Với lời giải SBT Toán 10 trang 42 Tập 2 chi tiết trong Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 7.23 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² + 6x – 4y – 12 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm M(0; –2).

Lời giải:

Xét đường tròn (C) có phương trình: x² + y² + 6x – 4y – 12 = 0. Ta có:

Tâm I(a; b) với a = 6 : (–2) = –3, b = –4 : (–2) = 2, do đó, đường tròn (C) có tâm I(–3; 2).

Đường thẳng Δ đi qua điểm M(0; –2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\Delta }}=\overrightarrow{IM}=\left(3;-4\right)$ . Phương trình của Δ là

3(x – 0) – 4(y + 2) = 0

⇔ 3x – 4y – 8 = 0.

Bài 7.24 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Cho điểm A(4; 2) và hai đường thẳng d: 3x + 4y – 20 = 0, d’: 2x + y = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và vuông góc với d.

b) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d' và tiếp xúc với d tại điểm A.

Lời giải:

a)

Dựa vào đề bài ta có do đường thẳng Δ vuông góc với d nên: $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{n_d}=\left(3;4\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{\Delta }}=\left(4;-3\right)$ .

Phương trình của Δ là:

4(x – 4) – 3(y – 2) = 0 

⇔ 4x – 3y – 10 = 0.

b)

Gọi I là tâm của đường tròn (C).

Vì d tiếp xúc với (C) tại điểm A nên ta có IA ⊥ d, do đó I thuộc Δ. Mặt khác, I thuộc đường thẳng d'. Suy ra toạ độ của I thoả mãn hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{c}4x-3y-10=0\\ 2x+y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}4x-3y=10\\ 2x+y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$

Do đó, I(1; –2)

Bán kính của (C) là: $R=IA=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2}=5$ .

Vậy phương trình của (C) là

(x – 1)² + (y + 2)² = 5²

⟺ (x – 1)² + (y + 2)² = 25.

Bài 7.25 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C), đường thẳng Δ có phương trình lần lượt là:

(x – 1)² + (y + 1)² = 2; x + y + 2 = 0.

a) Chứng minh rằng Δ là một tiếp tuyến của đường tròn (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng d song song với đường thẳng Δ.

Lời giải:

Đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 1)² = 2 có

tâm I(1; –1)

bán kính R² = 2 ⇒ $R=\sqrt{2}$ .

a)

Khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ là

$d\left(I,\Delta \right)=\frac{\left|1-1+2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$

Ta có d(I, Δ) = R, do đó Δ là một tiếp tuyến của (C).

b)

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên phương trình đường thẳng d có dạng x + y + m = 0, trong đó m ≠ 2.

Để d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi

$d\left(I,d\right)=R\iff \frac{\left|1-1+m\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$ ⇔ |m| = 2 ⇔ m = ± 2

Mà m ≠ 2 nên m = –2

Vậy phương trình của đường thẳng d là x + y – 2 = 0.

Bài 7.26 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng Δ: x . sinα° + y . cosα° – 1 = 0, trong đó α là một số thực thuộc khoảng (0; 180).

a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng Δ.

b) Chứng minh rằng khi α thay đổi, tồn tại một đường tròn cố định luôn tiếp xúc với đường thẳng Δ.

Lời giải:

a)

Khoảng cách từ O(0; 0) đến đường thẳng Δ là

 $d\left(O,\Delta \right)=\frac{\left|\text{0.s}in\alpha °+\text{ 0}cos\alpha °–1\right|}{\sqrt{{\left(\sin \alpha °\right)}^2+{\left(\text{cos}\alpha °\right)}^2}}=1$

Do (sinα^o)² + (cosα^o)² = 1 với α là một số thực thuộc khoảng (0; 180).

b)

Giả sử (C) là đường tròn có tâm O và bán kính R = 1.

Với α là một số thực thuộc khoảng (0; 180) có thể thay đổi thì có:

d(O, Δ) = 1 = R không đổi

nên (C) luôn tiếp xúc với Δ.

Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là x² + y² = 1.

Bài 7.27 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Vị trí của một chất điểm M tại thời điểm t (t trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có toạ độ là (3 + 5sin t°; 4 + 5cos t°). Tìm toạ độ của chất điểm M khi M ở cách xa gốc toạ độ nhất.

Lời giải:

Từ cách xác định toạ độ của chất điểm M ta có

$\left\{\begin{array}{c}{x}_M=3+5\sin t°\\ y_M=4+5\cos t°\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_M-3=5\sin t°\\ y_M-4=5\cos t°\end{array}\right.$

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = (5sin t°)² + (5cos t°)²

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = 25(sin t°)² + 25(cos t°)²

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = 25[(sin t°)² + (cos t°)²]

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = 25.1

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = 25

Vậy chất điểm M luôn thuộc đường tròn (C) có tâm I(3; 4) và có bán kính R = $\sqrt{25}$  = 5. Mặt khác gốc toạ độ O(0; 0) cũng thuộc đường tròn (C).

Do đó ta có: OM ≤ 2R = 10

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi OM là đường kính của đường tròn (C), nghĩa là I là trung điểm của OM, điều đó tương đương với

$\left\{\begin{array}{c}{x}_M=2x_I-x_O=6\\ y_M=2y_I-y_O=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}3+5\sin t°=6\\ 4+5\cos t°=8\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\sin t°=\frac{3}{5}\\ \cos t°=\frac{4}{5}\end{array}\right.\iff t\approx 37$  (có t ∈ (0; 180)).

Vậy M(6; 8) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải SBT Toán 10 trang 41 Tập 2

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm