a) ${\displaystyle \sqrt{-2x+3}}$

b)${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{x^2}}}$

c) ${\displaystyle \sqrt{\frac{4}{x+3}}}$  

d) ${\displaystyle \sqrt{\frac{-5}{x^2+6}}}$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng:

${\displaystyle \sqrt{A}}$ có nghĩa ${\displaystyle \iff A\ge 0}$

${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{A}}}$ có nghĩa ${\displaystyle \iff A>0}$

${\displaystyle \frac{1}{A}>0}$ ${\displaystyle \iff A>0}$

Lời giải:

a)

Ta có: ${\displaystyle {\displaystyle \sqrt{-2x+3}}}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

${\displaystyle {\displaystyle -2x+3\ge 0\iff -2x\ge -3\iff x\le \frac{3}{2}}}$

 b)

Ta có: ${\displaystyle {\displaystyle \sqrt{\frac{2}{x^2}}}}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

${\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{x^2}\ge 0\iff x^2>0\iff x\ne 0}}$

c)

Ta có: ${\displaystyle {\displaystyle \sqrt{\frac{4}{x+3}}}}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

${\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{x+3}\ge 0\iff x+3>0\iff x>-3}}$

 d)

Ta có: ${\displaystyle {\displaystyle x^2\ge 0}}$ với mọi $x$ nên $x^2+6>0$ với mọi $x$

Mà $-5<0$ 

Suy ra ${\displaystyle {\displaystyle \frac{-5}{x^2+6}<0}}$ với mọi x

Vậy không có giá trị nào của $x$ để ${\displaystyle {\displaystyle \sqrt{\frac{-5}{x^2+6}}}}$ có nghĩa. 

a) $5\sqrt{{(-2)}^4}$

b) $-4\sqrt{{(-3)}^6}$

c) $\sqrt{\sqrt{{(-5)}^8}}$

d) $2\sqrt{{(-5)}^6}+3\sqrt{{(-2)}^8}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ 

Nếu $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Nếu $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$.

Lưu ý: $(a^m{)}^n=a^{m.n}$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& 5\sqrt{{(-2)}^4}=5\sqrt{{\left[{(-2)}^2\right]}^2}\\ & =5.\left|{(-2)}^2\right|=5.|4|=5.4=20\end{array}$

b)

$\begin{array}{rl}& -4\sqrt{{(-3)}^6}=-4\sqrt{{\left[{\left(-3\right)}^3\right]}^2}\\ & =-4.\left|{\left(-3\right)}^3\right|=-4.\left|-27\right|\\ & =-4.27=-108\end{array}$

c)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{\sqrt{{(-5)}^8}}=\sqrt{\sqrt{{\left[{\left(-5\right)}^4\right]}^2}}\\ & =\sqrt{{(-5)}^4}=\sqrt{{\left[{\left(-5\right)}^2\right]}^2}\\ & =\left|{(-5)}^2\right|=25\end{array}$

d)

$\begin{array}{rl}& 2\sqrt{{(-5)}^6}+3\sqrt{{(-2)}^8}\\ & =2.\sqrt{{\left[{\left(-5\right)}^3\right]}^2}+3.\sqrt{{\left[{\left(-2\right)}^4\right]}^2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =2.\left|{(-5)}^3\right|+3.\left|{(-2)}^4\right|\\ & =2.\left|-125\right|+3.\left|16\right|\\ & =2.125+3.16=298\end{array}$

a) $\sqrt{{\left(4+\sqrt{2}\right)}^2}$;

b) $\sqrt{{\left(3-\sqrt{3}\right)}^2}$;

c) $\sqrt{{\left(4-\sqrt{17}\right)}^2}$;

d) $2\sqrt{3}+\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}$. 

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Nếu $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Nếu $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$

Xét các trường hợp $A\ge 0$ và $A<0$ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải:

a)

$\sqrt{{\left(4+\sqrt{2}\right)}^2}$$=\left|4+\sqrt{2}\right|=4+\sqrt{2}$

b)

$\sqrt{{\left(3-\sqrt{3}\right)}^2}=\left|3-\sqrt{3}\right|$$=3-\sqrt{3}$ (do $3>\sqrt{3}$).

c)

$\sqrt{{\left(4-\sqrt{17}\right)}^2}=\left|4-\sqrt{17}\right|$$=\sqrt{17}-4$ (do $4=\sqrt{16}<\sqrt{1}7$).

d)

$2\sqrt{3}+\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}$$=2\sqrt{3}+\left|2-\sqrt{3}\right|$

$=2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=\sqrt{3}+2.$

a) $9+4\sqrt{5}={\left(\sqrt{5}+2\right)}^2;$

b) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}=-2;$

c) ${\left(4-\sqrt{7}\right)}^2=23-8\sqrt{7};$

d) $\sqrt{23+8\sqrt{7}}-\sqrt{7}=4.$

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Nếu $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Nếu $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$

Sử dụng hằng đẳng thức: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Lời giải:

a)

Ta có:  

$\begin{array}{rl}& VT=9+4\sqrt{5}=4+2.2\sqrt{5}+5\\ & =2^2+2.2\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2={\left(2+\sqrt{5}\right)}^2\end{array}$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b)

Ta có:

 $VT=\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}$ $=\sqrt{5-2.2\sqrt{5}+4}-\sqrt{5}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2.2\sqrt{5}+2^2}-\sqrt{5}$ 
$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}-\sqrt{5}$

$=\left|\sqrt{5}-2\right|-\sqrt{5}$$=\sqrt{5}-2-\sqrt{5}=-2$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

c)

Ta có:

$VT={\left(4-\sqrt{7}\right)}^2$$=4^2-\mathrm{2.4.}\sqrt{7}+{\left(\sqrt{7}\right)}^2$
$=16-8\sqrt{7}+7=23-8\sqrt{7}$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. 

d)

Ta có:

$VT=\sqrt{23+8\sqrt{7}}-\sqrt{7}$
$=\sqrt{16+\mathrm{2.4.}\sqrt{7}+7}-\sqrt{7}$

$=\sqrt{4^2+\mathrm{2.4.}\sqrt{7}+{\left(\sqrt{7}\right)}^2}-\sqrt{7}$
$=\sqrt{{\left(4+\sqrt{7}\right)}^2}-\sqrt{7}$

$=\left|4+\sqrt{7}\right|-\sqrt{7}$$=4+\sqrt{7}-\sqrt{7}=4$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. 

Chú ý: VT là vế trái.

a) ${\displaystyle \sqrt{(x-1)(x-3)};}$

b) ${\displaystyle \sqrt{x^2-4};}$

c) ${\displaystyle \sqrt{\frac{x-2}{x+3}};}$

d) ${\displaystyle \sqrt{\frac{2+x}{5-x}}.}$

Phương pháp giải:

Để biểu thức $\sqrt{A.B}$ có nghĩa khi $A.B\ge 0$

Ta xét các trường hợp sau:

TH1: 

$\{\begin{array}{l}A\ge 0\\ B\ge 0\end{array}$

TH2:

$\{\begin{array}{l}A\le 0\\ B\le 0\end{array}$

Lời giải:

a)

Ta có:  ${\displaystyle \sqrt{(x-1)(x-3)}}$ xác định khi và chỉ khi :

${\displaystyle (x-1)(x-3)\ge 0}$

Trường hợp 1: 

${\displaystyle \{\begin{array}{c}x-1\ge 0\hfill \\ x-3\ge 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge 1\hfill \\ x\ge 3\hfill \end{array}\iff x\ge 3}$

Trường hợp 2:

${\displaystyle \{\begin{array}{c}x-1\le 0\hfill \\ x-3\le 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\le 1\hfill \\ x\le 3\hfill \end{array}\iff x\le 1}$

Vậy với $x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ thì  ${\displaystyle \sqrt{(x-1)(x-3)}}$ xác định.

b)

Ta có:  ${\displaystyle \sqrt{x^2-4}}$ xác định khi và chỉ khi: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& x^2-4\ge 0\iff x^2\ge 4\\ & \iff \left|x\right|\ge 2\iff [\begin{array}{c}x\ge 2\hfill \\ x\le -2\hfill \end{array}\end{array}}$

Vậy với $x\le -2$ hoặc $x\ge 2$ thì  ${\displaystyle \sqrt{x^2-4}}$ xác định.

c)

Ta có: ${\displaystyle \sqrt{\frac{x-2}{x+3}}}$ xác định khi và chỉ khi: ${\displaystyle \frac{x-2}{x+3}\ge 0}$

Trường hợp 1: 

${\displaystyle \{\begin{array}{c}x-2\ge 0\hfill \\ x+3>0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge 2\hfill \\ x>-3\hfill \end{array}\iff x\ge 2}$

Trường hợp 2:

