Với giải Bài 2 trang 10 Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình

Bài 2 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.

Lời giải:

• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)

• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.

Ta có M’ = f(M) và N’ = f(N).

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.

Suy ra $\overrightarrow{\mathrm{MH}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}\mathrm{H}}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{\mathrm{KN}}+\overrightarrow{{\mathrm{KN}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$

Ta có:

⦁ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{MH}}+\overrightarrow{\mathrm{HK}}+\overrightarrow{\mathrm{KN}}\right)+\left(\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}\mathrm{H}}+\overrightarrow{\mathrm{HK}}+\overrightarrow{{\mathrm{KN}}^{\text{'}}}\right)$

$=\left(\overrightarrow{\mathrm{MH}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}\mathrm{H}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{KN}}+\overrightarrow{{\mathrm{KN}}^{\text{'}}}\right)+2\overrightarrow{\mathrm{HK}}$

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{\mathrm{HK}}$ (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

$=2\overrightarrow{\mathrm{HK}}$

⦁ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}-\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{HN}}-\overrightarrow{\mathrm{HM}}\right)-\left(\overrightarrow{{\mathrm{HN}}^{\text{'}}}-\overrightarrow{{\mathrm{HM}}^{\text{'}}}\right)$

$=\overrightarrow{\mathrm{HN}}-\overrightarrow{\mathrm{HM}}-\overrightarrow{{\mathrm{HN}}^{\text{'}}}+\overrightarrow{{\mathrm{HM}}^{\text{'}}}$

$=\left(\overrightarrow{\mathrm{HN}}-\overrightarrow{{\mathrm{HN}}^{\text{'}}}\right)+\left(\overrightarrow{{\mathrm{HM}}^{\text{'}}}-\overrightarrow{\mathrm{HM}}\right)=\overrightarrow{{\mathrm{N}}^{\text{'}}\mathrm{N}}+\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}$

Khi đó ${\overrightarrow{\mathrm{MN}}}^2-{\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}}^2=\left(\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}\right)\left(\overrightarrow{\mathrm{MN}}-\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}\right)$

$=2\overrightarrow{\mathrm{HK}}\left(\overrightarrow{{\mathrm{N}}^{\text{'}}\mathrm{N}}+\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}\right)$

$=2\overrightarrow{\mathrm{HK}}.\overrightarrow{{\mathrm{N}}^{\text{'}}\mathrm{N}}+2\overrightarrow{\mathrm{HK}}.\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}=2.0+2.0=0$

(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên $\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}\perp \overrightarrow{\mathrm{HK}};\overrightarrow{{\mathrm{NN}}^{\text{'}}}\perp \overrightarrow{\mathrm{HK}}$).

Suy ra ${\overrightarrow{\mathrm{MN}}}^2={\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}}^2$

Do đó MN = M’N’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy f là một phép dời hình.