Giải Toán 10 trang 98 Tập 1 Cánh diều

ndiep Ngày: 01-02-2023 Lớp 10

282

Với Giải Toán lớp 10 trang 98 Tập 1 Cánh diều tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 trang 98 Tập 1 Cánh diều

Bài 2 trang 98 Toán lớp 10: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) < 90 °$ thì $\vec{a} . \vec{b} < 0;$

B. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) > 90 °$ thì $\vec{a} . \vec{b} > 0$

C. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) < 90 °$ thì $\vec{a} . \vec{b} > 0$

D. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) \neq 90 °$ thì $\vec{a} . \vec{b} < 0.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

Với $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ thì $(\vec{a}, \vec{b}) < 90 °$ $\Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) > 0$

Do đó ta có: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b}) > 0$ .

Vậy $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) < 90 °$ thì $\vec{a} . \vec{b} > 0$ .

Bài 3 trang 98 Toán lớp 10: Tính $\vec{a} . \vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 4, (\vec{a}, \vec{b}) = 30 °$ ;

b) $|\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 6, (\vec{a}, \vec{b}) = 120 °$ ;

c) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3,$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng;

d) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3,$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ = 3 . 4 cos 30° = $6 \sqrt{3}$ .

b) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ = 5 . 6 cos 120° = – 15.

c) Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng nên

$\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| = 2 . 3 = 6$ .

d) Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng nên

$\vec{a} . \vec{b} = - (|\vec{a}| . |\vec{b}|) = - (2 . 3) = - 6$ .

Bài 4 trang 98 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\vec{A B} . \vec{A C}$ ;

b) $\vec{A C} . \vec{B D}$ .

Lời giải:

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau

a) Xét hình vuông ABCD có:

AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a² (định lí py – ta – go)

⇒ AC= $a \sqrt{2}$

Ta lại có đường chéo AC là tia phân giác của $\hat{B A D}$ .

Do đó: $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{B A D} = \frac{1}{2} .90 ° = 45 °$ .

Ta có:

$\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

$= A B . A C . \cos \hat{B A C}$

$= a . a \sqrt{2} . c o s 45^{\circ}$

=a²

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} {=a}^{2}$

b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó: $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ , nên $\vec{A C} . \vec{B D} = 0$ .

Bài 5 trang 98 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh:

$A B^{2} + \vec{A B} . \vec{B C} + \vec{A B} . \vec{C A} = 0$

Lời giải:

Cho tam giác ABC. Chứng minh AB^2 + vectơ AB. vectơ BC + vectơ AB. vectơ CA =0

Ta có:

$A B^{2} + \vec{A B} . \vec{B C} + \vec{A B} . \vec{C A}$

$= A B^{2} + \vec{A B} . (\vec{B C} + \vec{C A})$

$= A B^{2} + \vec{A B} . \vec{B A}$

$= A B^{2} + \vec{A B} . (- \vec{A B})$

$= A B^{2} - {\vec{A B}}^{2}$

$= A B^{2} - A B^{2} = 0$ .

Vậy $A B^{2} + \vec{A B} . \vec{B C} + \vec{A B} . \vec{C A} = 0$ .

Bài 6 trang 98 Toán lớp 10: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A B} . \vec{A H} = \vec{A C} . \vec{A H}$ ;

b) $\vec{A B} . \vec{B C} = \vec{H B} . \vec{B C}$ .

Lời giải:

Tam giác ABC nhọn nên H thuộc cạnh BC.

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng

a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ CB.

Do đó: $\vec{A H} . \vec{C B} = 0$ .

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A H} - \vec{A C} . \vec{A H}$

$= \vec{A H} . \vec{A B} - \vec{A H} . \vec{A C}$ (tính chất giao hoán)

$= \vec{A H} . (\vec{A B} - \vec{A C})$

$= \vec{A H} . \vec{C B} = 0$

Do đó:

$\vec{A B} . \vec{A H} - \vec{A C} . \vec{A H} = 0$

$\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A H} = \vec{A C} . \vec{A H}$

Vậy $\vec{A B} . \vec{A H} = \vec{A C} . \vec{A H}$ .

b) Ta có:

$\vec{A B} . \vec{B C} - \vec{H B} . \vec{B C}$

$= \vec{B C} . \vec{A B} - \vec{B C} . \vec{H B}$ (tính chất giao hoán)

$= \vec{B C} . (\vec{A B} - \vec{H B})$

$= \vec{B C} . (\vec{A B} - (- \vec{B H}))$

$= \vec{B C} . (\vec{A B} + \vec{B H})$

$= \vec{B C} . \vec{A H} = 0$

Suy ra:

$\vec{A B} . \vec{B C} - \vec{H B} . \vec{B C} = 0$

$\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{B C} = \vec{H B} . \vec{B C}$

Vậy $\vec{A B} . \vec{B C} = \vec{H B} . \vec{B C}$ .

Bài 7 trang 98 Toán lớp 10: Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 68). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi.

Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h).

Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi

Lời giải:

Giả sử vận tốc của máy bay theo hướng đông sang tây là $\vec{v_{1}}$ , vận tốc của luồng gió theo hướng đông bắc sang tây nam là $\vec{v_{2}}$ và vận tốc mới của máy bay chính là $\vec{v}$ thỏa mãn $\vec{v} = \vec{v_{1}} + \vec{v_{2}}$ . Ta cần tính độ dài vectơ $\vec{v}$ .

Theo bài ra ta có: $|\vec{v_{1}}| = 700$ km/h, $|\vec{v_{2}}| = 40$ km/h, $(\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}) = 45 °$ .

Biểu diễn bài toán như hình vẽ dưới đây:

Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi

Khi đó ta có: ABCD là hình bình hành có $\hat{A B C} = 45 °$ .

Suy ra: $\hat{D A B} = 180 ° - 45 ° = 135 °$ ; $A D = |\vec{v_{2}}| = 40$ , $A B = |\vec{v_{1}}| = 700$ .

Ta cần tính độ dài đoạn thẳng BD, đây chính là độ dài vectơ $\vec{v}$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABD, ta có:

BD²= AD² + AB² – 2 . AD . AB . cosA

= 40² + 700² – 2 . 40 . 700 . cos135°

≈ 531 197, 98

Suy ra BD ≈ 728,83 (km/h).

Vậy tốc độ mới của máy bay sau khi gặp gió thổi là 728,83 km/h.

Bài 8 trang 98 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\hat{B A C} = 60 °$ . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = \frac{7}{12} \vec{A C}$ .