${\displaystyle \{\begin{array}{c}x-2\le 0\hfill \\ x+3<0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\le 2\hfill \\ x<-3\hfill \end{array}\iff x<-3}$

Vậy với $x<-3$ hoặc $x\ge$2 thì ${\displaystyle \sqrt{\frac{x-2}{x+3}}}$ xác định.

d)

Ta có: ${\displaystyle \sqrt{\frac{2+x}{5-x}}}$ xác định khi và chỉ khi ${\displaystyle \frac{2+x}{5-x}\ge 0}$

Trường hợp 1: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}2+x\ge 0\hfill \\ 5-x>0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge -2\hfill \\ x<5\hfill \end{array}\\ & \iff -2\le x<5\end{array}}$

Trường hợp 2: 

${\displaystyle \{\begin{array}{c}2+x\le 0\hfill \\ 5-x<0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\le -2\hfill \\ x>5\hfill \end{array}}$

${\displaystyle \iff }$ vô nghiệm.

Vậy với $-2\le x<5$ thì ${\displaystyle \sqrt{\frac{2+x}{5-x}}}$ xác định.

a) $\sqrt{9x^2}=2x+1;$

b) $\sqrt{x^2+6x+9}=3x-1;$

c) $\sqrt{1-4x+4x^2}=5;$

d) $\sqrt{x^4}=7.$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Nếu $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$ 

Nếu $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$

Xét các trường hợp $A\ge 0$ và $A<0$ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 

Lời giải:

a)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{9x^2}=2x+1\\ & \iff \sqrt{{\left(3x\right)}^2}=2x+1\\ & \iff \left|3x\right|=2x+1(1)\end{array}$ 

Trường hợp 1: 

$3x\ge 0\iff x\ge 0\Rightarrow \left|3x\right|=3x$

Suy ra: 

$3x=2x+1\iff 3x-2x=1\iff x=1$

Giá trị $x=1$ thỏa mãn điều kiện $x\ge 0$.

Vậy $x=1$ là nghiệm của phương trình (1).

Trường hợp 2:

$3x<0\iff x<0\Rightarrow \left|3x\right|=-3x$

Suy ra : 

$\begin{array}{rl}& -3x=2x+1\iff -3x-2x=1\\ & \iff -5x=1\iff x=-\frac{1}{5}\end{array}$

Giá trị ${\displaystyle x=-\frac{1}{5}}$ thỏa mãn điều kiện $x<0.$

Vậy ${\displaystyle x=-\frac{1}{5}}$ là nghiệm của phương trình (1).

Vậy $x=1$ và ${\displaystyle x=-\frac{1}{5}}$

b)

Ta có : 

$\sqrt{x^2+6x+9}=3x-1$

$\begin{array}{rl}& \iff \sqrt{{\left(x+3\right)}^2}=3x-1\\ & \iff \left|x+3\right|=3x-1(2)\end{array}$

Trường hợp 1: 

$\begin{array}{rl}& x+3\ge 0\iff x\ge -3\\ & \Rightarrow \left|x+3\right|=x+3\end{array}$

Suy ra : 

$\begin{array}{rl}& x+3=3x-1\\ & \iff x-3x=-1-3\\ & \iff -2x=-4\iff x=2\end{array}$

Giá trị $x=2$ thỏa mãn điều kiện $x\ge -3.$

Vậy $x=2$ là nghiệm của phương trình (2).

Trường hợp 2: 

$\begin{array}{rl}& x+3<0\iff x<-3\\ & \Rightarrow \left|x+3\right|=-x-3\end{array}$

Suy ra: 

$\begin{array}{rl}& -x-3=3x-1\\ & \iff -x-3x=-1+3\\ & \iff -4x=2\iff x=-0,5\end{array}$

Giá trị $x=-0,5$ không thỏa mãn điều kiện $x<-3$ nên loại.

Vậy $x=2.$

c)

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{1-4x+4x^2}=5(3)\\ & \iff \sqrt{{\left(1-2x\right)}^2}=5\\ & \iff \left|1-2x\right|=5\end{array}$   

Trường hợp 1:

$\begin{array}{rl}& 1-2x\ge 0\iff 2x\le 1\iff x\le \frac{1}{2}\\ & \Rightarrow \left|1-2x\right|=1-2x\end{array}$

 Suy ra:

$\begin{array}{rl}& 1-2x=5\iff -2x=5-1\\ & \iff -2x=4\\ & \iff x=-2\end{array}$

Giá trị $x=-2$ thỏa mãn điều kiện ${\displaystyle x\le \frac{1}{2}}$ 

Vậy $x=-2$ là nghiệm của phương trình (3).

