A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN

I. Quy tắc đếm :

+ Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

+ Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: $n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(b\right)$

+ Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn hành công việc

II. Hoán vị, Chính hợp, tổ hợp.

1. Hoán vị :

+ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử  $\left(n\ge 1\right)$ . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

+ Số các hoán vị

Kí hiệu P_n là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: $P_n=n! \left(n\ge 1\right)$

2. Chỉnh hợp :

+ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử $\left(n\ge 1\right)$ . Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

+Số các chỉnh hợp

Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1$\le k\le n$) . Ta có: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}(1\le k\le n)$

3. Tổ hợp :

+ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử $\left(n\ge 1\right)$ . Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

+ Số các tổ hợp:

Kí hiệu $C_n^k$ là số các tổ hợp chập k của n phần tử $\left(0\le k\le n\right)$ . Ta có: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\left(0\le k\le n\right)$

III. Tính xác xuất :

1. Tính xác suất bằng định nghĩa :

Công thức tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\upsilon \right)}$

2. Tính xác suất bằng công thức :

+ Quy tắc cộng xác suất: 

* Nếu hai biến cố A B, xung khắc nhau thì $P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

* Nếu các biến cố A₁, A₂, A₃, ...A_k  xung khắc nhau thì $P(A_1\cup A_2...\cup A_k)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+....+P\left(A_k\right)$

+ Công thức tính xác suất biến cố đối: Xác suất của biến cố $\overline{A}$ của biến cố A là: $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$

+ Quy tắc nhân xác suất:

* Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì

$P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)$

* Một cách tổng quát, nếu k biến cố A₁, A₂, A₃, ...A_k là độc lập thì

$P(A_1,A_2,A_3,...A_k)=P\left(A_1\right)P\left(A_2\right)...P\left(A_k\right)$

B. BÀI TẬP

Câu 1: Gieo 3 con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên 3 con súc sắc đó bằng nhau:

Câu 2: Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 9 viên bi được đánh số 1, 2, 3....., 9. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là 3/10. Xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là:

Câu 3: Một hộp chứa 5 viên bi màu trắng, 15 viên bi màu xanh và 35 viên bi màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 7 viên bi. Xác suất để trong số 7 viên bi được lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu đỏ là:

Câu 4: Một nhóm gồm 8 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn. Xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là:

Câu 5: Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai,thứ ba bắn trúng đích lần lượt là 0,8 ; 0,6; 0,5. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích bằng:

A. 0,24.

B. 0,96.

C. 0,46.

D. 0,92.

Câu 6: Một lô hàng có 100 sản phẩm, biết rằng trong đó có 8 sản phẩm hỏng. Người kiểm định lấy ra ngẫu nhiên từ đó 5 sản phẩm. Tính xác suất của biến cố A: “ Người đó lấy được đúng 2 sản phẩm hỏng” ?

Câu 7: Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn

Câu 8: Gieo một con xúc sắc 4 lần. Tìm xác suất của biến cố

A: “ Mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất một lần”

B: “ Mặt 3 chấm xuất hiện đúng một lần”

Câu 9: Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,8; người thứ hai bắn trúng bia là 0,7. Hãy tính xác suất để :

1. Cả hai người cùng bắn trúng ;

A. P(A)= 0,75

B. P(A) = 0,6

C. P(A) = 0,56

D. P(A)=0,326

2. Cả hai người cùng không bắn trúng;

A. P(B)=0,04

B.P(B) = 0,06

C. P(B)=0,08

D. P(B) = 0,05

3. Có ít nhất một người bắn trúng.

A. P(C) =0,95

B. P(C) = 0,97

C. P(C) = 0,94

D. P(C) = 0,96

Câu 10: Gieo hai con súc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc xắc bằng 7 là: