Lý thuyết Toán 8 Chương 4 Kết nối tri thức: Định lí Thalès

Chương 4 Toán 8 (Kết nối tri thức) gồm ba bài: Định lí Thalès trong tam giác, Đường trung bình của tam giác và Tính chất đường phân giác của tam giác. Cả ba bài đều xoay quanh một ý: so sánh các đoạn thẳng bằng tỉ số. Bài này tóm tắt gọn kiến thức, giải thích vì sao, rồi cho ví dụ và bài luyện tập để em tự kiểm tra.

1. Đoạn thẳng tỉ lệ

• Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng, tính theo cùng một đơn vị đo.
• Hai đoạn thẳng AB, CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’, C’D’ nếu AB/CD = A’B’/C’D’. Có thể viết lại thành AB/A’B’ = CD/C’D’.

Lưu ý: nếu đề cho một đoạn đo bằng cm, một đoạn đo bằng m thì phải đổi về cùng đơn vị trước khi lập tỉ số. Ví dụ 30 cm và 1,5 m có tỉ số 30/150 = 1/5, chứ không phải 30/1,5 = 20.

2. Định lí Thalès trong tam giác (Bài 15)

2.1. Định lí Thalès (thuận)

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Với tam giác ABC, M thuộc AB, N thuộc AC và MN // BC, ta có:

• AM/AB = AN/AC
• AM/MB = AN/NC
• MB/AB = NC/AC

2.2. Định lí Thalès đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Nói gọn: nếu AM/AB = AN/AC (hoặc AM/MB = AN/NC) thì MN // BC.

Vì sao phải nhớ cả hai chiều?

• Thuận: đã biết song song → tính độ dài, lập tỉ lệ thức.
• Đảo: đã biết các tỉ số bằng nhau → chứng minh song song.

Đề bài hỏi “tính độ dài” thì nghĩ tới thuận. Đề bài hỏi “chứng minh song song” thì nghĩ tới đảo (hoặc dấu hiệu về góc ở lớp 7).

Chi tiết hơn xem tại Lý thuyết Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác.

3. Đường trung bình của tam giác (Bài 16)

3.1. Định nghĩa

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Mỗi tam giác có đúng 3 đường trung bình.

3.2. Tính chất

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó. Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC thì MN // BC và MN = BC/2.

3.3. Vì sao đúng?

Vì AM/AB = AN/AC = 1/2 nên theo Thalès đảo, MN // BC. Sau đó kẻ thêm đường song song với AB qua N, cắt BC tại P, ta được tứ giác MNPB là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song). Từ đó MN = BP, và P là trung điểm BC nên MN = BC/2.

3.4. Hệ quả hay dùng

Trong một tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Xem thêm: Lý thuyết Bài 16: Đường trung bình của tam giác.

4. Tính chất đường phân giác của tam giác (Bài 17)

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

Tam giác ABC có AD là phân giác (D thuộc BC) thì DB/DC = AB/AC.

Ý tưởng chứng minh

1. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng AC tại E.
2. Dùng cặp góc so le trong và đồng vị bằng nhau, suy ra tam giác ABE cân tại A, tức AE = AB.
3. Áp dụng Thalès cho tam giác CBE: DB/DC = AE/AC = AB/AC.

Chiều đảo: nếu D thuộc đoạn BC và DB/DC = AB/AC thì AD là phân giác của góc A.

Xem thêm: Lý thuyết Bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác.

5. Bảng tóm tắt cả chương

Nội dung	Điều kiện	Kết luận
Thalès thuận	MN // BC (M ∈ AB, N ∈ AC)	AM/AB = AN/AC; AM/MB = AN/NC
Thalès đảo	AM/AB = AN/AC	MN // BC
Đường trung bình	M, N là trung điểm AB, AC	MN // BC, MN = BC/2
Phân giác trong	AD là phân giác góc A	DB/DC = AB/AC

Mẹo nhớ: khi lập tỉ lệ thức theo Thalès, luôn để “phần trên cạnh này” chia “phần trên cạnh kia” theo cùng một kiểu. Nếu bên trái là đoạn gần đỉnh A chia cả cạnh (AM/AB) thì bên phải cũng phải là đoạn gần đỉnh A chia cả cạnh (AN/AC). Không trộn kiểu AM/AB với NC/AC.

6. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tính độ dài bằng Thalès

Cho tam giác ABC, M thuộc AB, N thuộc AC, MN // BC. Biết AM = 4 cm, MB = 6 cm, AN = 5 cm. Tính NC và AC.

Giải. Vì MN // BC nên AM/MB = AN/NC, tức 4/6 = 5/NC. Suy ra NC = 5·6/4 = 7,5 (cm). Vậy AC = AN + NC = 5 + 7,5 = 12,5 (cm).

Kiểm tra: AM/AB = 4/10 = 0,4 và AN/AC = 5/12,5 = 0,4. Hai tỉ số bằng nhau nên kết quả hợp lí.

Ví dụ 2: Chứng minh song song bằng Thalès đảo

Tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm. Lấy D thuộc AB với AD = 3 cm, E thuộc AC với AE = 4 cm. Chứng minh DE // BC.

Giải. AD/AB = 3/9 = 1/3 và AE/AC = 4/12 = 1/3. Vậy AD/AB = AE/AC, theo định lí Thalès đảo, DE // BC.

Ví dụ 3: Đường trung bình

Tam giác ABC có AB = 10 cm, AC = 12 cm, BC = 14 cm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC. Tính chu vi tam giác MNP.

Giải. MN, NP, PM là các đường trung bình nên MN = BC/2 = 7 cm, NP = AB/2 = 5 cm, PM = AC/2 = 6 cm. Chu vi tam giác MNP = 7 + 5 + 6 = 18 (cm), bằng đúng nửa chu vi tam giác ABC (36 cm).

Ví dụ 4: Đường phân giác

Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm. AD là phân giác góc A. Tính DB, DC.

Giải. DB/DC = AB/AC = 6/9 = 2/3. Vì DB + DC = 10 nên DB = 10·2/(2+3) = 4 (cm) và DC = 10 − 4 = 6 (cm).

Ví dụ 5: Điểm đặc biệt (hệ quả đường trung bình)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC tại N. Chứng minh N là trung điểm AC.

Giải. Trong tam giác ABC, đường thẳng MN đi qua trung điểm M của BC và song song với AB nên đi qua trung điểm cạnh thứ ba là AC. Vậy N là trung điểm AC.

7. Lỗi sai thường gặp

• Lập sai cặp tỉ số: viết AM/AB = NC/AC. Hãy vẽ hình, đánh dấu rõ đoạn “gần đỉnh” và “cả cạnh”.
• Dùng Thalès khi chưa có song song: phải nêu rõ “vì MN // BC” trước khi viết tỉ lệ thức.
• Nhầm tên định lí: dùng tỉ lệ thức để kết luận song song là Thalès đảo, không phải thuận.
• Quên cộng đoạn: đề cho AM và MB nhưng tỉ lệ cần AB. Hãy tính AB = AM + MB trước.
• Phân giác: tỉ số DB/DC bằng AB/AC (hai cạnh kề), không phải AB/BC.

8. Bài tập tự luyện có đáp án

1. Tam giác ABC có DE // BC (D thuộc AB, E thuộc AC). Biết AD = 6 cm, DB = 4 cm, AC = 15 cm. Tính AE.
2. Tam giác ABC có AC = 11 cm. Đường thẳng qua trung điểm M của AB và song song với BC cắt AC tại N. Tính AN.
3. Tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 18 cm, BC = 20 cm. Phân giác AD cắt BC tại D. Tính DB, DC.
4. Tam giác ABC có D thuộc AB với AD = 2 cm, DB = 3 cm; E thuộc AC với AE = 3 cm, EC = 4,5 cm. DE có song song BC không? Vì sao?

Đáp án:

1. AB = 6 + 4 = 10 cm. AE/AC = AD/AB = 6/10 nên AE = 15·6/10 = 9 cm.
2. MN đi qua trung điểm AB và song song BC nên N là trung điểm AC. AN = 11/2 = 5,5 cm.
3. DB/DC = 12/18 = 2/3, DB + DC = 20 nên DB = 8 cm, DC = 12 cm.
4. AD/DB = 2/3 và AE/EC = 3/4,5 = 2/3. Hai tỉ số bằng nhau nên DE // BC (Thalès đảo).

9. Tài liệu cùng chương

• Giải SGK Toán 8 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 4 trang 89
• Sách bài tập Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 4
• Vở thực hành Toán 8 Bài tập cuối chương 4
• Lý thuyết Chương 3: Tứ giác
• Lý thuyết Chương 5: Dữ liệu và biểu đồ
• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức

Câu hỏi thường gặp

Định lí Thalès và định lí Thalès đảo khác nhau thế nào?

Thalès thuận: biết đường thẳng song song với một cạnh thì suy ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Thalès đảo: biết các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì suy ra đường thẳng song song với cạnh còn lại.

Đường trung bình của tam giác có những tính chất gì?

Đường trung bình nối trung điểm hai cạnh, song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng nửa cạnh thứ ba. Mỗi tam giác có 3 đường trung bình.

Công thức tính chất đường phân giác trong tam giác là gì?

Nếu AD là phân giác góc A của tam giác ABC (D thuộc BC) thì DB/DC = AB/AC, tức tỉ số hai đoạn trên cạnh đối bằng tỉ số hai cạnh kề.

Khi nào được áp dụng định lí Thalès?

Khi trong tam giác có một đường thẳng song song với một cạnh và cắt hai cạnh còn lại. Cần nêu rõ điều kiện song song trước khi lập tỉ lệ thức.

Bài học liên quan

• Cho a – b = 4 và ab = 3, tính a³ – b³: đáp án và cách giải
• Giải các phương trình: 3x − 2 = 2x − 3; 3 − 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y
• Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức: cách làm, ví dụ lớp 8
• Hình lăng trụ đứng tứ giác có bao nhiêu đỉnh, cạnh, mặt?
• Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình gì?
• Hình lăng trụ đứng tam giác có bao nhiêu cạnh? Đáp án và cách đếm