a) $5x^2-6x-1=0$

b) $-3x^2+14x-8=0$

c) $-7x^2+4x=3$

d) $9x^2+6x+1=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$; $x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

$5x^2-6x-1=0$

Có hệ số $a=5;b^{\prime }=-3;c=-1$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac={\left(-3\right)}^2-5.\left(-1\right)$$=9+5=14>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{14}$ 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${\displaystyle x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}=\frac{3+\sqrt{14}}{5}}$

${\displaystyle x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}=\frac{3-\sqrt{14}}{5}}$

 b)

$-3x^2+14x-8=0$

$\iff 3x^2-14x+8=0$

Có hệ số $a=3;b^{\prime }=-7;c=8$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-7\right)}^2-3.8=49-24=25>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{25}=5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${\displaystyle x_1=\frac{7+5}{3}=4}$ 

${\displaystyle x_2=\frac{7-5}{3}=\frac{2}{3}}$

 c)

$-7x^2+4x=3$

$\iff 7x^2-4x+3=0$

Có hệ số $a=7;b^{\prime }=-2;c=3$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-2\right)}^2-7.3=4-21$$=-17<0$

Phương trình vô nghiệm.

 d)

$9x^2+6x+1=0$

Có hệ số $a=9;b^{\prime }=3;c=1$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=3^2-9.1=9-9=0$

Phương trình có nghiệm kép: ${\displaystyle x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}}$

a) $x^2+2+2\sqrt{2}$ và $2\left(1+\sqrt{2}\right)x$

b) $\sqrt{3}{x}^2+2x-1$ và $2\sqrt{3}x+3$

c) $-2\sqrt{2}x-1$ và $\sqrt{2}{x}^2+2x+3$

d) $x^2-2\sqrt{3}x-\sqrt{3}$ và $2x^2+2x+\sqrt{3}$

e) $\sqrt{3}{x}^2+2\sqrt{5}x-3\sqrt{3}$ và $-x^2-2\sqrt{3}x+2\sqrt{5}+1$?

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$; $x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

$x^2+2+2\sqrt{2}=2\left(1+\sqrt{2}\right)x$

$\iff x^2-2\left(1+\sqrt{2}\right)x+2+2\sqrt{2}=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$$={\left[-\left(1+\sqrt{2}\right)\right]}^2-1.\left(2+2\sqrt{2}\right)$

     $=1+2\sqrt{2}+2-2-2\sqrt{2}=1>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{1}=1$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{1+\sqrt{2}+1}{1}=2+\sqrt{2}}$

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{1+\sqrt{2}-1}{1}=\sqrt{2}}$

Vậy với $x=2+\sqrt{2}$ hoặc $x=\sqrt{2}$ thì hai biểu thức đã cho bằng nhau.

 b)

$\sqrt{3}{x}^2+2x-1=2\sqrt{3}x+3$

$\iff \sqrt{3}{x}^2+2x-1-2\sqrt{3}x-3=0$

$\iff \sqrt{3}{x}^2+\left(2-2\sqrt{3}\right)x-4=0$

$\iff \sqrt{3}{x}^2+2\left(1-\sqrt{3}\right)x-4=0$ 

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$$={\left(1-\sqrt{3}\right)}^2-\sqrt{3}\left(-4\right)$

$=1-2\sqrt{3}+3+4\sqrt{3}$

$=1+2\sqrt{3}+3={\left(1+\sqrt{3}\right)}^2>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}=1+\sqrt{3}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}-1+1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2}$

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}-1-1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}}$${\displaystyle =\frac{-2\sqrt{3}}{3}}$

Vậy $x=2$ hoặc ${\displaystyle x=\frac{-2\sqrt{3}}{3}}$ thì hai biểu thức đó bằng nhau.

 c)

$-2\sqrt{2}x-1=\sqrt{2}{x}^2+2x+3$ 

$\iff \sqrt{2}{x}^2+2x+3+2\sqrt{2}x+1=0$ 

$\iff \sqrt{2}{x}^2+\left(2+2\sqrt{2}\right)x+4=0$

$\iff \sqrt{2}{x}^2+2\left(1+\sqrt{2}\right)x+4=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$$={\left(1+\sqrt{2}\right)}^2-\sqrt{2}.4$ 

$=1+2\sqrt{2}+2-4\sqrt{2}$

$=1-2\sqrt{2}+2={\left(\sqrt{2}-1\right)}^2>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}=\sqrt{2}-1$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{-1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}}$$=-\sqrt{2}$

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{-1-\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$$=-2$

Vậy $x=-\sqrt{2}$ hoặc $x=-2$ thì hai biểu thức bằng nhau.

 d)

$x^2-2\sqrt{3}x-\sqrt{3}=2x^2+2x+\sqrt{3}$

$\iff 2x^2+2x+\sqrt{3}-x^2+2\sqrt{3}x+\sqrt{3}=0$

$\iff x^2+\left(2+2\sqrt{3}\right)x+2\sqrt{3}=0$

$\iff x^2+2\left(1+\sqrt{3}\right)x+2\sqrt{3}=0$ 

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$$={\left(1+\sqrt{3}\right)}^2-1.2\sqrt{3}$

$=1+2\sqrt{3}+3-2\sqrt{3}=4>0$ 

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{4}=2$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{-1-\sqrt{3}+2}{1}=1-\sqrt{3}}$

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{-1-\sqrt{3}-2}{1}=-3-\sqrt{3}}$

Vậy $x=1-\sqrt{3}$ hoặc $x=-3-\sqrt{3}$ thì hai biểu thức bằng nhau.

e)

$\sqrt{3}{x}^2+2\sqrt{5}x-3\sqrt{3}=-x^2-2\sqrt{3}x$$+2\sqrt{5}+1$

$\iff \sqrt{3}{x}^2+2\sqrt{5}x-3\sqrt{3}+x^2$$+2\sqrt{3}x-2\sqrt{5}-1=0$

$\iff \left(\sqrt{3}+1\right)x^2+\left(2\sqrt{5}+2\sqrt{3}\right)x$$-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-1=0$ 

$\iff \left(\sqrt{3}+1\right)x^2+2\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)x$$-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-1=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$$={\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}^2$$-\left(\sqrt{3}+1\right)\left(-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-1\right)$
$=5+2\sqrt{15}+3+9+2\sqrt{15}+\sqrt{3}$$+3\sqrt{3}+2\sqrt{5}+1$

$=18+4\sqrt{3}+2\sqrt{5}+4\sqrt{15}$

$=1+12+5+2.2\sqrt{3}+2\sqrt{5}$$+2.2\sqrt{3}.\sqrt{5}$

$=1+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2$$+{\left(\sqrt{5}\right)}^2+\mathrm{2.1.2}\sqrt{3}$$+\mathrm{2.1.}\sqrt{5}+2.2\sqrt{3}.\sqrt{5}$ 

$={\left(1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{{\left(1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2}$$=1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)+1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}}$${\displaystyle =\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=1}$

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)-1-2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}}$${\displaystyle =\frac{-1-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}}$

$=-4+\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{15}$

Vậy $x=1$ và $x=-4+\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{15}$ thì hai biểu thức bằng nhau.

a) $16x^2-8x+1=0$

b) $6x^2-10x-1=0$

c) $5x^2+24x+9=0$

d) $16x^2-10x+1=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}$.

Lời giải:

a)

$16x^2-8x+1=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-4\right)}^2-16.1=16-16=0$

Phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}$${\displaystyle =\frac{4}{16}={\displaystyle \frac{1}{4}=0,25}}$

 b)

$6x^2-10x-1=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-5\right)}^2-6.\left(-1\right)=25+6$$=31>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{31}$ 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{5+\sqrt{31}}{6}\approx 1,76}$

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{5-\sqrt{31}}{6}\approx -0,09}$

 c)

$5x^2+24x+9=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={12}^2-5.9=144-45$$=99>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{99}=3\sqrt{11}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{-12+3\sqrt{11}}{5}\approx -0,41}$

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{-12-3\sqrt{11}}{5}\approx -4,39}$

 d)

$16x^2-10x+1=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-5\right)}^2-16.1=25-16$$=9>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{9}=3$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{5+3}{16}=\frac{8}{16}=0,5}$ 

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{5-3}{16}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}\approx 0,13}$

a) ${\displaystyle y=\frac{1}{3}{x}^2}$ và $y=2x-3$

b) ${\displaystyle y=-\frac{1}{2}{x}^2}$ và $y=x-8$?

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$; $x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

${\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2=2x-3}$

$\iff x^2=6x-9$

$\iff x^2-6x+9=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-3\right)}^2-1.9=9-9=0$

Phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}=3$

Vậy $x=3$ thì hàm số ${\displaystyle y=\frac{1}{3}{x}^2}$ và hàm số $y=2x-3$ có giá trị bằng nhau.

b)

${\displaystyle -\frac{1}{2}{x}^2=x-8}$

$\iff -x^2=2x-16$

$\iff x^2+2x-16=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1^2-1.\left(-16\right)=1+16$$=17>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{17}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{-1+\sqrt{17}}{1}=-1+\sqrt{17}}$

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}}$${\displaystyle =\frac{-1-\sqrt{17}}{1}=-1-\sqrt{17}}$

Vậy $x=\sqrt{17}-1$ hoặc $x=-\left(1+\sqrt{17}\right)$ thì giá trị của hai hàm số ${\displaystyle y=-\frac{1}{2}{x}^2}$ và $y=x-8$ bằng nhau.

a) Phương trình $2x^2-m^{2}x+18m=0$ có một nghiệm $x=-3.$

b) Phương trình $m{x}^2-x-5m^2=0$ có một nghiệm $x=-2$?

Phương pháp giải:

Thay $x=-3$ vào phương trình $2x^2-m^{2}x+18m=0$ từ đó giải phương trình bậc hai ẩn $m$.

Lời giải:

a)

Vì $x=-3$ là nghiệm của phương trình $2x^2-m^{2}x+18m=0$ (1)

Nên thay $x=-3$ vào phương trình $2x^2-m^{2}x+18m=0$, ta được: 

$\begin{array}{rl}& 2.{\left(-3\right)}^2-m^2\left(-3\right)+18m=0\\ & \iff 3m^2+18m+18=0\\ & \iff m^2+6m+6=0(a=1,b^{\prime }=3,c=6)\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=3^2-1.6=9-6=3>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{3}\\ & m_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}=\frac{-3+\sqrt{3}}{1}=-3+\sqrt{3}\\ & m_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}=\frac{-3-\sqrt{3}}{1}=-3-\sqrt{3}\end{array}$

Vậy $m=-3+\sqrt{3}$ hoặc $m=-3-\sqrt{3}$ thì phương trình (1) có nghiệm $x=-3$.

 b)

Vì $x=-2$ là nghiệm của phương trình $m{x}^2-x-5m^2=0$    (2)

Nên thay $x=-2$ vào phương trình $m{x}^2-x-5m^2=0$, ta được:

$\begin{array}{rl}& m.{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-5m^2=0\\ & \iff 5m^2-4m-2=0(a=5,b^{\prime }=-2,c=-2)\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-2\right)}^2-5.\left(-2\right)=14>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{14}\\ & m_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}=\frac{2+\sqrt{14}}{5}\\ & m_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}=\frac{2-\sqrt{14}}{5}\end{array}$

Vậy ${\displaystyle m=\frac{2+\sqrt{14}}{5}}$ hoặc ${\displaystyle m=\frac{2-\sqrt{14}}{5}}$ thì phương trình (2) có nghiệm $x=-2$.

a) $x^2-2\left(m+3\right)x+m^2+3=0$

b) $\left(m+1\right)x^2+4mx+4m-1=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $a\ne 0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac>0$.

Lời giải:

a)

Phương trình $x^2-2\left(m+3\right)x+m^2+3=0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left[-\left(m+3\right)\right]}^2-1\left(m^2+3\right)\\ & =m^2+6m+9-m^2-3=6m+6\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\iff 6m+6>0\\ & \iff 6m>-6\iff m>-1\end{array}$

Vậy $m>-1$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

 b)

Phương trình $\left(m+1\right)x^2+4mx+4m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m+1\ne 0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$

$m+1\ne 0\iff m\ne -1$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(2m\right)}^2-\left(m+1\right)\left(4m-1\right)$

      $=4m^2-4m^2+m-4m+1$

      $=1-3m$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\iff 1-3m>0\iff 3m<1$${\displaystyle \iff m<\frac{1}{3}}$

Vậy ${\displaystyle m<\frac{1}{3}}$ và $m\ne -1$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

a) $5x^2+2mx-2m+15=0$

b) $m{x}^2-4\left(m-1\right)x-8=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có nghiệm kép khi và chỉ khi $a\ne 0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac=0$.

Lời giải:

a)

Phương trình $5x^2+2mx-2m+15=0$ có nghiệm kép khi và chỉ khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-5\left(-2m+15\right)$$=m^2+10m-75$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0\iff m^2+10m-75=0$

Giải phương trình: $m^2+10m-75=0$

Ta có: ${\mathrm{\Delta }}_m^{\prime }=5^2-1.\left(-75\right)=25+75$$=100>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_m^{\prime }}=\sqrt{100}=10$ 

${\displaystyle m_1=\frac{-5+10}{1}=5}$

${\displaystyle m_2=\frac{-5-10}{1}=-15}$

Vậy $m=5$ hoặc $m=-15$ thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

 b)

Phương trình $m{x}^2-4\left(m-1\right)x-8=0$ có nghiệm kép khi và chỉ khi $m\ne 0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left[-2\left(m-1\right)\right]}^2-m.\left(-8\right)\\ & =4\left(m^2-2m+1\right)+8m\\ & =4m^2-8m+4+8m\\ & =4m^2+4\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0\iff 4m^2+4=0\end{array}$

Ta có $4m^2\ge 0\Rightarrow 4m^2+4\ge 4>0$ với mọi $m$

Nên phương trình $4m^2+4=0$ vô nghiệm.

Vậy không có giá trị nào của $m$ để phương trình có nghiệm kép.