Liệt kê và đếm số phần tử của biến cố A: $n(A),n(B)$

$A$ $=(6,4),(4,6),(5,5),(6,5),(5,6),(6,6)$ $\Rightarrow n(A)=6$

$B$ = $(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)$ $\Rightarrow n(B)=11$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(\Omega )}}$.

$P(A)={\displaystyle \frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}}$= ${\displaystyle \frac{6}{36}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{6}}$;

$P(B)$ $={\displaystyle \frac{n\left(B\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}}$ = ${\displaystyle \frac{11}{36}}$.

b.

Phương pháp giải:

Liệt kê và đếm các phần tử của A, B.

$A=\left\{(1,3,4)\right\}$, $n(A)=1$

$B=(1,2,3),(2,3,4),n(B)=2$

c.

Phương pháp giải:

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n(A)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$.

$P\left(A\right)=\frac{n(A)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$ $=\frac{1}{4};$

$P\left(B\right)=\frac{n(B)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

+) Tính số phần tử của không gian mẫu.

+) Tính số phần tử của biến cố: "Hai chiếc chọn được tạo thành một đôi".

+) Tính xác suất của biến cố.

Phép thử $T$ được xét là: "Lấy ngẫu nhiên $2$ chiếc giày từ $4$ đôi giày có cỡ khác nhau".

Số cách lấy ra $2$ trong $8$ chiếc giày là $n(\Omega )=C_8^2=28$ (Do 2 chiếc cùng một đôi phân chia trái phải nên không giống nhau)

Gọi $A$ là biến cố: "Lấy được hai chiếc giày tạo thành một đôi".

Vì chỉ có $4$ đôi giày nên số cách lấy được $1$ trong $4$ đôi giày là $n(A)=4$.

Vậy $P(A)$= ${\displaystyle \frac{4}{28}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{7}}$

Phương trình bậc hai có nghiệm $\left(\mathrm{\Delta }\ge 0\right)$.

Không gian mẫu là $\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$, $n(\Omega )=6$

Ta có bảng:

Phương trình $x^2+bx+2=0$ có nghiệm khi và chỉ khi $∆=b^2-8\ge 0$ (*).

Vì vậy nếu $A$ là biến cố: "Xuất hiện mặt $b$ chấm sao cho phương trình $x^2+bx+2=0$ có nghiệm"

thì $A=\left\{3,4,5,6\right\},n(A)=4$ và $P(A)$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$.

Cách khác:

Phương trình (1) có nghiệm

$\begin{array}{l}\iff \mathrm{\Delta }\ge 0\iff b\ge 2\surd 2\\ \Rightarrow b\in \left\{3;4;5;6\right\}.\\ \Rightarrow A=\left\{3,4,5,6\right\}\\ \Rightarrow n\left(A\right)=4\end{array}$

$P(A)$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$.

Để tính xác suất của biến cố A.

+) Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

+) Tính số phần tử của biến cố A: $n(A)$

+) Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}}$.

a.

Phép thử $T$ được xét là: "Từ cỗ bài tú lơ khơ $52$ con bài, rút ngẫu nhiên $4$ con bài".

Mỗi kết quả có thể có là một tổ hợp chập $4$ của $52$ con bài. Do đó $n(\Omega )=C_{52}^4=270725$.

Gọi biến cố $A$: "Rút được bốn con át", $n(A)=1$.

Suy ra $P(A)$ = ${\displaystyle \frac{1}{270725}}$  $\approx 0,0000037$.

+) Mỗi cách xếp $4$ bạn vào $4$ chỗ ngồi là một hoán vị của $4$ phần tử. Tính số phần tử của không gian mẫu.

+) Gọi A là biến cố: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau" $\Rightarrow \overline{A}$ là biến cố: "Nam đối diện nam, nữ đối diện nữ".

Tính xác suất của biến cố $\Rightarrow \overline{A}$ và sử dụng công thức $P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1$.

Mỗi cách xếp $4$ bạn vào $4$ chỗ ngồi là một hoán vị của $4$ phần tử, vì vậy không gian mẫu có $4!=24$ phần tử.

Gọi A là biến cố: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau" 

$\Rightarrow \overline{A}$ là biến cố: "Nam đối diện nam, nữ đối diện nữ".

+) Có $4$ chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn.

+) Có $1$ cách chọn chỗ (đối diện) cho bạn nữ thứ hai.

+) Sau khi bai bạn nữ đã chọn chỗ ngồi (đối diện nhau) thì còn lại $2$ chỗ (đối diện nhau) để xếp cho $2$ bạn nam và có $2!$ cách xếp chỗ cho $2$ bạn này.

Vi vậy theo quy tắc nhân có $4.1.2!=8$ cách xếp chỗ cho nam nữ không ngồi đối diện nhau.

$P$($\overline{A}$) = ${\displaystyle \frac{8}{24}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

$\Rightarrow P(A)=1-P$($\overline{A}$) = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

$A$ là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng";

$B$ là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng"

a. Xét xem A và B có độc lập không

b. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.

c. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.

a. 

Định nghĩa hai biến cố độc lập: Hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố B. A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi $P\left(A.B\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)$.

Phép thử $T$ được xét là: "Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu".

Không gian mẫu là kết quả của việc lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và một quả cầu ở hộp thứ hai

+ Có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 1 và có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 2. Nên số phần tử của không gian mẫu là;

⇒ n(Ω) = 10.10 = 100.

A: “ Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất trắng”

⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 10 cách lấy quả cầu ở hộp B

⇒ n(A) = 6.10 = 60.

Suy ra $P(A)$= $\frac{60}{100}$ = $0,6$.

B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai trắng”

⇒ Có 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B và 10 cách lấy quả cầu ở hộp A

⇒ n(B) = 4.10 = 40.

Suy ra $P(B)$ = $\frac{40}{100}$ = $0,4$.

A.B: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”

⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B

⇒ n(A.B) = 6.4 = 24.

Suy ra: $P(A.B)$ = $\frac{24}{100}$ = $0,24=0,6.0,4=P(A).P(B)$.

Như vậy, ta có $P(A.B)=P(A).P(B)$.

Suy ra $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập với nhau.