Rút gọn biểu thức lớp 9 có đáp án

Trả lời nhanh

Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai ở lớp 9, em làm theo thứ tự: tìm điều kiện xác định, phân tích tử và mẫu thành nhân tử, khử mẫu hoặc trục căn thức ở mẫu bằng biểu thức liên hợp, rồi quy đồng và đơn giản. Bài viết này có 24 bài tập chia theo dạng, mỗi bài đều có đáp án và gợi ý giải.

1. Nhắc lại kiến thức cần nhớ

Hai kĩ thuật chính của bài “Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp)” là khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu.

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Với A·B ≥ 0 và B ≠ 0: √(A/B) = √(A·B) / |B|. Ta nhân cả tử và mẫu với chính mẫu để mẫu thành bình phương rồi đưa ra ngoài dấu căn.

Trục căn thức ở mẫu

Dạng	Cách làm	Điều kiện
A/√B	A√B / B	B > 0
C/(√A ± B)	C(√A ∓ B) / (A − B²)	A ≥ 0, A ≠ B²
C/(√A ± √B)	C(√A ∓ √B) / (A − B)	A, B ≥ 0, A ≠ B

Mẹo nhớ: biểu thức liên hợp của “a + b” là “a − b” (đổi dấu ở giữa). Nhân với liên hợp thì mẫu thành hiệu hai bình phương, căn biến mất.

2. Quy trình rút gọn biểu thức chứa căn

Tìm điều kiện xác định (biểu thức trong căn ≥ 0, mẫu ≠ 0).
Phân tích mẫu thành nhân tử: x − 1 = (√x − 1)(√x + 1), x√x − 1 = (√x − 1)(x + √x + 1)…
Quy đồng (hoặc trục căn thức), gộp các hạng tử đồng dạng.
Rút gọn nhân tử chung, kiểm tra kết quả bằng cách thay một giá trị cụ thể của biến.

3. Hai ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Khử mẫu √(5/12).

√(5/12) = √(5·12)/12 = √60/12 = 2√15/12 = √15/6. Kiểm tra nhanh: 5/12 ≈ 0,4167, căn ≈ 0,6455; còn √15/6 ≈ 3,873/6 ≈ 0,6455.

Ví dụ 2. Cho P = (1/(√x − 1) − 1/√x) : (√x + 1)/(√x − 1)². Rút gọn P, rồi tìm x để P < 0.

Điều kiện: x > 0, x ≠ 1. Ta có 1/(√x − 1) − 1/√x = 1/(√x(√x − 1)). Chia cho phân thức (√x + 1)/(√x − 1)² tức là nhân với (√x − 1)²/(√x + 1):

P = (√x − 1)/(√x(√x + 1)).

Mẫu luôn dương với x > 0, nên P < 0 ⇔ √x − 1 < 0 ⇔ x < 1. Kết hợp điều kiện: 0 < x < 1. Thử x = 4: biểu thức gốc = (1/1 − 1/2) : 3 = 1/6, công thức rút gọn cho (2 − 1)/(2·3) = 1/6 ✓.

4. Bài tập luyện tập có đáp án

Dạng A. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Bài 1. Khử mẫu: √(3/5).
Đáp án: √15/5. (Nhân tử và mẫu với 5: √(15/25).)

Bài 2. Khử mẫu: √(7/18).
Đáp án: √(7·18)/18 = √126/18 = 3√14/18 = √14/6.

Bài 3. Với a > 0, khử mẫu: √(2/(3a)).
Đáp án: √(6a)/(3a). Vì 2/(3a) = 6a/(9a²) và a > 0 nên |3a| = 3a.

Bài 4. Tính: √(1/3 − 1/4).
Đáp án: √(1/12) = √12/12 = 2√3/12 = √3/6. (Quy đồng trong căn trước.)

Dạng B. Trục căn thức ở mẫu

Bài 5. 10/√5. Đáp án: 2√5.

Bài 6. 4/(√5 − 1). Đáp án: 4(√5 + 1)/(5 − 1) = √5 + 1.

Bài 7. 6/(√7 + 1). Đáp án: 6(√7 − 1)/(7 − 1) = √7 − 1.

Bài 8. 1/(√5 − √3). Đáp án: (√5 + √3)/2.

Bài 9. (√3 + 1)/(√3 − 1). Đáp án: (√3 + 1)²/(3 − 1) = (4 + 2√3)/2 = 2 + √3.

Bài 10. 3/(2√2 − √5). Đáp án: vì (2√2)² − 5 = 3 nên kết quả là 2√2 + √5.

Bài 11. 2/(3 + √7). Đáp án: 2(3 − √7)/(9 − 7) = 3 − √7.

Dạng C. Rút gọn, tính giá trị biểu thức số

Bài 12. 1/(2 − √3) + 1/(2 + √3).
Đáp án: (2 + √3) + (2 − √3) = 4 (vì mỗi mẫu có tích liên hợp bằng 1).

Bài 13. 1/(√2 + 1) + 1/(√3 + √2) + 1/(2 + √3).
Đáp án: (√2 − 1) + (√3 − √2) + (2 − √3) = 1. Các số hạng triệt tiêu dây chuyền.

Bài 14. √(4 + 2√3) − √(4 − 2√3).
Đáp án: 4 ± 2√3 = (√3 ± 1)², nên biểu thức = (√3 + 1) − (√3 − 1) = 2.

Bài 15. (√5 + √3)/(√5 − √3) + (√5 − √3)/(√5 + √3).
Đáp án: quy đồng, tử = (√5 + √3)² + (√5 − √3)² = 16, mẫu = 2, kết quả bằng 8.

