Với Giải Toán lớp 10 trang 96 Tập 1 Cánh diều tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 trang 96 Tập 1 Cánh diều

Luyện tập 3 trang 96 Toán lớp 10: Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ , ta có:

${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$;

${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$;

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

Lời giải:

+ Ta có:

${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$  (bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$)

$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

$={\overrightarrow{a}}^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

Vậy ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$.

+ Ta có:

${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$ (bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$)

$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right).\left(-\overrightarrow{b}\right)$

$={\overrightarrow{a}}^2-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$  (áp dụng tính chất giao hoán)

 $={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

Vậy ${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$.

+ Ta có:

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{b}$

$={\overrightarrow{a}}^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

Vậy $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

3. Một số ứng dụng

Luyện tập 4 trang 96 Toán lớp 10: Sử dụng tích vô hướng, chứng minh minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BC² = AB² + AC²

Lời giải:

+ Ta chứng minh định lí thuận:

Có tam giác ABC vuông ở A, cần chứng minh BC² = AB² + AC².

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$.

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$

                   = AB² + AC² – 2 . AC . AB . cosA

                   = AB² + AC² – 2 . AC . AB . cos 90°

                   = AB² + AC² – 2 . AC . AB . 0

                   = AB² + AC².

Vậy BC² = AB² + AC².

+ Ta chứng minh định lí đảo:

Cho tam giác ABC có BC² = AB² + AC² thì tam giác ABC vuông tại A.

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$  (*)

Mà theo giả thiết ta có: BC² = AB² + AC² nên thay vào (*) ta được:

BC² = BC² – 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$

Suy ra: 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$  = 0

$\iff \cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=0$  hay  $\cos \widehat{BAC}=0$

Do đó: $\widehat{BAC}=90°$.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Xem thêm các bài giải Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 93 Tập 1

Giải Toán 10 trang 95 Tập 1

Giải Toán 10 trang 97 Tập 1

Giải Toán 10 trang 98 Tập 1