Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Dãy số sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Dãy số

A. Lý thuyết Dãy số

1. Định nghĩa dãy số

• Dãy số vô hạn

- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ${\mathbb{N}}^{\ast }$được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), nghĩa là

$u:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$

$n\mapsto u_n=u\left(n\right)$

  Dãy số trên được kí hiệu là $\left(u_n\right)$.

- Dãy số $\left(u_n\right)$được viết dưới dạng khai triển $u_1,u_2,u_3,...,u_n,...$

- Số $u_1$ là số hạng đầu; $u_n$là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

*Chú ý: Nếu $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },u_n=c$thì $\left(u_n\right)$được gọi là dãy số không đổi.

• Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập $M=\left\{1;2;3;...;m\right\},m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ được gọi là một dãy số hữu hạn.Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là $u_1,u_2,u_3,...,u_m$.

Trong đó, số $u_1$ gọi là số hạng đầu, $u_m$là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

- Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).

- Công thức của số hạng tổng quát $u_n$.

- Phương pháp truy hồi:

+) Cho số hạng thứ nhất $u_1$ (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

+) Cho một công thức tính $u_n$ theo$u_{n-1}$ (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

- Phương pháp mô tả.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$$,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n+1}<u_n$$,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

4. Dãy số bị chặn

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn trên nếu $\mathrm{\exists }$ số M sao cho $u_n\le M,$ $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\mathrm{\exists }$ số m sao cho $u_n\ge m,$ $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

B. Bài tập Dãy số

Bài 1. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi $u_n=\frac{n+1}{2^n}$ với n ∈ ℕ*.

a) Liệt kê 3 số hạng đầu của dãy số (u_n).

b) Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $u_1=\frac{1+1}{2^1}=1,u_2=\frac{2+1}{2^2}=\frac{3}{4},u_3=\frac{3+1}{2^3}=\frac{1}{2}.$

b) Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{\left(n+1\right)+1}{2^{n+1}}-\frac{n+1}{2^n}$

$=\frac{n+2}{{2.2}^n}-\frac{n+1}{2^n}=\frac{n+2-2n-2}{{2.2}^n}=\frac{-n}{2^{n+1}}<0$

⇔ u_{n + 1} < u_n.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Bài 2. Xét tính bị chặn của dãy số sau: u_n = 4 – 3n – n².

Hướng dẫn giải

Ta có: u_{n + 1} – u_n = 4 – 3(n + 1) – (n + 1)² – (4 – 3n – n²)

= 4 – 3n – 3 – n² – 2n – 1 – 4 + 3n + n²

= − 2n − 4

⇔ u_{n + 1} < u_n.

⇒ (u_n) là dãy số giảm, tức là n càng tăng thì u_n càng giảm ⇒ (u_n) không bị chặn dưới.

Vậy (u_n) là dãy số bị chặn trên.

Bài 3. Cho dãy số (u_n) bởi hệ thức truy hồi: $u_1=\frac{1}{2},u_{n+1}=2u_n.$ Tìm ra công thức số hạng tổng quát của dãy số này.

Hướng dẫn giải

Ta có: $u_1=\frac{1}{2}=2^{-1};u_2=1=2^0;u_3=2=2^1;u_4=4=2^2.$

Ta nhận thấy u₁ = 2^{1 – 2}; u₂ = 2^{2 – 2}; u₃ = 2^{3 – 2}; u₄ = 2^{4 – 2}.

Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là u_n = 2^{n – 2}.

Bài 4. Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{n+1}{2n+1}.$ Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 8;                               

B. 6;                                

C. 5;                                

D. 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta cần tìm n sao cho $u_n=\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}\iff 15n+15=16n+8\iff n=7.$

Video bài giảng Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Bài 1: Dãy số

Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng

Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục