a) $2x^2-5x+1=0$

b) $4x^2+4x+1=0$

c) $5x^2-x+2=0$

d) $-3x^2+2x+8=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$:

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1$= ${\displaystyle \frac{-b+\sqrt{△}}{2a}}$  và $x_2$= ${\displaystyle \frac{-b-\sqrt{△}}{2a}}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

$2x^2-5x+1=0$ có hệ số $a=2,b=-5,c=1$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-5\right)}^2-\mathrm{4.2.1}$$=25-8=17>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{17}$

Phương trình đã cho có hai nghiệm là:

${\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{17}}{2.2}}$ ${\displaystyle =\frac{5+\sqrt{17}}{4}}$

${\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{17}}{2.2}}$ ${\displaystyle =\frac{5-\sqrt{17}}{4}}$

 b)

$4x^2+4x+1=0$ có hệ số $a=4,b=4,c=1$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=4^2-\mathrm{4.4.1}$$=16-16=0$

Phương trình có nghiệm kép: ${\displaystyle x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2.4}=-\frac{1}{2}}$

 c)

$5x^2-x+2=0$ có hệ số $a=5,b=-1,c=2$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.5.2}$$=1-40=-39<0$

Phương trình vô nghiệm.

 d)

$-3x^2+2x+8=0$ có hệ số $a=-3,b=2,c=8$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=2^2-4.\left(-3\right).8$$=100>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{100}=10$ 

Phương trình đã cho có hai nghiệm là:

${\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-2-10}{2.\left(-3\right)}}$${\displaystyle =\frac{-12}{-6}=2}$ 

${\displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-2+10}{2.\left(-3\right)}}$${\displaystyle =-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}}$.

a) $2x^2-2\sqrt{2}x+1=0$

b) ${\displaystyle 2x^2-\left(1-2\sqrt{2}\right)x-\sqrt{2}=0}$

c) ${\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2-2x-\frac{2}{3}=0}$

d) $3x^2+7,9x+3,36=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$:

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1$$={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{△}}{2a}}$  và $x_2$= ${\displaystyle \frac{-b-\sqrt{△}}{2a}}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

$2x^2-2\sqrt{2}x+1=0$ có hệ số $a=2,b=-2\sqrt{2},c=1$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-2\sqrt{2}\right)}^2-\mathrm{4.2.1}$$=8-8=0$

Phương trình có nghiệm kép: ${\displaystyle x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2\sqrt{2}}{2.2}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$

b)

$2x^2-\left(1-2\sqrt{2}\right)x-\sqrt{2}=0$

Hệ số $a=2,b=-\left(1-2\sqrt{2}\right),c=-\sqrt{2}$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$={\left[-\left(1-2\sqrt{2}\right)\right]}^2-\mathrm{4.2.}\left(-\sqrt{2}\right)$$=1-4\sqrt{2}+8+8\sqrt{2}$

$\mathrm{\Delta }=1+4\sqrt{2}+8$$=1+2.2\sqrt{2}+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2$$={\left(1+2\sqrt{2}\right)}^2>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{{\left(1+2\sqrt{2}\right)}^2}=1+2\sqrt{2}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}}$${\displaystyle =\frac{1-2\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}}{2.2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}}$

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}}$${\displaystyle =\frac{1-2\sqrt{2}-1-2\sqrt{2}}{2.2}=\frac{-4\sqrt{2}}{4}}$$=-\sqrt{2}$

 c)

${\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2-2x-\frac{2}{3}=0}$

$\iff x^2-6x-2=0$

Hệ số $a=1,b=-6,c=-2$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-6\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-2\right)$$=36+8=44>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${\displaystyle x_1=\frac{6+2\sqrt{11}}{2.1}=3+\sqrt{11}}$

${\displaystyle x_2=\frac{6-2\sqrt{11}}{2.1}=3-\sqrt{11}}$

 d)

$3x^2+7,9x+3,36=0$

Hệ số $a=3;b=7,9;c=3,36$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(7,9\right)}^2-\mathrm{4.3.3},36$$=62,41-40,32=22,09>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{22,09}=4,7$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${\displaystyle x_1=\frac{-7,9+4,7}{2.3}=\frac{-3,2}{6}=\frac{-32}{60}}$${\displaystyle =-\frac{8}{15}}$

${\displaystyle x_2=\frac{-7,9-4,7}{2.3}=\frac{-12,6}{6}=-2,1}$

Cho phương trình $2x^2+x-3=0$

a) Vẽ các đồ thị của hai hàm số: $y=2x^2,y=-x+3$ trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho.

c) Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu b.

