Tailieumoi.vn xin giới thiệu Bài tập Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 1 sách Chân trời sáng tạo. Bài viết gồm 23 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 7. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Bài tập cuối chương 1. Mời các bạn đón xem:

Bài tập Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 1

A. Bài tập cuối chương 1

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?

A. Số 0 không phải là số hữu tỉ;

B. Số 0 là số hữu tỉ âm;

C. Số 0 là số hữu tỉ dương;

D. Số 0 là số hữu tỉ nhưng không phải là số hữu tỉ dương cũng không phải là số hữu tỉ âm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số 0 là số hữu tỉ nhưng không phải là số hữu tỉ dương cũng không phải là số hữu tỉ âm.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2. Điểm A trong hình dưới đây biểu diễn số hữu tỉ nào?

A. $\frac{2}{3}$ ;

B. $\frac{-2}{3}$ ;

C. $-\frac{1}{3}$ ;

D. – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hình trên chia các đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn từ 0 đến 1) thành 3 đoạn bằng nhau, lấy một đoạn đó làm đơn vị mới thì đơn vị mới bằng $\frac{1}{3}$ đơn vị cũ.

Điểm A nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 2 đơn vị mới.

Do đó điểm A biểu diễn số $\frac{-2}{3}$ .

Mà $\frac{-2}{3}=\frac{2}{-3}.$

Suy ra điểm A biểu diễn số $\frac{2}{-3}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 3. Số hữu tỉ $\frac{x}{6}$ không thỏa mãn điều kiện $\frac{-1}{2}<\frac{x}{6}<\frac{1}{2}$ là:

A. $\frac{-1}{6}$ ;

B. $\frac{1}{6}$ ;

C. $\frac{1}{3}$ ;

D. $\frac{-2}{3}$ ;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:$\frac{-1}{2}<\frac{x}{6}<\frac{1}{2}$ nên $\frac{-3}{6}<\frac{x}{6}<\frac{3}{6}$ .

Mà $\frac{x}{6}$ là số hữu tỉ nên x ∈ ℤ.

Suy ra $\frac{x}{6}\in \left\{\frac{-2}{6};\frac{-1}{6};0;\frac{1}{6};\right.\left.\frac{2}{6}\right\}$ .

Do đó:

• Phương án A số $\frac{-1}{6}$  thỏa mãn điều kiện nên A là sai.

• Phương án B số $\frac{1}{6}$  thỏa mãn điều kiện nên B là sai.

• Phương án C số $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ thỏa mãn điều kiện nên C là sai.

• Phương án D số $\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}$ không thỏa mãn điều kiện nên D là đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 4. Các số nguyên x thoả mãn điều kiện: $\frac{1}{5}+\frac{2}{7}-1<x<\frac{13}{3}+\frac{6}{5}+\frac{4}{15}$ . Vậy các số nguyên x thuộc tập hợp:

A. {0; 1; 2; 3; 4; 5};

B. {0; 1; 2; 3; 4};

C. {1; 2; 3; 4; 5};

D. {0; 1; 2; 3}.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: 

•$\frac{1}{5}+\frac{2}{7}-1=\frac{1.7}{35}+\frac{2.5}{35}-\frac{35}{35}$

$=\frac{7+10-35}{35}=\frac{-18}{35}$

•$\frac{13}{3}+\frac{6}{5}+\frac{4}{15}=\frac{13.5}{3.5}+\frac{6.3}{5.3}+\frac{4}{15}$

$=\frac{65+18+4}{15}=\frac{87}{15}$.

Theo đề bài: $\frac{-18}{35}<\text{x}<\frac{87}{15}$ .

Ta có $-1<\frac{-18}{35}<0$  và $5=\frac{75}{15}<\frac{87}{15}<6$

Mà x là số nguyên

Do đó x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Ta chọn phương án A.

Câu 5. Cho phân số $\frac{\text{x}}{\text{6}}$. Sau khi quy đồng mẫu của $\frac{\text{x}}{\text{6}}$ và $\frac{1}{15}$ sao cho mẫu số chung nhỏ nhất thì $\frac{\text{x}}{\text{6}}$ trở thành một phân số mới. Trừ tử số của phân số mới cho 15 ta được một phân số bằng $\frac{1}{3}$. Hỏi phân số $\frac{\text{x}}{\text{6}}$ là phân số nào?

A. $\frac{-5}{6}$;

B. $\frac{5}{6}$;

C. $\frac{1}{3}$;

D. $\frac{1}{6}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khi quy đồng mẫu của $\frac{\text{x}}{\text{6}}$ và $\frac{1}{15}$ thì mẫu số chung nhỏ nhất bằng 30.

Do đó, sau khi quy đồng thì $\frac{\text{x}}{\text{6}}$ trở thành .

Theo đề bài ta có:$\frac{\text{5x}-\text{15}}{\text{30}}=\frac{1}{3}=\frac{10}{30}$ .

Do đó 5x −15 = 10.

5x = 25

x = 5.

Vây phân số $\frac{\text{x}}{\text{6}}$cần tìm là $\frac{5}{\text{6}}$ .

Ta chọn phương án B.

Câu 6. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể rỗng. Vòi thứ nhất chảy trong 8 giờ thì đầy bể. Vòi thứ hai chảy 12 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 5 giờ thì được bao nhiêu phần của bể?

A.$\frac{3}{8}$;

B.$\frac{5}{12}$ ;

C.$\frac{17}{24}$ ;

D. $\frac{19}{24}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vòi thứ nhất chảy trong 8 giờ thì đầy bể nên trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{8}$ bể.

Vòi thứ hai chảy trong 12 giờ thì đầy bể nên trong 1 giờ vòi thứ 2 chảy được $\frac{1}{16}$ bể.

Do đó:

• Sau 3 giờ vòi thứ nhất chảy được$\frac{3}{8}$ (bể).

• Sau 5 giờ vòi thứ hai chảy được $\frac{5}{12}$ (bể).

Vậy khi đó cả hai vòi chảy vào được:$\frac{3}{8}+\frac{5}{12}=\frac{9+10}{24}=\frac{19}{24}$(bể).

Ta chọn phương án D.

Câu 7. Khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim bằng khoảng 3,82.10⁷ km. Khoảng cách từ Trái Đất đến Mộc Tinh bằng khoảng 5,88.10⁸ km. Chọn khẳng định đúng.

A. Sao Kim gần Trái Đất hơn Mộc Tinh và gần hơn khoảng 54,98.10⁷ km;

B. Mộc Tinh gần Trái Đất hơn Sao Kim và gần hơn khoảng 54,98.10⁷ km;

C. Sao Kim gần Trái Đất hơn Mộc Tinh và gần hơn khoảng 54,98.10⁸ km;

D. Mộc Tinh gần Trái Đất hơn Sao Kim và gần hơn khoảng 54,98.10⁶ km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có 5,88.10⁸ = 58,8.10⁷.

Vì 3,82 < 58,8 nên 3,82.10⁷ < 58,8.10⁷.

Do đó khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim gần hơn khoảng cách từ Trái Đất đến Mộc Tinh, tức là Sao Kim gần Trái Đất hơn Mộc Tinh.

Ta có: 58,8.10⁷ – 3,82.10⁷ = (58,8 – 3,82). 10⁷ = 54,98. 10⁷.

Do đó Sao Kim gần Trái Đất hơn Mộc Tinh khoảng 54,98.10⁷ km.

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 8. Sản lượng gạo năm 2008 của Việt Nam bằng khoảng 3,6.10⁷ tấn. Biết sản lượng của Việt Nam ít hơn sản lượng của Indonesia khoảng 2,1.10⁷ tấn. Sản lượng gạo năm 2008 của Indonesia bằng khoảng:

A. 0,57.10⁶ tấn;

B. 5,7.10⁸ tấn;

C. 57.10⁷ tấn;

D. 5,7.10⁷ tấn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Sản lượng gạo năm 2008 của Indonesia bằng khoảng:

3,6.10⁷ + 2,1.10⁷ = (3,6 + 2,1).10⁷ = 5,7.10⁷ (tấn).

Vậy sản lượng gạo năm 2008 của Indonesia bằng khoảng 5,7.10⁷ tấn.

Ta chọn đáp án D.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Thay $\boxed{?}$  bằng kí hiệu ∈, ∉ thích hợp.       

a) 2023 $\boxed{?}$ ℚ;

b) $\frac{-2022}{2023}\boxed{?}$ ℤ;

c) $-\frac{4}{2}\boxed{?}$ ℕ;

d) 1,23 $\boxed{?}$ ℚ.