Trường hợp 2: 

$\begin{array}{rl}& 1-2x<0\iff 2x>1\iff x>\frac{1}{2}\\ & \Rightarrow \left|1-2x\right|=2x-1\end{array}$

Suy ra: 

$2x-1=5\iff 2x=5+1$$\iff 2x=6\iff x=3$

Giá trị $x=3$ thỏa mãn điều kiện ${\displaystyle x>\frac{1}{2}}$

Vậy $x=3$ là nghiệm của phương trình (3).

Vậy $x=-2$ và $x=3.$

d)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{x^4}=7\iff \sqrt{{\left(x^2\right)}^2}=7\\ & \iff \left|x^2\right|=7\iff x^2=7\end{array}$

Suy ra $x=\sqrt{7}$ hoặc $x=-\sqrt{7}$

Vậy $x=\sqrt{7};$ $x=-\sqrt{7}$

a) $x^2-7$; 

b) $x^2-2\sqrt{2}x+2$;

c) $x^2+2\sqrt{13}x+13$.

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$A={\left(\sqrt{A}\right)}^2$ (với $A\ge 0$)

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

$A^2-2AB+B^2=(A-B{)}^2$

$A^2+2AB+B^2=(A+B{)}^2$ 

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& x^2-7=x^2-{\left(\sqrt{7}\right)}^2\\ & =\left(x+\sqrt{7}\right)\left(x-\sqrt{7}\right)\end{array}$

b)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& x^2-2\sqrt{2}x+2\\ & =x^2-2.x.\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2\\ & ={\left(x-\sqrt{2}\right)}^2\end{array}$

c)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& x^2+2\sqrt{13}x+13\\ & =x^2+2.x.\sqrt{13}+{\left(\sqrt{13}\right)}^2\\ & ={\left(x+\sqrt{13}\right)}^2\end{array}$

a) ${\displaystyle \frac{x^2-5}{x+\sqrt{5}}}$ (với $x\ne -\sqrt{5}$)

b) ${\displaystyle \frac{x^2+2\sqrt{2}x+2}{x^2-2}}$ (với $x\ne \pm \sqrt{2}$ )

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

$A={\left(\sqrt{A}\right)}^2$ (với $A\ge 0$)

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Lời giải:

a)

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{x^2-5}{x+\sqrt{5}}=\frac{x^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}{x+\sqrt{5}}\\ & =\frac{\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)}{x+\sqrt{5}}=x-\sqrt{5}\end{array}}$

(với $x\ne -\sqrt{5}$). 

b)

${\displaystyle \frac{x^2+2\sqrt{2}x+2}{x^2-2}}$

${\displaystyle =\frac{x^2+2.x.\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)}}$

$={\displaystyle \frac{{\left(x+\sqrt{2}\right)}^2}{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}}$
${\displaystyle =\frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}}$

(với $x\ne \pm \sqrt{2}$ ). 

a) $\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}$;

b) $\sqrt{11+6\sqrt{2}}-3+\sqrt{2}$;

c) $\sqrt{9x^2}-2x$ với $x<0$ ;

d) $x-4+\sqrt{16-8x+x^2}$ với $x>4$.  

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Nếu $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Nếu $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$

Xét các trường hợp $A\ge 0$ và $A<0$ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Sử dụng hằng đẳng thức: 

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}\\ & =\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}-\sqrt{3}\\ & =\left|\sqrt{3}-1\right|-\sqrt{3}\\ & =\sqrt{3}-1-\sqrt{3}=-1\end{array}$

b)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{11+6\sqrt{2}}-3+\sqrt{2}\\ & =\sqrt{9+2.3\sqrt{2}+2}-3+\sqrt{2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =\sqrt{{\left(3+\sqrt{2}\right)}^2}-3+\sqrt{2}\\ & =3+\sqrt{2}-3+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\end{array}$

c)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{9x^2}-2x=\sqrt{{\left(3x\right)}^2}-2x\\ & =\left|3x\right|-2x=-3x-2x=-5x\end{array}$

( với $x<0$)

d)

$\begin{array}{rl}& x-4+\sqrt{16-8x+x^2}\\ & =x-4+\sqrt{{\left(x-4\right)}^2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =x-4+\left|x-4\right|\\ & =x-4+x-4=2x-8\end{array}$

( với $x>4$).