Công thức nghiệm thu gọn Toán 9: lý thuyết, bài tập

Trả lời nhanh

Với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có b = 2b’, ta tính Δ’ = b’² − ac. Nếu Δ’ > 0: hai nghiệm phân biệt x = (−b’ ± √Δ’)/a. Nếu Δ’ = 0: nghiệm kép x = −b’/a. Nếu Δ’ < 0: vô nghiệm. Cách này gọn hơn vì số nhỏ hơn, ít sai hơn khi b chẵn.

Công thức nghiệm thu gọn dùng khi nào?

Công thức nghiệm thu gọn dành cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) mà hệ số b là số chẵn, tức b = 2b’. Khi đó b’ = b : 2, và ta làm việc với số nhỏ hơn một nửa so với công thức nghiệm thông thường.

Dấu hiệu nhận biết nhanh: hệ số của x là −6, 8, 2√3, 2(m − 1)… thì nên nghĩ ngay đến công thức thu gọn.

Công thức nghiệm thu gọn

Đặt b = 2b’ và Δ’ = b’² − ac. Ta có bảng sau:

Dấu của Δ’	Kết luận	Nghiệm
Δ’ > 0	Hai nghiệm phân biệt	x₁ = (−b’ + √Δ’)/a; x₂ = (−b’ − √Δ’)/a
Δ’ = 0	Nghiệm kép	x₁ = x₂ = −b’/a
Δ’ < 0	Vô nghiệm	Không có

Vì sao công thức này đúng?

Thay b = 2b’ vào biệt thức Δ = b² − 4ac, ta được Δ = 4b’² − 4ac = 4(b’² − ac) = 4Δ’. Vì vậy Δ và Δ’ luôn cùng dấu, nên số nghiệm của phương trình không đổi.

Khi Δ > 0, nghiệm là x = (−b ± √Δ)/(2a) = (−2b’ ± 2√Δ’)/(2a). Rút gọn thừa số 2 ở tử và mẫu, ta được x = (−b’ ± √Δ’)/a. Đây chính là công thức thu gọn, không có gì mới về bản chất, chỉ là bỏ bớt phép nhân 2 và nhân 4.

So sánh hai công thức

Tiêu chí	Công thức thông thường	Công thức thu gọn
Điều kiện	Mọi phương trình bậc hai	Chỉ tiện khi b chẵn
Biệt thức	Δ = b² − 4ac	Δ’ = b’² − ac
Mẫu số của nghiệm	2a	a
Nghiệm kép	−b/(2a)	−b’/a

Mẹo nhớ: Δ’ có “b’ bình phương trừ a c” (không có số 4), và mẫu của nghiệm là a (không có số 2). Thu gọn thì bỏ hết các số 2, 4.

Các bước giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn

Đưa phương trình về dạng ax² + bx + c = 0, xác định a, b, c (chú ý dấu).
Kiểm tra b có chẵn không, tính b’ = b : 2.
Tính Δ’ = b’² − ac.
Xét dấu Δ’ rồi kết luận số nghiệm và tính nghiệm.
Thay nghiệm vào phương trình (hoặc nhẩm tổng, tích) để kiểm tra lại.

Ví dụ minh hoạ có lời giải

Ví dụ 1: Hai nghiệm phân biệt

Giải phương trình 5x² − 4x − 1 = 0.

Ta có a = 5, b’ = −2, c = −1. Δ’ = (−2)² − 5·(−1) = 4 + 5 = 9 > 0, √Δ’ = 3.

x₁ = (2 + 3)/5 = 1; x₂ = (2 − 3)/5 = −1/5. Kiểm tra nhanh: a + b + c = 5 − 4 − 1 = 0 nên x = 1 là nghiệm, khớp kết quả.

Ví dụ 2: Nghiệm kép

Giải phương trình 9x² + 12x + 4 = 0.

Ta có a = 9, b’ = 6, c = 4. Δ’ = 6² − 9·4 = 36 − 36 = 0. Phương trình có nghiệm kép x = −6/9 = −2/3.

Nhận xét: vế trái chính là (3x + 2)², nên nghiệm kép x = −2/3 là hợp lí.

Ví dụ 3: Vô nghiệm

Giải phương trình x² − 2x + 5 = 0.

Ta có a = 1, b’ = −1, c = 5. Δ’ = (−1)² − 1·5 = −4 < 0. Phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 4: Hệ số chứa căn

Giải phương trình x² − 2√3·x + 2 = 0.

Ở đây b = −2√3 nên b’ = −√3. Δ’ = (−√3)² − 1·2 = 3 − 2 = 1 > 0. Vậy x = √3 + 1 hoặc x = √3 − 1.

Đây là kiểu bài mà công thức thu gọn thể hiện rõ ưu thế: nếu dùng Δ = 12 − 8 = 4 thì phải xử lý thêm 2√3 và mẫu 2.

