Bài 14 trang 48 SGK Toán 9 Tập 1 :Cho hàm số bậc nhất $y=(1-\sqrt{5})x-1$.

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ? Vì sao ?

b) Tính giá trị của $y$ khi $x=1+\sqrt{5}$;

c) Tính giá trị của $x$ khi $y=\sqrt{5}$.

Phương pháp giải:

a) +) Hàm số bậc nhất $y=ax+b$ xác định với mọi giá trị của $x$ trên $\mathbb{R}$

  -  Đồng biến trên $\mathbb{R}$  khi $a>0$. 

  -  Nghịch biến trên $\mathbb{R}$  khi $a<0$.

+) Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:

            $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b},$  với $a,b\ge 0$.

b) +) Thay $x_0$ vào công thức hàm số $y=ax+b$ tính được giá trị của hàm số: $y_0=a{x}_0+b$.

     +) Sử dụng hằng đẳng thức: $a^2-b^2=(a-b)(a+b).$

c) +) Thay $x_0$ vào công thức hàm số $y=ax+b$ tính được giá trị của hàm số: $y_0=a{x}_0+b$.

     +) Sử dụng hằng đẳng thức:

            $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.

            $a^2-b^2=(a-b)(a+b).$

+) Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu:

        ${\displaystyle \frac{C}{\sqrt{A}\pm B}}={\displaystyle \frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}}$

Lời giải: 

a) Hàm số $y=(1-\sqrt{5})x-1$ có hệ số $a=1-\sqrt{5}<0$

(Vì: $1<5\iff \sqrt{1}<\sqrt{5}$ $\iff 1<\sqrt{5}$$\iff 1-\sqrt{5}<0)$

Vậy hàm số $y=(1-\sqrt{5})x-1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (vì hệ số $a$ âm).

b) 

Thay $x=1+\sqrt{5}$ vào công thức của hàm số đã cho, ta được: 

           $y=(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})-1$

       $\iff y=[1^2-(\sqrt{5}{)}^2]-1$

      $\iff y=(1-5)-1$

      $\iff y=-4-1$

      $\iff y=-5$

Vậy $x=1+\sqrt{5}$ thì $y=-5$.

c) Ta có:

Thay $y=\sqrt{5}$ vào công thức của hàm số, ta được:

$\sqrt{5}=(1-\sqrt{5})x-1$

$\iff (1-\sqrt{5})x=\sqrt{5}+1$

$\iff x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{1-\sqrt{5}}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)}{(1-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{(\sqrt{5}+1{)}^2}{1^2-(\sqrt{5}{)}^2}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{(\sqrt{5}{)}^2+2\sqrt{5}+1}{1-5}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{5+2\sqrt{5}+1}{-4}}$

$\iff x=-{\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{4}}$

$\iff x=-{\displaystyle \frac{2(3+\sqrt{5})}{2.2}}$

$\iff x=-{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$

Vậy $y=\sqrt{5}$ thì $x=-{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$.