Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

A. Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình tương đương

- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f(x)=0\iff g(x)=0$

- Các phép biến đổi tương đương:

+ Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

+ Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

2. Phương trình $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=m$

Phương trình sinx = m ,

• Nếu $\left|m\right|\le 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu $\left|m\right|\le 1$ thì phương trình có nghiệm:

Khi đó, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ thoả mãn $\sin \alpha =m$,

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=m\iff \sin x=\sin \alpha$ $\iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì $\sin x=\sin {\alpha }^o\iff [\begin{array}{l}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x={180}^o-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l}\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$

3. Phương trình $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m$

Phương trình $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m$,

• Nếu $\left|m\right|\le 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu $\left|m\right|\le 1$ thì phương trình có nghiệm:

Khi $\left|m\right|\le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[0;\pi \right]$ thoả mãn $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha =m$. Khi đó:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m\iff \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha$ $\iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì $\cos x=\cos {\alpha }^o\iff [\begin{array}{l}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x=-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=-1\iff x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$

4. Phương trình $\tan x=m$

Phương trình $\tan x=m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m\in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ thoả mãn $\tan \alpha =m$. Khi đó:

$\tan \mathrm{x}=m\iff \tan x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì

$\tan x=\tan {\alpha }^o\iff x={\alpha }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}.$

5. Phương trình $\cot x=m$

Phương trình $\cot x=m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m\in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(0;\pi \right)$ thoả mãn $\cot \alpha =m$. Khi đó:

$\cot \mathrm{x}=m\iff \cot x=\cot \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì

$\cot x=\cot {\alpha }^o\iff x={\alpha }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}.$

6. Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT $\to$MODE $\to$3 (CASIO FX570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT $\to$MODE $\to$4 (CASIO FX570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc $\alpha$ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím  “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc $\alpha$.

Sơ đồ tư duy Phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2sin²x + 2sinx.cosx – 5cos²x = 0

b) $\sqrt{3}\sin x-\cos x=\sqrt{2}$

Hướng dẫn giải

a) $2si{n}^{2}x+2\sin x.\cos x-5co{s}^2\text{x}=0$

⇔ $2{\tan }^{2}x+3\tan x-5=0$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ hoặc $x\approx 1,2+k\pi$ (k ∈ ℤ).

b) $\sqrt{3}\sin x-\cos x=\sqrt{2}$

⇔ $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

⇔ $\sin x.\cos \frac{\pi }{6}-\cos x.\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

⇔ $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{4}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{5\pi }{12}+2k\pi$ hoặc $x=\frac{11\pi }{12}+2k\pi$ (k ∈ ℤ).

Bài 2. Giải phương trình: cos3x.tan5x = sin7x.

Hướng dẫn giải

Điều kiện cos 5x ≠ 0

Khi đó phương trình đã cho trở thành

2sin5x.cos3x = 2sin7x.cos5x

⇔ sin8x = sin12x

• Với $x=\frac{k\pi }{2}$ thì ta có:

$\cos 5x=\cos \frac{5k\pi }{2}=\cos \left(\frac{k\pi }{2}+2k\pi \right)=\cos \left(\frac{k\pi }{2}\right)\ne 0$

⇔ k = 2m (m ∈ ℤ)

• Với $x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}$ thì ta có:

$\cos 5x=\cos \left(\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right)\ne 0$

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=m\pi ;x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}$ (m, k ∈ ℤ).

Bài 3. Tìm x ∈ [0; 14] sao cho: cos3x – 4cos2x + 3cos x – 4 = 0. (1)

Hướng dẫn giải

Ta có: cos3x = 4cos³x – 3cosx

(1) ⇔ cos3x + 3cos x – 4(1 + cos2x) = 0

⇔ 4cos³x – 8cos²x = 0

⇔ 4cos³x.(cos x – 2) = 0

⇔ cos x = 0

⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ (k ∈ ℤ)

Vì x ∈ [0; 14] ⇒ {$x\in \left\{\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2};\frac{7\pi }{2}\right\}.$}

Vậy {$x\in \left\{\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2};\frac{7\pi }{2}\right\}.$}

Video bài giảng Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác - Chân trời sáng tạo

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Lý thuyết Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Bài 1: Dãy số

Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng

Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục