a) ${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}}$;

b) ${\displaystyle \sqrt{{\frac{x}{5}}^2}}$ với  $x\ge 0$;

c) ${\displaystyle \sqrt{\frac{3}{x}}}$ với $x>0$;

d) ${\displaystyle \sqrt{x^2-{\frac{x}{7}}^2}}$ với $x<0$.

Phương pháp giải:

Với $A,B$ mà $A.B\ge 0$ và $B\ne 0$ ta có:

${\displaystyle \sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{AB}{B^2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{AB}}{\left|B\right|}}.}$

Lời giải:

a)

${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}}$ =  ${\displaystyle \sqrt{\frac{2.3}{3^2}}=\frac{1}{3}\sqrt{6}}$

 b)

${\displaystyle \sqrt{{\frac{x}{5}}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{x^2}{5}}=\sqrt{\frac{x^2.5}{5^2}}=\frac{x}{5}\sqrt{5}}$ (với $x\ge 0$)

 c)

${\displaystyle \sqrt{\frac{3}{x}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{3x}{x^2}}=\frac{1}{\left|x\right|}\sqrt{3x}=\frac{1}{x}\sqrt{3x}}$ (với $x>0$)

 d)

${\displaystyle \sqrt{x^2-{\frac{x}{7}}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{7x^2-x^2}{7}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{6x^2}{7}}}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{42x^2}{49}}}$${\displaystyle =\frac{\left|x\right|}{7}\sqrt{42}=-\frac{x}{7}\sqrt{42}}$ (với $x<0$)  

a) ${\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$;

b) ${\displaystyle \frac{26}{5-2\sqrt{3}}}$;

c) ${\displaystyle \frac{2\sqrt{10}-5}{4-\sqrt{10}}}$;

d) ${\displaystyle \frac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}}}$. 

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

${\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}}}={\displaystyle \frac{A\sqrt{B}}{B}}$ với $B>0$. 

Lời giải:

a)

${\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$ ${\displaystyle =\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^2}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}$ 

 b)

${\displaystyle \frac{26}{5-2\sqrt{3}}}$ ${\displaystyle =\frac{26(5+2\sqrt{3})}{(5-2\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})}}$ ${\displaystyle =\frac{26(5+2\sqrt{3})}{25-12}}$

${\displaystyle =\frac{26(5+2\sqrt{3})}{13}}$ ${\displaystyle =2(5+2\sqrt{3})=10+4\sqrt{3}}$  

 c)

${\displaystyle \frac{2\sqrt{10}-5}{4-\sqrt{10}}}$ ${\displaystyle =\frac{2\sqrt{2.5}-\sqrt{5^2}}{2\sqrt{2^2}-\sqrt{2.5}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{10}}{2}}$

 d)

${\displaystyle \frac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}}}$ ${\displaystyle =\frac{3(\sqrt{3}{)}^2-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3.2}-2\sqrt{2}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}(3\sqrt{3}-2)}{\sqrt{2}(3\sqrt{3}-2)}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3.}\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}}{2}}$ 

a) ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}}$

b) ${\displaystyle \frac{5}{12(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})}}$${\displaystyle -\frac{5}{12(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})}}$

c) ${\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}+\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}$

d) ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}}$ 

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức.

Sử dụng hằng đẳng thức: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 

Sử dụng: $\sqrt{A}.\sqrt{B}=\sqrt{A.B}$ với $A\ge 0,B\ge 0$.

Lời giải:

a)

${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}}$ ${\displaystyle =\frac{2(\sqrt{3}+1)-2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}}$

${\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}+2-2\sqrt{3}+2}{3-1}=\frac{4}{2}=2}$

 b)

${\displaystyle \frac{5}{12(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})}-\frac{5}{12(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})}}$

${\displaystyle =\frac{5(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})-5(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})}{12(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})}}$ 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& =\frac{10\sqrt{5}-15\sqrt{2}-10\sqrt{5}-15\sqrt{2}}{12(20-18)}\\ & =\frac{-30\sqrt{2}}{12.2}=-\frac{5\sqrt{2}}{4}\end{array}}$

c)

${\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}+\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle =\frac{{(5+\sqrt{5})}^2+{(5-\sqrt{5})}^2}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}}}$

${\displaystyle =\frac{25+10\sqrt{5}+5+25-10\sqrt{5}+5}{25-5}}$ ${\displaystyle =\frac{60}{20}=3}$  

d)

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}(\sqrt{\sqrt{3}+1}+1)-\sqrt{3}(\sqrt{\sqrt{3}+1}-1)}{(\sqrt{\sqrt{3}+1}+1)(\sqrt{\sqrt{3}+1}-1)}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& =\frac{\sqrt{3(\sqrt{3}+1)}+\sqrt{3}-\sqrt{3(\sqrt{3}+1)}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1-1}\\ & =\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\end{array}}$

a) ${\displaystyle \frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}$ với  $x\ge 0,y\ge 0$ và  $x\ne y$

b) ${\displaystyle \frac{x-\sqrt{3x}+3}{x\sqrt{x}+3\sqrt{3}}}$ với $x\ge 0$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: 

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Lời giải:

a)

Với $x\ge 0,y\ge 0$ và $x\ne y,$ ta có: 

${\displaystyle \frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}$
${\displaystyle =\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}$

$=x+\sqrt{xy}+y$ 

 b)

Với $x\ge 0,$ ta có:

$\begin{array}{rl}& \frac{x-\sqrt{3x}+3}{x\sqrt{x}+3\sqrt{3}}=\frac{x-\sqrt{3x}+3}{\sqrt{x^3}+\sqrt{3^3}}\\ & =\frac{x-\sqrt{3x}+3}{(\sqrt{x}+\sqrt{3})(x-\sqrt{3x}+3)}\\ & =\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}\end{array}$

a) ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}}$

b) ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+2}}$  

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

${\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}}}={\displaystyle \frac{A\sqrt{B}}{B}}$ 

${\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}\pm C}}={\displaystyle \frac{A(\sqrt{B}\mp C)}{B-C^2}}$

(trong điều kiện các biểu thức có nghĩa)

Lời giải:

a)

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{3}+(\sqrt{2}+1)}\\ & =\frac{\sqrt{3}-(\sqrt{2}+1)}{\left[\sqrt{3}+(\sqrt{2}+1)\right]\left[\sqrt{3}-(\sqrt{2}+1)\right]}\end{array}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}-1}{3-{(\sqrt{2}+1)}^2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}-1}{3-(2+2\sqrt{2}+1)}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}-1}{-2\sqrt{2}}}$ 

${\displaystyle =\frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2}-1)}{2{(\sqrt{2})}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{-\sqrt{6}+2+\sqrt{2}}{4}}$ 

 b)

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+2}}$ $={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-(\sqrt{3}-2)}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{5}+(\sqrt{3}-2)}{\left[\sqrt{5}-(\sqrt{3}-2)\right]\left[\sqrt{5}+(\sqrt{3}-2)\right]}}$ 

${\displaystyle =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-2}{5-{(\sqrt{3}-2)}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-2}{5-(3-4\sqrt{3}+4)}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-2}{4\sqrt{3}-2}}$  

${\displaystyle =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-2}{2(2\sqrt{3}-1)}}$ ${\displaystyle =\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}-2)(2\sqrt{3}+1)}{2\left[(2\sqrt{3}-1)(2\sqrt{3}+1)\right]}}$ 

${\displaystyle =\frac{2\sqrt{15}+\sqrt{5}+6+\sqrt{3}-4\sqrt{3}-2}{2(12-1)}}$
${\displaystyle =\frac{2\sqrt{15}+\sqrt{5}+4-3\sqrt{3}}{22}}$

a) $\sqrt{2x+3}=1+\sqrt{2}$

b) $\sqrt{10+\sqrt{3}x}=2+\sqrt{6}$

c) $\sqrt{3x-2}=2-\sqrt{3}$

d) $\sqrt{x+1}=\sqrt{5}-3$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$\sqrt{A}=m\iff A=m^2$  (với $m\ge 0$) 

Lời giải:

a)

$\sqrt{2x+3}=1+\sqrt{2}$

$\begin{array}{l}\iff 2x+3=(1+\sqrt{2}{)}^2\\ \iff 2x+3=1+2\sqrt{2}+2\end{array}$

$\iff 2x=2\sqrt{2}\iff x=\sqrt{2}$

Vậy $x=\sqrt{2}$

 b)

$\sqrt{10+\sqrt{3}x}=2+\sqrt{6}$

$\iff 10+\sqrt{3}x=(2+\sqrt{6}{)}^2$

$\iff 10+\sqrt{3}x=4+4\sqrt{6}+6$$\iff \sqrt{3}x=4\sqrt{6}$

${\displaystyle \iff x=\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\iff x=4\sqrt{2}}$ 

Vậy $x=4\sqrt{2}$

 c)

$\sqrt{3x-2}=2-\sqrt{3}$

$\begin{array}{l}\iff 3x-2=(2-\sqrt{3}{)}^2\\ \iff 3x-2=4-4\sqrt{3}+3\end{array}$

${\displaystyle \iff 3x=9-4\sqrt{3}\iff x=\frac{9-4\sqrt{3}}{3}}$

Vậy ${\displaystyle x=\frac{9-4\sqrt{3}}{3}}$

 d)

$\sqrt{x+1}=\sqrt{5}-3$

Ta có:

$\sqrt{5}<\sqrt{9}$ $\iff \sqrt{5}<3\iff \sqrt{5}-3<0$

Không có giá trị nào của $x$ để $\sqrt{x+1}=\sqrt{5}-3$.

a) $\sqrt{x-2}\ge \sqrt{3}$

b) $\sqrt{3-2x}\le \sqrt{5}$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A\ge 0;B\ge 0$ ta có: 

$\sqrt{A}\ge \sqrt{B}\iff A\ge B$ 

Lời giải:

a)

Điều kiện: $x-2\ge 0\iff x\ge 2$

Ta có: $\sqrt{x-2}\ge \sqrt{3}\iff x-2\ge 3\iff x\ge 5$

Giá trị $x\ge 5$ thỏa mãn điều kiện. 

b)

Điều kiện: $3-2x\ge 0\iff 3\ge 2x\iff x\le 1,5$

Ta có:  

$\sqrt{3-2x}\le \sqrt{5}\iff 3-2x\le 5$

$\iff -2x\le 2\iff x\ge -1$

Kết hợp với điều kiện ta có: $-1\le x\le 1,5$

a)  $x+y$ và $x.y$ cũng có dạng $a\sqrt{2}+b$ với $a$ và $b$ là số hữu tỉ.

b) ${\displaystyle \frac{x}{y}}$ với $y\ne 0$ cũng có dạng $a\sqrt{2}+b$ với $a$ và $b$ là số hữu tỉ.   

Phương pháp giải:

Biến đổi, nhóm các hạng tử để đưa về dạng $a\sqrt{2}+b$ với $a$ và $b$ là số hữu tỉ.

Với $B>0$ ta có: ${\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}}}={\displaystyle \frac{A\sqrt{B}}{B}}$ 

Với $B\ge 0,B\ne C^2$ ta có: ${\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}\pm C}}={\displaystyle \frac{A(\sqrt{B}\mp C)}{B-C^2}}$

Lời giải:

a)

Ta có: 

$x+y=(a_1\sqrt{2}+b_1)+(a_2\sqrt{2}+b_2)$

$=(a_1+a_2)\sqrt{2}+(b_1+b_2)$

Vì $a_1,a_2,b_1,b_2$ là các số hữu tỉ nên $a_1+a_2,b_1+b_2$ cũng là số hữu tỉ.

Lại có: 

$xy=(a_1\sqrt{2}+b_1)(a_2\sqrt{2}+b_2)$

$=2a_1{a}_2+a_1{b}_2\sqrt{2}+a_2{b}_1\sqrt{2}+b_1{b}_2$

$=(a_1{b}_2+a_2{b}_1)\sqrt{2}+(2a_1{a}_2+b_1{b}_2)$

Vì $a_1,a_2,b_1,b_2$ là các số hữu tỉ nên $a_1{b}_2+a_2{b}_1$, $2a_1{a}_2+b_1{b}_2$ cũng là số hữu tỉ. 

b)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \frac{x}{y}=\frac{a_1\sqrt{2}+b_1}{a_2\sqrt{2}+b_2}\\ & =\frac{(a_1\sqrt{2}+b_1)(a_2\sqrt{2}-b_2)}{{(a_2\sqrt{2})}^2-{b_2}^2}\end{array}$

${\displaystyle =\frac{2a_1{a}_2-a_1{b}_2\sqrt{2}+a_2{b}_1\sqrt{2}-b_1{b}_2}{2{a_2}^2-{b_2}^2}}$

${\displaystyle =\frac{a_2{b}_1\sqrt{2}-a_1{b}_2\sqrt{2}+2a_1{a}_2-b_1{b}_2}{2{a_2}^2-{b_2}^2}}$

${\displaystyle =\sqrt{2}\frac{a_2{b}_1-a_1{b}_2}{2{a_2}^2-{b_2}^2}+\frac{2a_1{a}_2-b_1{b}_2}{2{a_2}^2-{b_2}^2}}$

Vì $y\ne 0$ nên $a_2$ và $b_2$ không đồng thời bằng 0 

Suy ra: $2{a_2}^2-{b_2}^2$ $\ne 0$

(Nếu $2{a_2}^2-{b_2}^2=0$ thì  ${\displaystyle \sqrt{2}=\frac{b_2}{a_2}}$  

Điều này mâu thuẫn với $\sqrt{2}$ là số vô tỉ)

Vậy ${\displaystyle \frac{a_2{b}_1-a_1{b}_2}{2{a_2}^2-{b_2}^2}}$; ${\displaystyle \frac{2a_1{a}_2-b_1{b}_2}{2{a_2}^2-{b_2}^2}}$ đều là số hữu tỉ.