Bài 16. Tính S = 1/(1 + √2) + 1/(√2 + √3) + … + 1/(√99 + √100).
Đáp án: mỗi số hạng 1/(√k + √(k+1)) = √(k+1) − √k, nên S = √100 − √1 = 9.

Dạng D. Rút gọn biểu thức chứa chữ

Bài 17. Với a ≥ 0, a ≠ 1, rút gọn A = (a − √a)/(√a − 1).
Đáp án: tử = √a(√a − 1), nên A = √a.

Bài 18. Với x ≥ 0, x ≠ 1, rút gọn C = (x√x − 1)/(√x − 1) − √x.
Đáp án: x√x − 1 = (√x − 1)(x + √x + 1), nên C = x + √x + 1 − √x = x + 1.

Bài 19. Với a ≥ 0, a ≠ 1, rút gọn D = 1/(√a − 1) − 1/(√a + 1).
Đáp án: D = [(√a + 1) − (√a − 1)]/(a − 1) = 2/(a − 1).

Bài 20 (vận dụng cao). Với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 1, rút gọn
Q = (2√x/(√x + 3) + √x/(√x − 3) − (3x + 3)/(x − 9)) : (2√x − 2)/(√x − 3).
Đáp án: tử sau quy đồng = 2√x(√x − 3) + √x(√x + 3) − 3x − 3 = −3√x − 3 = −3(√x + 1). Do đó Q = −3(√x + 1)/(2(√x + 3)(√x − 1)). Thử x = 4 cho Q = −9/10 ở cả hai cách tính ✓.

Dạng E. Phương trình, giá trị nguyên, so sánh, chứng minh

Bài 21. Giải √(4x + 8) − 3√(x + 2) + √(9x + 18) = 6.
Đáp án: điều kiện x ≥ −2. Đưa thừa số ra ngoài: 2√(x+2) − 3√(x+2) + 3√(x+2) = 2√(x+2) = 6 ⇒ x + 2 = 9 ⇒ x = 7 (thỏa mãn).

Bài 22. Cho P = (√x + 2)/(√x − 1). Tìm số tự nhiên x để P nguyên.
Đáp án: P = 1 + 3/(√x − 1). Với x tự nhiên mà P nguyên thì √x phải là số nguyên, và √x − 1 là ước của 3, tức √x − 1 ∈ {1, −1, 3} (loại −3 vì √x ≥ 0). Suy ra x ∈ {0, 4, 16}. Kiểm tra: P lần lượt bằng −2, 4, 2.

Bài 23. So sánh 3√5 và 2√11.
Đáp án: đưa vào căn: 3√5 = √45, 2√11 = √44. Vì 45 > 44 nên 3√5 > 2√11.

Bài 24. Chứng minh với n ∈ ℕ*: 1/((n + 1)√n + n√(n + 1)) = 1/√n − 1/√(n + 1).
Gợi ý: đặt √n·√(n+1) làm nhân tử chung ở mẫu: mẫu = √n·√(n+1)·(√(n+1) + √n). Trục căn rồi tách phân thức: (√(n+1) − √n)/(√n·√(n+1)) = 1/√n − 1/√(n+1). Đây là mấu chốt để tính tổng dây chuyền.

5. Lỗi sai thường gặp

Quên điều kiện xác định nên kết luận nghiệm hoặc giá trị x thiếu, thừa (như Bài 22 phải loại √x − 1 = −3).
Bỏ dấu giá trị tuyệt đối: √(A²) = |A|, không phải A. Ở Bài 3 ta mới được bỏ vì a > 0.
Nhân sai liên hợp: mẫu √a + √b thì nhân với √a − √b, không nhân với chính nó.
Rút gọn nửa vời: sau khi trục căn, quên chia tử và mẫu cho ước chung (Bài 9).
Chia phân thức nhầm: phép chia phải đổi thành nhân với phân thức nghịch đảo, đồng thời thêm điều kiện cho phân thức chia khác 0 (Bài 20).

6. Tài liệu ôn tập cùng bài

30 câu trắc nghiệm Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp)
Giải Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp theo)
SBT Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Lời khuyên: hãy tự làm từng dạng từ A đến E, chỉ xem đáp án sau khi đã thử. Bài nào sai, đối chiếu từng bước biến đổi chứ không chỉ so kết quả.

Câu hỏi thường gặp

Khi nào dùng biểu thức liên hợp để rút gọn?

Khi mẫu có dạng √A ± B hoặc √A ± √B. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp (đổi dấu ở giữa) thì mẫu thành hiệu hai bình phương, không còn căn.

Vì sao phải tìm điều kiện xác định trước khi rút gọn?

Vì căn bậc hai chỉ xác định khi biểu thức dưới căn không âm và mẫu phải khác 0. Nếu bỏ qua, kết quả rút gọn có thể đúng về dạng nhưng sai về tập giá trị của biến, dễ mất điểm ở câu tìm x.

Làm sao kiểm tra nhanh kết quả rút gọn?

Chọn một giá trị cụ thể của biến thỏa điều kiện (ví dụ x = 4) rồi tính biểu thức ban đầu và biểu thức đã rút gọn. Hai kết quả phải bằng nhau.

Khác nhau giữa khử mẫu và trục căn thức ở mẫu là gì?

Khử mẫu áp dụng cho biểu thức nằm trong dấu căn dạng √(A/B). Trục căn thức ở mẫu áp dụng cho phân thức có căn ở mẫu như A/√B hay C/(√A ± √B). Mục tiêu chung là làm biểu thức gọn hơn.