Ví dụ 5: Hệ số a âm

Giải phương trình −x² + 6x − 9 = 0.

Ta có a = −1, b’ = 3, c = −9. Δ’ = 3² − (−1)(−9) = 9 − 9 = 0. Nghiệm kép x = −b’/a = −3/(−1) = 3.

Chú ý dấu của a: nếu quên a âm sẽ ra x = −3, sai.

Ví dụ 6: Bài toán chứa tham số

Cho phương trình x² − 2(m − 1)x + m² − 3m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ta có a = 1, b’ = −(m − 1), c = m² − 3m. Δ’ = (m − 1)² − (m² − 3m) = m² − 2m + 1 − m² + 3m = m + 1.

Hai nghiệm phân biệt: Δ’ > 0 ⇔ m > −1.
Nghiệm kép: Δ’ = 0 ⇔ m = −1 (khi đó x = m − 1 = −2).
Vô nghiệm: Δ’ < 0 ⇔ m < −1.

Lưu ý: bài này b = −2(m − 1) chẵn sẵn, đúng dạng “2b'” nên dùng thu gọn rất hợp.

Lỗi sai thường gặp

Nhầm Δ’ = b’² − 4ac. Công thức thu gọn không có số 4. Hãy nhớ Δ = 4Δ’.
Dùng mẫu 2a cho nghiệm. Với Δ’ thì mẫu là a. Viết (−b’ ± √Δ’)/(2a) là sai.
Lấy b’ = b thay vì b : 2. Ví dụ phương trình x² − 8x + 7 = 0 có b’ = −4, không phải −8.
Sai dấu b’. Khi viết nghiệm là −b’ nên phải lấy dấu ngược lại với b’.
Quên chuyển về dạng chuẩn. Phải đưa mọi hạng tử về một vế trước khi xác định a, b, c.
Cố dùng thu gọn khi b lẻ. Vẫn tính được (b’ là phân số) nhưng dễ sai; lúc này dùng công thức thông thường cho an toàn.

Bài luyện tập có đáp án

Bài 1

Giải các phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:

x² − 6x + 5 = 0
2x² + 4x + 5 = 0
16x² − 8x + 1 = 0

Đáp án:

a) b’ = −3, Δ’ = 9 − 5 = 4 > 0, x = 3 ± 2, tức x = 5 hoặc x = 1.
b) b’ = 2, Δ’ = 4 − 10 = −6 < 0, phương trình vô nghiệm.
c) b’ = −4, Δ’ = 16 − 16 = 0, nghiệm kép x = 4/16 = 1/4.

Bài 2

Cho phương trình x² + 2mx + 3m − 2 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm.

Đáp án: a = 1, b’ = m, c = 3m − 2. Δ’ = m² − 3m + 2 = (m − 1)(m − 2). Phương trình có nghiệm khi Δ’ ≥ 0, tức m ≤ 1 hoặc m ≥ 2. (Vô nghiệm khi 1 < m < 2.)

Bài 3

Chứng minh phương trình x² − 2mx + m² − 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Đáp án: b’ = −m, Δ’ = m² − (m² − 1) = 1 > 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x = m + 1 và x = m − 1.

Luyện thêm

Để rèn tốc độ và độ chính xác, bạn nên làm tiếp các bộ bài sau:

50 bài tập công thức nghiệm thu gọn có đáp án
30 câu trắc nghiệm công thức nghiệm rút gọn
Giải SBT Toán 9 bài công thức nghiệm thu gọn

Tóm tắt cần nhớ

Dùng khi b = 2b’ (b chẵn).
Δ’ = b’² − ac, luôn cùng dấu với Δ vì Δ = 4Δ’.
Δ’ > 0: x = (−b’ ± √Δ’)/a; Δ’ = 0: x = −b’/a; Δ’ < 0: vô nghiệm.
Luôn xác định đúng dấu của a, b’, c trước khi thay số.

Câu hỏi thường gặp

Công thức nghiệm thu gọn áp dụng khi nào?

Khi phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hệ số b là số chẵn, tức b = 2b'. Khi đó tính Δ' = b'² − ac sẽ gọn và ít sai hơn.

Δ và Δ' có quan hệ gì?

Δ = 4Δ'. Vì vậy hai biệt thức luôn cùng dấu và cho cùng kết luận về số nghiệm của phương trình.

Nếu hệ số b lẻ thì có dùng được công thức thu gọn không?

Về lí thuyết vẫn dùng được, nhưng b' sẽ là phân số nên dễ tính sai. Trường hợp này nên dùng công thức nghiệm thông thường với Δ = b² − 4ac.

Nghiệm kép theo công thức thu gọn tính thế nào?

Khi Δ' = 0, phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = −b'/a. Chú ý mẫu số là a chứ không phải 2a.