Bài 1 trang 77 Toán lớp 10: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) $AB=14,AC=23,\hat{A}={125}^o.$

b) $BC=22,4;\hat{B}={64}^o;\hat{C}={38}^o.$

c) $AC=22,\hat{B}={120}^o,\hat{C}={28}^o.$

d) $AB=23,AC=32,BC=44$

Lời giải:

a) $AB=14,AC=23,\hat{A}={125}^o.$

Ta cần tính cạnh BC và hai góc $\hat{B},\hat{C}.$

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l}B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2.AB.AC.\cos A\\ \iff B{C}^2={14}^2+{23}^2-\mathrm{2.14.23.}\cos {125}^o\\ \Rightarrow BC\approx 33\end{array}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\iff \frac{33}{\sin {125}^o}=\frac{23}{\sin B}=\frac{14}{\sin C}\\ \Rightarrow \sin B=\frac{23.\sin {125}^o}{33}\approx 0,57\\ \Rightarrow \hat{B}\approx {35}^o\Rightarrow \hat{C}\approx {20}^o\end{array}$

b) $BC=22,4;\hat{B}={64}^o;\hat{C}={38}^o.$

Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, AC.

Ta có: $\hat{A}={180}^o-\hat{B}-\hat{C}={180}^o-{64}^o-{38}^o={78}^o$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\iff \frac{22}{\sin {78}^o}=\frac{AC}{\sin {64}^o}=\frac{AB}{\sin {38}^o}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}AC=\sin {64}^o.\frac{22}{\sin {78}^o}\approx 20,22\\ AB=\sin {38}^o.\frac{22}{\sin {78}^o}\approx 13,85\end{array}\end{array}$

c) $AC=22,\hat{B}={120}^o,\hat{C}={28}^o.$

Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, BC.

Ta có: $\hat{A}={180}^o-\hat{B}-\hat{C}={180}^o-{120}^o-{28}^o={32}^o$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\iff \frac{BC}{\sin {32}^o}=\frac{22}{\sin {120}^o}=\frac{AB}{\sin {28}^o}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}BC=\sin {32}^o.\frac{22}{\sin {120}^o}\approx 13,5\\ AB=\sin {28}^o.\frac{22}{\sin {120}^o}\approx 12\end{array}\end{array}$

d) $AB=23,AC=32,BC=44$

Ta cần tính số đo ba góc $\hat{A},\hat{B},\hat{C}$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

 $\begin{array}{l}\cos A=\frac{A{C}^2+A{B}^2-B{C}^2}{2.AB.AC};\cos B=\frac{B{C}^2+A{B}^2-A{C}^2}{2.BC.BA}\\ \Rightarrow \cos A=\frac{{32}^2+{23}^2-{44}^2}{\mathrm{2.32.23}}=\frac{-383}{1472};\cos B=\frac{{44}^2+{23}^2-{32}^2}{\mathrm{2.44.23}}=\frac{131}{184}\\ \Rightarrow \hat{A}\approx {105}^o,\hat{B}={44}^o{36}^{\prime }\\ \Rightarrow \hat{C}={30}^o{24}^{\prime }\end{array}$

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10: Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8 km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 70°. Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.

Phương pháp giải:

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l}A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2-2.BC.AC.\cos C\\ \iff A{B}^2=8^2+{10}^2-\mathrm{2.8.10.}\cos {70}^o\\ \Rightarrow AB\approx 10,45\end{array}$

Vậy chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp là:

$AC+CB-AB=10+8-10,45=7,55(km).$

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10: Một người đứng cách thân một cái quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng 56,5° (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5 m.

Phương pháp giải:

Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới.

Cách 1:

Tính góc B rồi áp dụng định lí sin để tính BC: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

Cách 2:

$\tan A=\frac{BC}{AC}\Rightarrow BC=AC.\tan A$

Lời giải:

Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới.

Cách 1:

Ta có: $\hat{B}={90}^o-56,5^o=33,5^o$

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow BC=\sin A.\frac{AC}{\sin B}=\sin 56,5^o.\frac{16}{\sin 33,5^o}\approx 24,2(m)$

Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là $24,2+1,5=15,7(m)$

Cách 2:

$\tan A=\frac{BC}{AC}\Rightarrow BC=AC.\tan A=16.\tan 56,5^o\approx 24,2$

Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là $24,2+1,5=15,7(m)$