Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Một nghiệm của phương trình $ax+by=c$  ($a\ne 0$ hoặc $b\ne 0$) là một cặp số $(x_0;y_0)$ sao

cho $a{x}_0+b{y}_0=c.$ 

Lời giải:

$1.$ Xét cặp số $(2;-5)$

- Thay $x=2;y=-5$ vào phương trình $3x+2y=-4$ ta được: $3.2+2.(-5)=-4$

$\iff -4=-4$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(2;-5)$ là nghiệm của phương trình $3x+2y=-4$.

- Thay $x=2;y=-5$ vào phương trình $x-5y=1$ ta được: $2-5.(-5)=1$

$\iff 27=1$ (vô lí)

Do đó cặp số $(2;-5)$ không phải là nghiệm của phương trình $x-5y=1$.

- Thay $x=2;y=-5$ vào phương trình $0x+3y=-6$ ta được: $0.2+3.(-5)=-6$

$\iff -15=-6$ (vô lí)

Do đó cặp số $(2;-5)$ không phải là nghiệm của phương trình $0x+3y=-6$.

- Thay $x=2;y=-5$ vào phương trình $7x+0y=21$ ta được: $7.2+0.(-5)=21$$\iff 14=21$ (vô lí)

Do đó cặp số $(2;-5)$ không phải là nghiệm của phương trình $7x+0y=21$.

$2.$ Xét cặp số $(1;0)$

- Thay $x=1;y=0$ vào phương trình $3x+2y=-4$ ta được: $3.1+2.0=-4$

$\iff 3=-4$ (vô lí)

Do đó cặp số $(1;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $3x+2y=-4$.

- Thay $x=1;y=0$ vào phương trình $x-5y=1$ ta được: $1-5.0=1$

$\iff 1=1$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(1;0)$ là nghiệm của phương trình $x-5y=1$.

- Thay $x=1;y=0$ vào phương trình $0x+3y=-6$ ta được: $0.1+3.0=-6$

$\iff 0=-6$ (vô lí)

Do đó cặp số $(1;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $0x+3y=-6$.

- Thay $x=1;y=0$ vào phương trình $7x+0y=21$ ta được: $7.1+0.0=21$

$\iff 7=21$ (vô lí)

Do đó cặp số $(1;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $7x+0y=21$.

$3.$ Xét cặp số $(3;-2)$

- Thay $x=3;y=-2$ vào phương trình $3x+2y=-4$ ta được: $3.3+2.(-2)=-4$ $\iff 5=-4$ (vô lí)

Do đó cặp số $(3;-2)$ không phải là nghiệm của phương trình $3x+2y=-4$.

- Thay $x=3;y=-2$ vào phương trình $x-5y=1$ ta được: $3-5.(-2)=1$

$\iff 13=1$ (vô lí)

Do đó cặp số $(3;-2)$ không phải là nghiệm của phương trình $x-5y=1$.

- Thay $x=3;y=-2$ vào phương trình $0x+3y=-6$ ta được: $0.3+3.(-2)=-6$

$\iff -6=-6$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(3;-2)$ là nghiệm của phương trình $0x+3y=-6$.

- Thay $x=3;y=-2$ vào phương trình $7x+0y=21$ ta được: $7.3+0.(-2)=21$

$\iff 21=21$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(3;-2)$ là nghiệm của phương trình $7x+0y=21$.

$4.$ Xét cặp số $(6;1)$

- Thay $x=6;y=1$ vào phương trình $3x+2y=-4$ ta được: $3.6+2.1=-4$

$\iff 20=-4$ (vô lí)

Do đó cặp số $(6;1)$ không phải là nghiệm của phương trình $3x+2y=-4$.

- Thay $x=6;y=1$ vào phương trình $x-5y=1$ ta được: $6-5.1=1$

$\iff 1=1$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(6;1)$ là nghiệm của phương trình $x-5y=1$.

- Thay $x=6;y=1$ vào phương trình $0x+3y=-6$ ta được: $0.6+3.1=-6$

$\iff 3=-6$ (vô lí)

Do đó cặp số $(6;1)$ không phải là nghiệm của phương trình $0x+3y=-6$.

- Thay $x=6;y=1$ vào phương trình $7x+0y=21$ ta được: $7.6+0.1=21$

$\iff 42=21$ (vô lí)

Do đó cặp số $(6;1)$ không phải là nghiệm của phương trình $7x+0y=21$.

$5.$ Xét cặp số $(0;-2)$

- Thay $x=0;y=-2$ vào phương trình $3x+2y=-4$ ta được: $3.0+2.(-2)=-4$

$\iff -4=-4$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(0;-2)$ là nghiệm của phương trình $3x+2y=-4$.

- Thay  $x=0;y=-2$ vào phương trình $x-5y=1$ ta được: $0-5.(-2)=1$

$\iff 10=1$ (vô lí)

Do đó cặp số $(0;-2)$ không phải là nghiệm của phương trình $x-5y=1$.

- Thay $x=0;y=-2$ vào phương trình $0x+3y=-6$ ta được: $0.0+3.(-2)=-6$

$\iff -6=-6$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(0;-2)$ là nghiệm của phương trình $0x+3y=-6$.

- Thay $x=0;y=-2$  vào phương trình $7x+0y=21$ ta được: $7.0+0.(-2)=21$

$\iff 0=21$ (vô lí)

Do đó cặp số $(0;-2)$ không phải là nghiệm của phương trình $7x+0y=21$.

$6.$ Xét cặp số $(0;0)$

- Thay $x=0;y=0$ vào phương trình $3x+2y=-4$ ta được: $3.0+2.0=-4$

$\iff 0=-4$ (vô lí)

Do đó cặp số $(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $3x+2y=-4$.

- Thay  $x=0;y=0$ vào phương trình $x-5y=1$ ta được: $0-5.0=1$

$\iff 0=1$ (vô lí)

Do đó cặp số $(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $x-5y=1$.

- Thay $x=0;y=0$ vào phương trình $0x+3y=-6$ ta được: $0.0+3.0=-6$

$\iff 0=-6$ (vô lí)

Do đó cặp số $(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $0x+3y=-6$.

- Thay $x=0;y=0$  vào phương trình $7x+0y=21$ ta được: $7.0+0.0=21$

$\iff 0=21$ (vô lí)

Do đó cặp số $(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $7x+0y=21$.

$a)$ $2x-y=3$

$b)$ $x+2y=4$

$c)$ $3x-2y=6$

$d)$ $2x+3y=5$

$e)$ $0x+5y=-10$

$f)$ $-4x+0y=-12$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

$1)$ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $ax+by=c$  $(1)$

+) Nếu $a\ne 0$ và $b\ne 0$ thì phương trình $(1)$ có nghiệm tổng quát là:

$\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y={\displaystyle \frac{-a}{b}}x+{\displaystyle \frac{c}{b}}& & \end{array}$

hoặc $\{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{-b}{a}}y+{\displaystyle \frac{c}{a}}& & \\ y\in \mathbb{R}& & \end{array}$

+) Nếu $a=0,b\ne 0$ thì phương trình $(1)$ có nghiệm tổng quát là:

$\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y={\displaystyle \frac{c}{b}}& & \end{array}$ 

+) Nếu $a\ne 0,b=0$ thì phương trình $(1)$ có nghiệm tổng quát là:

$\{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{c}{a}}& & \\ y\in \mathbb{R}& & \end{array}$ 

$2)$ Tập nghiệm của phương trình  $ax+by=c$ được biểu diễn bởi đường thẳng $ax+by=c$. Cách vẽ đường thẳng có phương trình: $ax+by=c$

+) Nếu $a\ne 0,b\ne 0$ thì vẽ đường thẳng $y={\displaystyle \frac{-a}{b}}x+{\displaystyle \frac{c}{b}}$

+) Nếu $a\ne 0,b=0$ thì vẽ đường thẳng $x={\displaystyle \frac{c}{a}}$ song song hoặc trùng với trục tung.

+) Nếu $a=0,b\ne 0$ thì vẽ đường thẳng $y={\displaystyle \frac{c}{b}}$ song song hoặc trùng với trục hoành.

Lời giải:

$a)$ Ta có $2x-y=3$$\iff y=2x-3$

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

$\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y=2x-3& & \end{array}$

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $y=2x-3$ :

Cho $x=0\Rightarrow y=-3$ ta được $A(0;-3)$.

Cho $y=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ ta được $B\left({\displaystyle \frac{3}{2}};0\right)$.

Biểu diễn điểm $A(0;-3)$ và $B\left({\displaystyle \frac{3}{2}};0\right)$ trên hệ trục tọa độ. Tập nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

$b)$ Ta có $x+2y=4\iff y={\displaystyle -\frac{1}{2}x+2}$

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y={\displaystyle -\frac{1}{2}x+2}& & \end{array}$

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $y={\displaystyle -\frac{1}{2}x+2}$ :

Cho $x=0\Rightarrow y=2$ ta được $C(0;2)$.

Cho $y=0\Rightarrow x=4$ ta được  $D(4;0)$.

Biểu diễn điểm $C(0;2)$ và  $D(4;0)$ trên hệ trục tọa độ. Tập nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua hai điểm $C,D$.

$c)$ Ta có $3x-2y=6\iff y={\displaystyle \frac{3}{2}x-3}$ 

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 

$\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y={\displaystyle \frac{3}{2}x-3}& & \end{array}$

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $y={\displaystyle \frac{3}{2}x-3}$ : 

Cho $x=0\Rightarrow y=-3$ ta được $E(0;-3)$.

Cho $y=0\Rightarrow x=2$ ta được  $F(2;0)$.

Biểu diễn điểm $E(0;-3)$ và  $F(2;0)$ trên hệ trục tọa độ. Tập nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua hai điểm $E,F$.

$d)$Ta có $2x+3y=5\iff y={\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}}$

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y={\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}}& & \end{array}$

 * Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $y={\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}}$ :

Cho $x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{5}{3}}$ ta được $G(0;{\displaystyle \frac{5}{3}})$.

Cho $y=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5}{2}}$ ta được  $H({\displaystyle \frac{5}{2}};0)$.

Biểu diễn điểm $G(0;{\displaystyle \frac{5}{3}})$ và  $H({\displaystyle \frac{5}{2}};0)$ trên hệ trục tọa độ. Tập nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua hai điểm $G,H$.

$e)$ Ta có $0x+5y=-10\iff y=-2$ 

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y=-2& & \end{array}$

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $y=-2$ :

Tập nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng $y=-2$ đi qua điểm $M(0;-2)$ và song song với trục hoành

$f)$ $-4x+0y=-12\iff x=3$ 

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $\{\begin{array}{ccc}x=3& & \\ y\in \mathbb{R}& & \end{array}$

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $x=3$ :

Tập nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng $x=3$ đi qua điểm $N(3;0)$ và song song với trục tung.

Sử dụng:

- Biến đổi phương trình $ax+by=c$ về dạng một hàm số bậc nhất của biến $x$ từ đó suy ra điều kiện của $a,b$.

Lời giải:

Ta có: 

$\begin{array}{l}ax+by=c\iff by=-ax+c\\ \Rightarrow y={\displaystyle \frac{-a}{b}}x+{\displaystyle \frac{c}{b}}\end{array}$

Để phương trình $ax+by=c$ xác định một hàm số bậc nhất của biến $x$ có dạng: $y={\displaystyle -\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}}$ thì $a\ne 0$ và $b\ne 0$.

Sử dụng:

- Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng $ax+by=c$  $\iff a{x}_0+b{y}_0=c$.

Lời giải:

Điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ là giao điểm của hai đường thẳng $ax+by=c$  và $a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$ nên $M$ thuộc cả hai đường thẳng trên.

Vì điểm $M$ thuộc đường thẳng $ax+by=c$ nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình đường thẳng này, ta có: $a{x}_0+b{y}_0=c$

Vì $M$ thuộc đường thẳng $a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$ nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình đường thẳng này, ta có: $a^{\prime }{x}_0+b^{\prime }{y}_0=c^{\prime }$

Vậy $\left(x_0;y_0\right)$ là nghiệm chung của hai phương trình $ax+by=c$ và $a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$.

Bài tập bổ sung (trang 6 SBT Toán 9)

$A(1;3);$                 $B(2;3);$

$C(3;3);$                 $D(4;3)?$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng $ax+by=c$ $\iff a{x}_0+b{y}_0=c$

Lời giải:

- Thay $x=1;y=3$ vào phương trình $3x–2y=3$ ta được: $3.1-2.3=3$

$\iff -3=3$ (vô lí)

Do đó điểm $A(1;3)$ không thuộc đường thẳng $3x–2y=3.$

- Thay $x=2;y=3$ vào phương trình $3x–2y=3$ ta được: $3.2-2.3=3$

$\iff 0=3$ (vô lí)

Do đó điểm $B(2;3)$ không thuộc đường thẳng $3x–2y=3.$

- Thay $x=3;y=3$ vào phương trình $3x–2y=3$ ta được: $3.3-2.3=3$

$\iff 3=3$ (luôn đúng)

Do đó điểm $C(3;3)$ thuộc đường thẳng $3x–2y=3.$

- Thay $x=4;y=3$ vào phương trình $3x–2y=3$ ta được: $3.4-2.3=3$

$\iff 6=3$ (vô lí)

Do đó điểm $D(4;3)$ không thuộc đường thẳng $3x–2y=3.$

 Vậy điểm $C(3;3)$ thuộc đường thẳng $3x–2y=3.$

$a)M(0;-1),N(3;0)$

$b)M(0;3),N(-1;0)$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Đường thẳng $ax+by=c$ đi qua điểm $M(x_0;y_0)$ $\iff a{x}_0+b{y}_0=c$

Lời giải:

$a)$ Vì đường thẳng $ax+by=c$ đi qua điểm $M(0;-1)$ nên 

$a.0+b.(-1)=c\iff b=-c$

Vì đường thẳng $ax+by=c$ đi qua điểm $N(3;0)$ nên 

$a.3+b.0=c\iff 3a=c\iff a={\displaystyle \frac{c}{3}}$

Do đó đường thẳng phải tìm là ${\displaystyle \frac{c}{3}x-cy=c}$. Vì đường thẳng $MN$ được xác định nên $a,b$ không đồng thời bằng $0$, do đó $c\ne 0$.

Khi đó:  $$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{c}{3}x-cy=c\iff {\displaystyle \frac{1}{3}x-y=1}} \\ \iff x–3y=3 \end{gathered}$$

Vậy phương trình đường thẳng là: $x–3y=3$

$b)$ Vì đường thẳng $ax+by=c$ đi qua điểm $M(0;3)$ nên 

$a.0+b.3=c\iff 3b=c\iff b={\displaystyle \frac{c}{3}}$

Vì đường thẳng $ax+by=c$ đi qua điểm $N(-1;0)$ nên 

$a.(-1)+b.0=c\iff a=-c$

Do đó đường thẳng phải tìm là: $-cx+{\displaystyle \frac{c}{3}y=c}$. Vì đường thẳng $MN$ được xác định nên $a,b$ không đồng thời bằng $0$, do đó $c\ne 0$.

Khi đó:  $$\begin{gathered} -cx+{\displaystyle \frac{c}{3}y=c\iff -x+{\displaystyle \frac{1}{3}y=1}} \\ \iff 3x-y=-3 \end{gathered}$$

Vậy phương trình đường thẳng là: $3x-y=-3.$