left( {\sqrt x  - 3{x^2}} \right)^{1{\rm{ }}}}(x > 0)$, biết rằng n là số nguyên dương và tổng các hệ số trong khai triển bằng -2048 ?

ĐS: -4455.

BT 12. Tìm hệ số của ${x^{10}}$ trong khai triển nhị thức ${(2 + x)^n}$, biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: ${3^n}C_n^0 - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_n^2 - {3^{n - 3}}C_n^3 +  \ldots  + {( - 1)^n}C_n^n = 2048$.

ĐS: 22 .

BT 13. Tìm hệ số của ${x^{19}}$ trong khai triến biếu thức $P = {(2x - 1)^9} \cdot {(x + 2)^{11}}$, biết rằng n là số nguyên dương: $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 +  \ldots  + C_n^n = 2048$ ?

ĐS: 8960 .

BT 14. Tìm hệ số của ${x^7}$ trong khai triến đa thức , trong đó n là số nguyên dưong thỏa mãn diêu kiện: $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 +  \cdots  \cdots  + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024$ ?

ĐS: ${a_7} =  - 2099520$.

BT 15. Tìm hệ số ${x^4}$ trong khai triển ${\left( {1 + x + 2{x^2}} \right)^{\prime \prime }}$, biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: $C_{2n}^0 + C_{2\pi }^2 + C_{2n}^4 +  \ldots  + C_{2n}^{2n} = 512$.

ĐS: 105 .

BT 16. Hãy tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triên: $P(x) = {\left( {1 - 2x + 4{x^2}} \right)^{3{\rm{n}}}}$.

Biết rằng: $C_{2004}^2 + C_{2014}^4 + C_{2014}^6 + C_{2004}^8 +  \cdots  \cdots  + C_{2014}^{1006} = {2^{{\rm{s013n }}}} - 1$ với n là số nguyên dương.

ĐS: ${a_5} =  - 2C_{12}^3C_3^1{4^2} - 8C_{12}^4C_4^3{4^1} + {( - 2)^5}C_{12}^5C_5^5$.

BT 17. Tìm hệ số chứa ${x^{18}}$ trong khai triển $P(x) = {(x + 2)^{13}}{\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)^n}$. Biết n nguyên dương thỏa mãn điều kiện: $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 +  \cdots  \cdots  + C_{2n + 1}^n = {2^{20}} - 1$.

ĐS: ${a_{18}} = 15138816$.

4) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển ${({\rm{a}} + {\rm{bx}})^{\rm{n}}}$.

Xét khai triển nhị thức Newton ${(a + bx)^n}$ có số hạng tổng quát: ${T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}{x^k}$.

Đặt ${a_k} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k},0 \le k \le n$ thì dãy hệ số là $\left\{ {{a_k}} \right\}$. Khi đó hệ số lớn nhất trong khai triển này thỏa hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_k} \ge {a_{k + 1}}}\\{{a_k} \ge {a_{k - 1}}}\end{array} \Rightarrow {k_o} \Rightarrow {a_{{k_o}\max }} = C_n^{{k_o}}{a^{n - {k_o}}}{b^{{k_o}}}} \right.$.

BT 18. Trong triển khai ${\left( {\frac{1}{3} + \frac{{2x}}{3}} \right)^{11}}$ thành ${a_o} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \cdots  + {a_{11}}{x^{11}}$. Hãy tìm k để hệ số ${a_k}$ lớn nhất và tính nó ? $(0 \le k \le 11,k$ : nguyên)

ĐS: ${a_{k\max }} = \frac{{{2^8}}}{{{3^{11}}}} \cdot C_{11}^8$.

BT19. Cho khai triển : ${(1 + 2x)^n} = {a_0} + {a_1}x +  \cdots  + {a_n}{x^n}$, trong đó $n \in \mathbb{Z}$ và các hệ số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}$ thỏa mãn hệ thức ${a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} +  \cdots  + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096$. Tìm số lớn nhất trong các số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}$ ? ĐS: ${a_{\max }} = 126720$.

BT 20. Cho khai triển ${\left( {\frac{1}{2} + \frac{x}{3}} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \cdots  + {a_n}{x^n}$. Tìm số lớn nhất trong các số ${a_0},{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}$ ?

Biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn $C_n^2C_n^{n - 2} + 2C_n^{n - 2}C_n^{n - 1} + C_n^1C_n^{n - 1} = 11025$ ?

 ĐS: ${a_{\max }} = \frac{{1001}}{{62208}}$.

BT 21. Tìm số nguyên dưong n nhỏ nhất sao cho khai triến ${(1 + x)^n}$ có tì số hai hệ số liên tiếp trong khai triễn trên bằng $\frac{7}{{15}}$ ?

ĐS: $n = 21$

5) Tìm số hạng hữu tỉ ( hoặc số hạng là số nguyên) trong khai triển ${(a + b)^n}$.

Xét khai triển ${(a + b)^n}$ có số hạng tổng quát: $C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = C_n^k \cdot {\alpha ^{\frac{m}{p}}} \cdot {\beta ^{\frac{r}{q}}}$ với $\alpha ,\beta$ là các số hữu tỉ. Số hạng hữu tỉ cần tìm thỏa mãn hệ:

 $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{m}{p} \in \mathbb{N}}\\{\frac{r}{q} \in \mathbb{N}}\end{array}(k \in \mathbb{N},0 \le k \le n) \Rightarrow {k_o} \Rightarrow C_n^{{k_o}}{a^{n - {k_o}}}{b^{{k_o}}}} \right.$ là số hạng cần tìm.

BT 22. Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển nhị thức: ${(\sqrt 3  + \sqrt[3]{2})^n}$, biết rằng ${\rm{n}}$ là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: ${\left( {{P_n}} \right)^3} \cdot C_n^n \cdot C_{2n}^n \cdot C_{3n}^n = {P_{27}}$.

ĐS: $C_9^3{3^3} \cdot {2^1}$ và $C_9^9{2^3}$.

BT 23. Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển: ${\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{5}} \right)^{3n + 1}}$. Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: $C_n^n + 2C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = C_{n + 2}^{2n - 3}$.

ĐS: $\frac{{C_{10}^0}}{{32}};\frac{{C_{10}^6{2^3} \cdot {5^2}}}{{32}}$

III. Chứng minh hoặc tính tổng

1) Sử dụng những nhận xét cơ bản hoặc tính chất, công thức ${\rm{A}}_{\rm{n}}^{\rm{k}},{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{k}},{{\rm{P}}_{\rm{n}}}$.

- Trong khai triển ${(a - b)^n}$ thì dấu đan nhau, nghĩa là +, rồi -, rồi $+ , \ldots  \ldots$.

- Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n.

- Vận dụng linh hoạt tính chất:

 $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1},C_n^k = C_n^{n - k}$ và $\frac{1}{{k + 1}} \cdot C_n^k = \frac{1}{{n + 1}} \cdot C_{n + 1}^{k + 1}$.

- Khi gặp tổng giữa các tích của hai công thức tổ hợp $\left( { \cdots  + C_n^i \cdot C_n^j +  \cdots } \right)$, lúc đó thường so sánh hệ số của biến cùng bậc với nhau, chẳng hạn so sánh khai hệ số của số mũ cùng bậc của hai khai triển: ${\left( {1 - {x^2}} \right)^n}$ với ${(1 - x)^n}{(x + 1)^n} \ldots  \ldots$