Phương pháp giải:

- Lập bảng giá trị $x,y$ của hàm số $y=2x^2$ từ đó vẽ đồ thị của hàm số đó.

- Lấy hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số $y=-x+3$, đường thẳng đi qua hai điểm đó là đồ thị của hàm số $y=-x+3$.

Lời giải:

* Vẽ đồ thị hàm số $y=2x^2$

* Vẽ đồ thị $y=-x+3$

- Cho $x=0\Rightarrow y=3$ ta được $A(0;3)$

- Cho $y=0\Rightarrow x=3$ ta được $B(3;0)$

Đường thẳng $AB$ là đồ thị của hàm số $y=-x+3$.

b)

Từ đồ thị ta tìm được hai giao điểm của hai đồ thị là $M(-1,5;4,5);N(1;2)$.

+) $x=-1,5$ là nghiệm của phương trình $2x^2+x-3=0$ vì:

$2.{\left(-1,5\right)}^2-1,5-3=4,5-4,5=0$

+) $x=1$ là nghiệm của phương trình $2x^2+x-3=0$ vì:

${2.1}^2+1-3=2+1-3=0$

 c)

$2x^2+x-3=0$

Hệ số $a=2,b=1,c=-3$

$\mathrm{\Delta }=1^2-\mathrm{4.2.}\left(-3\right)=1+24$$=25>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{25}=5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}}$${\displaystyle =\frac{-1+5}{2.2}=\frac{4}{4}=1}$ 

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}}$${\displaystyle =\frac{-1-5}{2.2}=\frac{-6}{4}=-1,5}$

Hai nghiệm của phương trình là $x=-1,5;x=1$ trùng với hai nghiệm tìm được ở câu b. 

a) Vẽ đồ thị của hàm số ${\displaystyle y=\frac{1}{2}{x}^2}$ và $y=2x-1$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Dùng đồ thị tìm giá trị gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

b) Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu a.

Phương pháp giải:

- Lập bảng giá trị $x,y$ của hàm số ${\displaystyle y=\frac{1}{2}{x}^2}$ từ đó vẽ đồ thị của hàm số đó.

- Lấy hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số $y=2x-1$, đường thẳng đi qua hai điểm đó là đồ thị của hàm số $y=2x-1$.

* Từ các giao điểm trên đồ thị ta dựng đường thẳng vuông góc với trục hoành cắt trục hoành tại đâu thì đó là hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho.

Lời giải:

a)

* Vẽ đồ thị ${\displaystyle y=\frac{1}{2}{x}^2}$

* Vẽ đồ thị $y=2x-1$

- Cho $x=0\Rightarrow y=-1$ ta được $A(0;-1)$ thuộc đồ thị của hàm số $y=2x-1$.

- Cho $y=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ta được $B\left({\displaystyle \frac{1}{2}};0\right)$ thuộc đồ thị của hàm số $y=2x-1$.

Vậy đường thẳng $AB$ là đồ thị của hàm số $y=2x-1$.

Từ đồ thị ta dự đoán:

Hoành độ giao điểm là: $x_1\approx 0,60;x_2\approx 3,40$.

Nghiệm của phương trình là: $x_1\approx 0,60;x_2\approx 3,40$. 

 b)

${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2-2x+1=0}$

$\iff x^2-4x+2=0$

$\mathrm{\Delta }={\left(-4\right)}^2-\mathrm{4.1.2}=16-8=8>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$${\displaystyle =\frac{4+2\sqrt{2}}{2.1}=2+\sqrt{2}\approx 3,41}$

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}}$${\displaystyle =\frac{4-2\sqrt{2}}{2.1}=2-\sqrt{2}\approx 0,59}$.

Hai nghiệm của phương trình là $x_1\approx 0,59;x_2\approx 3,41$ gần giống với kết quả tìm được ở câu b.

a) $m{x}^2-2\left(m-1\right)x+2=0$

b) $3x^2+\left(m+1\right)x+4=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có nghiệm kép 

$\iff \{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }=0\end{array}$

Trong đó: $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$.

Lời giải:

a)

$m{x}^2-2\left(m-1\right)x+2=0$

Phương trình có nghiệm kép

$\iff \{\begin{array}{c}m\ne 0\\ \mathrm{\Delta }=0\end{array}$

$\mathrm{\Delta }={\left[-2\left(m-1\right)\right]}^2-4.m.2$$=4\left(m^2-2m+1\right)-8m$$=4.m^2-8.m+4-8.m=4.m^2-16.m+4=4.\left(m^2-4m+1\right)$

$\mathrm{\Delta }=0$ $\iff 4\left(m^2-4m+1\right)=0$

$\iff m^2-4m+1=0$

Giải phương trình: $m^2-4m+1=0$

Có ${\mathrm{\Delta }}_m={\left(-4\right)}^2-\mathrm{4.1.1}=16-4$$=12>0$

$\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}_m}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

${\displaystyle m_1=\frac{4+2\sqrt{3}}{2.1}=2+\sqrt{3}}$ (thỏa mãn điều kiện $m\ne 0$)

${\displaystyle m_2=\frac{4-2\sqrt{3}}{2.1}=2-\sqrt{3}}$ (thỏa mãn điều kiện $m\ne 0$)

Vậy $m=2+\sqrt{3}$ hoặc $m=2-\sqrt{3}$ thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

 b)

$3x^2+\left(m+1\right)x+4=0$

Phương trình có nghiệm kép $\iff \{\begin{array}{c}a=3\ne 0\\ \mathrm{\Delta }=0\end{array}$

$\mathrm{\Delta }={\left(m+1\right)}^2-\mathrm{4.3.4}$$=m^2+2m+1-48$$=m^2+2m-47$

$\mathrm{\Delta }=0$ $\iff m^2+2m-47=0$

Giải phương trình: $m^2+2m-47=0$ 

Có: ${\mathrm{\Delta }}_m=2^2-4.1\left(-47\right)$$=4+188=192>0$ 

$\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}_m}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}$

${\displaystyle m_1=\frac{-2+8\sqrt{3}}{2.1}=4\sqrt{3}-1}$

${\displaystyle m_2=\frac{-2-8\sqrt{3}}{2.1}=-1-4\sqrt{3}}$

Vậy $m=4\sqrt{3}-1$ hoặc $m=-1-4\sqrt{3}$ thì phương trình có nghiệm kép.

a) $m{x}^2+\left(2x-1\right)x+m+2=0$

b) $2x^2-\left(4m+3\right)x+2m^2-1=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$  (1) (có chứa tham số $m$).

- TH1: $a=0$ từ đó tìm nghiệm của (1).

- TH2: $a\ne 0$, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }\ge 0$.

Lời giải:

a)

$m{x}^2+\left(2m-1\right)x+m+2=0$

- Nếu $m=0$ ta có phương trình: $-x+2=0\iff x=2$

- Nếu $m\ne 0$ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }\ge 0$

$\mathrm{\Delta }={\left(2m-1\right)}^2-4m\left(m+2\right)$

     $=4m^2-4m+1-4m^2-8m$

     $=-12m+1$
$\mathrm{\Delta }\ge 0$ $\iff -12m+1\ge 0$ $\iff m\le {\displaystyle \frac{1}{12}}$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \sqrt{1-12m}}$

Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}=\frac{-\left(2m-1\right)+\sqrt{1-12m}}{2.m}}$${\displaystyle =\frac{1-2m+\sqrt{1-12m}}{2m}}$

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}=\frac{-\left(2m-1\right)-\sqrt{1-12m}}{2.m}}$${\displaystyle =\frac{1-2m-\sqrt{1-12m}}{2m}}$

 b)

$2x^2-\left(4m+3\right)x+2m^2-1=0$  

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }\ge 0$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }={\left[-\left(4m+3\right)\right]}^2-4.2\left(2m^2-1\right)\\ & =16m^2+24m+9-16m^2+8\\ & =24m+17\\ & \mathrm{\Delta }\ge 0\iff 24m+17\ge 0\\ & \iff m\ge -\frac{17}{24}\\ & \Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{24m+17}\end{array}$

Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

${\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}}$${\displaystyle =\frac{4m+3+\sqrt{24m+17}}{4}}$

${\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}}$${\displaystyle =\frac{4m+3-\sqrt{24m+17}}{4}}$.