Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Bài 2: Công thức lượng giác sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 2: Công thức lượng giác

A. Lý thuyết Công thức lượng giác

1. Công thức cộng

$\begin{array}{l}\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos asinb\\ sin\left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos asinb\\ \cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin asinb\\ \cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin asinb\\ \tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\\ \tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\end{array}$

2. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l}\sin 2a=2\sin a\cos a\\ \cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\\ \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}\end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

 ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\right]\\ \sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)\right]\\ \sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right]\end{array}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l}\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$

B. Bài tập Công thức lượng giác

Bài 1. Tính sin2a và tan2a biết cos a = $\frac{1}{4}$ và $\frac{3\pi }{2}$<a<2$\pi$.

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3\pi }{2}$<a<2$\pi$nên sina < 0.

Ta có:

sin²a + cos²a = 1 ⇒ sin²a = 1 – cos²a = 1 -  = $\frac{15}{16}$

⇒ sina = $-\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Ta có: sin2a = 2sina cosa = 2..$\frac{1}{4}$ = $-\frac{\sqrt{15}}{8}$

Ta có: tana = $\frac{\sin a}{\cos a}=-\sqrt{15}$

⇒$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$==$=\frac{-2\sqrt{15}}{-14}=\frac{\sqrt{15}}{7}$.

Bài 2. Tính

a) sin biết sin a = $\frac{3}{4}$ và 0 < a < $\frac{\pi }{2}$;

b) cos$\frac{3\pi }{8}$.cos$\frac{\pi }{8}$ + sin$\frac{3\pi }{8}$.sin$\frac{\pi }{8}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì 0<a<$\frac{\pi }{2}$ nên cosa > 0.

Ta có: sin²a + cos²a = 1 ⇒ cos²a = 1 – sin²a = 1-=$\frac{7}{16}$

⇒ cosa = null.

Vậy sin$=\sin a\cos \frac{\pi }{3}-\cos a\sin \frac{\pi }{3}=\frac{3}{4}.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{8}$ .

Suy ra: $\cos \frac{3\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{3\pi }{8}.\sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Bài 3. Tính

a) cos(–15°) + cos255°;

b) sin$\frac{13\pi }{24}$sin$\frac{5\pi }{24}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

cos(-15^o) + cos255^o = 2.cos$\frac{-15°+255°}{2}$.cos$\frac{-15°-255°}{2}$

= 2.cos120^o.cos(135^o) = 2

Vậy cos(–15°) + cos255° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

b) Ta có:

Vậy $\sin \frac{13\pi }{24}\sin \frac{5\pi }{24}=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$.

Video bài giảng Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác - Kết nối tri thức

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Lý thuyết Bài 2: Công thức lượng giác

Lý thuyết Bài 3: Hàm số lượng giác

Lý thuyết Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Bài 5: Dãy số

Lý thuyết Bài 6: Cấp số cộng

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Lý thuyết Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục