Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Tổ hợp sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Tổ hợp

A. Lý thuyết Tổ hợp

1. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Ví dụ: Bạn Mai có 4 chiếc váy màu hồng, màu đỏ, màu trắng, màu tím. Mai muốn chọn 3 trong 4 chiếc váy để mang đi du lịch. Hãy viết các tổ hợp 3 của 4 chiếc áo váy đó.

Hướng dẫn giải

Các tổ hợp chập 3 của 4 chiếc váy là :

Hồng – đỏ – trắng ; Hồng – đỏ – tím ; Đỏ – trắng – tím ; Hồng – trắng – tím.

Vậy ta có 4 tổ hợp chập 3 của 4 chiếc váy là : Hồng – đỏ – trắng ; Hồng – đỏ – tím ; Đỏ – trắng – tím ; Hồng – trắng – tím.

2. Số các tổ hợp

Nhận xét : Một tổ hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Kí hiệu là $C_n^k$ là số tổ hợp chập k của n phần tử với (1 ≤ k ≤ n). Ta có : $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$

Quy ước 0! = 1 ; $C_n^0=1$.

Với những quy ước trên, ta có công thức sau: $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$ (với 0 ≤ k ≤ n).

Ví dụ: Một tổ có 8 người, bạn tổ trưởng muốn cử ra 4 bạn đi tập văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 4 bạn trong 8 bạn đi trực nhật là một tổ hợp chập 4 của 8.

Ta có $C_8^4=\frac{8!}{(8-4)!4!}=70$.

Vậy có 70 cách chọn 4 trong 8 bạn đi tập văn nghệ.

3. Tính chất của các số $C_n^k$ 

Ta có hai đẳng thức sau : $C_n^k=C_n^{n-k}$ (0 ≤ k ≤ n) và $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k=C_n^k$ (1 ≤ k < n).

Ví dụ: Ta có : $C_{10}^6=C_{10}^{10-6}=210$ ; $C_{10-1}^{6-1}+C_{10-1}^6=C_{10}^6=210$.

B. Bài tập Tổ hợp

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Một túi có 7 quả bóng xanh, 3 quả bóng vàng và 14 quả bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên ba quả bóng trong túi. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy 3 quả bóng từ trong túi sao cho 3 quả bóng cùng màu.

Hướng dẫn giải

Để lấy 3 quả bóng cùng màu thì ta thực hiện một trong ba hành động sau:

 –  Lấy 3 quả bóng màu xanh trong 7 quả bóng xanh, ta có $C_7^3$ = 35 cách lấy.

 –  Lấy 3 quả bóng màu vàng trong 3 quả bóng vàng, ta có $C_3^3$ = 1 cách lấy.

 –  Lấy 3 quả bóng màu đỏ trong 14 quả bóng đỏ, ta có $C_{14}^3$ = 364 cách lấy.

Theo quy tắc cộng, ta có 35 + 1 + 364 = 400 cách để lấy được 3 quả bóng cùng màu.

Vậy có 400 cách để lấy được 3 quả bóng cùng màu.

Bài 2. Tính $C_{30}^{19}+C_{30}^{20}-C_{31}^{20}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $C_{30}^{19}+C_{30}^{20}=C_{31}^{20}$ nên $C_{30}^{19}+C_{30}^{20}-C_{31}^{20}$ = $C_{31}^{20}-C_{31}^{20}$ = 0.

Bài 3. Bác Dũng có 8 người bạn. Bác Dũng muốn mời 4 trong 8 người bạn đó đi câu cá vào cuối tuần. Nhưng trong 8 người bạn đó, có 2 người bạn không thích câu cá nên không đi. Vậy số cách chọn nhóm 4 người để đi câu cùng bác Dũng là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Bác Dũng có 8 người bạn nhưng có hai người không đi nên số người có thể đi câu cùng bác Dũng là 8 – 2 = 6 người.

Khi đó, bác Dũng chọn 4 người trong 6 người để đi câu cùng thì số cách chọn là tổ hợp chập 4 của 6 người bạn.

Ta có $C_6^4$ = 15.

⇒ Bác Dũng có 15 cách để lựa chọn 4 người bạn trong 6 người bạn đi câu cá cùng.

Vậy bác Dũng có 15 cách để lựa chọn 4 người bạn đi câu cá cùng.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Từ 6 điểm phân biệt thuộc đường thẳng ∆ và một điểm không thuộc đường thẳng ∆ ta có thể tạo được tất cả bao nhiêu tam giác?

A. 210;

B. 30;

C. 15;

D. 35;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta lấy 2 điểm trong 6 điểm trên đường thẳng ∆ kết hợp với 1 điểm không thuộc ∆ tạo ra một tam giác, có $C_6^2=15$ cách lấy ra 2 điểm thuộc ∆

Vậy số tam giác được lập theo yêu cầu bài toán là: 15 tam giác.

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của n thỏa mãn $A_n^2-3C_n^2=15-5n$.

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện n ≥ 2; n ∈ ℕ.

$A_n^2-3C_n^2=15-5n$$\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}-3.\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}=15-5n$ 

$\iff \left(n-1\right)n-\frac{3\left(n-1\right)n}{2}=15-5n$

⇔ – n² + 11n – 30 = 0

⇔ n = 5 hoặc n = 6.

Vậy có 2 giá trị của n thoả mãn.

Câu 3. Trong hộp có 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh.

A. 245;

B. 3 480;

C. 246;

D. 3 360.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì lấy quả cầu đỏ nhiều hơn quả cầu xanh nên ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1. Lấy được 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu xanh: số cách lấy là $C_5^3.C_7^2$ = 210

Trường hợp 2. Lấy được 4 quả cầu đỏ, 1 quả cầu xanh: số cách lấy là$C_5^4.C_7^1$ = 35

Trường hợp 3. Lấy được 5 quả cầu đỏ, 0 quả cầu xanh: số cách lấy là $C_5^5.C_7^0$ = 1

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lấy là: 210 + 35 + 1 = 246.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Lý thuyết Bài 3: Tổ hợp

Lý thuyết Bài 4: Nhị thức Newton

Lý thuyết Bài 1: Số gần đúng. Sai số

Lý thuyết Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm