Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại B nên ta có: $\tan C=\frac{AB}{CB}\iff AB=\tan {32}^{\circ }.(1+x)$

Tam giác ADB vuông tại B nên ta có: $\tan D=\frac{AB}{DB}\iff AB=\tan {40}^{\circ }.x$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \tan {32}^{\circ }.(1+x)=\tan {40}^{\circ }.x\\ \iff x.(\tan {40}^{\circ }-\tan {32}^{\circ })=\tan {32}^{\circ }\\ \iff x=\frac{\tan {32}^{\circ }}{\tan {40}^{\circ }-\tan {32}^{\circ }}\\ \iff x\approx 2,9(km)\end{array}$

$\Rightarrow AB\approx \tan {40}^{\circ }.2,92\approx 2,45(km)$

Vậy chiều cao của ngọn núi là 2,45 km.

Bài 5 trang 78 Toán lớp 10: Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 32° so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62°. Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là 70°. Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.

Phương pháp giải:

Kí hiệu điểm A là vị trí khinh khí cầu.

Bước 1: Tính góc P, Q, A trong tam giác APQ.

Bước 2: Áp dụng định lí sin, tính QA

Lời giải:

Gọi A là vị trí của khinh khí cầu, Pt là đường sườn đồi như hình.

Ta có:

Tại P, góc nâng của khinh khí cầu là ${62}^{\circ }$$\Rightarrow \hat{P}={62}^{\circ }-{32}^{\circ }={30}^{\circ }$

Tại Q, góc nâng của khinh khí cầu là ${70}^{\circ }$$\Rightarrow \widehat{AQt}={70}^{\circ }-{32}^{\circ }={38}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{AQP}={180}^{\circ }-{38}^{\circ }={142}^{\circ }$ và $\hat{A}={180}^{\circ }-{142}^{\circ }-{30}^{\circ }=8^{\circ }$

Áp dụng định lí sin trong tam giác APQ, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{PQ}{\sin A}=\frac{QA}{\sin P}\\ \Rightarrow QA=\sin P.\frac{PQ}{\sin A}=\sin {30}^{\circ }.\frac{60}{\sin 8^{\circ }}\approx 215,56(m)\end{array}$

Vậy khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu là 215,56 m.

Bài 6 trang 78 Toán lớp 10: Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là 43°, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là 62° và điểm mốc khác là 54° (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.

Phương pháp giải:

Bước 1: Kí hiệu các điểm A, B, C, H như hình trên.

Bước 2: Tính AB, AC bằng cách gắn vào tam giác ABH và ACH.

Bước 3: Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2.AB.AC.\cos A$

Lời giải:

Gọi các điểm A, B, C, H như hình trên.

Xét tam giác ABH ta có:

$AH=352,\widehat{BAH}={62}^{\circ }$

Mà $\cos \widehat{BAH}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AB=352.\cos {62}^{\circ }\approx 165,25$

Tương tự, ta có: $\cos \widehat{CAH}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AC=352.\cos {54}^{\circ }\approx 206,9$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\begin{array}{l}B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2.AB.AC.\cos A\\ \iff B{C}^2=165,{25}^2+206,9^2-2.165,25.206,9.\cos {43}^{\circ }\\ \Rightarrow BC\approx 141,8\end{array}$

Vậy khoảng cách giữa hai cột mốc này là 141,8 m.