Hướng dẫn giải

a) 2023$\boxed{?}$ ℚ

Ta có: 2023 là số tự nhiên viết được dưới dạng $\frac{2023}{1}$ nên đây là số hữu tỉ.

Do đó 2023 $\boxed{\in }$  ℚ.

b) $\frac{-2022}{2023}\boxed{?}$ ℤ

Ta có: $\frac{-2022}{2023}$là số hữu tỉ, không phải là số nguyên.

Do đó $\frac{-2022}{2023}\boxed{\notin }$ ℤ.

c) $-\frac{4}{2}\boxed{?}$ ℕ

Ta có: $-\frac{4}{2}$ = –2  là số nguyên âm, không phải là số tự nhiên.

Do đó $-\frac{4}{2}\boxed{\notin }$  ℕ.

d) 1,23 $\boxed{?}$ ℚ.

Ta có: 1,23 = $\frac{123}{100}$ nên số 1,23 viết được dưới dạng phân số.

Do đó đây là số hữu tỉ.

Vậy 1,23 $\boxed{\in }$ ℚ.

Bài 2.

a) Trong các phân số sau, phân số nào biểu diễn số hữu tỉ $\frac{-2}{3}$ ?

$-\frac{-8}{12};\frac{4}{-6};\frac{-6}{9};-\frac{22}{33}.$

 

b) Tìm số đối của mỗi số sau: 1,3$\frac{-5}{8};-1\frac{1}{2};\frac{1}{-5}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $-\frac{-8}{12}=\frac{8}{12}=\frac{8:4}{12:4}=\frac{2}{3}\ne \frac{-2}{3};$

$\frac{4}{-6}=\frac{4:\left(-2\right)}{\left(-6\right):\left(-2\right)}=\frac{-2}{3};$

$\frac{-6}{9}=\frac{\left(-6\right):3}{9:3}=\frac{-2}{3};$

$-\frac{22}{33}=\frac{-22}{33}=\frac{\left(-22\right):11}{33:11}=\frac{-2}{3}.$

Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ $\frac{-2}{3}$ là: $\frac{4}{-6};\frac{-6}{9};-\frac{22}{33}.$

b) Số đối của số 1,3 là ‒1,3;

Số đối của số $\frac{-5}{8}$ là $\frac{5}{8}$ .

Số đối của số $-1\frac{1}{2}$ là $1\frac{1}{2}$ .

Số đối của số  $\frac{1}{-5}$ là $\frac{1}{5}$ .

Bài 3.

a) Các điểm A, B, C, D trong hình dưới biểu diễn số hữu tỉ nào?

b) Biểu diễn các số hữu tỉ  $-1\frac{1}{2};1,5;\frac{5}{-2};-\frac{-7}{2}$trên trục số.

Hướng dẫn giải

a)

Dựa vào trục số ta thấy:

Mỗi đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn từ 0 đến 1) được chia thành 7 phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới (đơn vị mới bằng $\frac{1}{7}$ đơn vị cũ).

– Xét các điểm nằm bên trái điểm 0:

• Điểm A cách điểm 0 một đoạn bằng 9 đơn vị mới nên điểm A biểu diễn số $\frac{-9}{7}$ .

• Điểm B cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới nên điểm B biểu diễn số $\frac{-3}{7}$.

– Xét các điểm nằm bên phải điểm 0:

• Điểm C cách điểm 0 một đoạn bằng 2 đơn vị mới nên điểm C biểu diễn số $\frac{2}{7}$.

• Điểm D cách điểm 0 một đoạn bằng 6 đơn vị mới nên điểm D biểu diễn số $\frac{6}{7}$.

Vậy các điểm A, B, C, D lần lượt biểu diễn các số $\frac{-9}{7};\frac{-3}{7};\frac{2}{7};\frac{6}{7}$.

b) Biểu diễn các số hữu tỉ $-1\frac{1}{2};1,5;\frac{5}{-2};-\frac{-7}{2}$ trên trục số.

+) Biểu diễn số $-1\frac{1}{2}$:

• Ta có: $-1\frac{1}{2}=\frac{-3}{2}$

• Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ điểm 0 tới điểm 1) thành 2 phần bằng nhau, ta được đoạn đơn vị mới bằng $\frac{1}{2}$ đơn vị cũ.

Số hữu tỉ $\frac{-3}{2}$ được biểu diễn bởi điểm A nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới (Hình vẽ).

+) Biểu diễn số 1,5:

• Ta có: 1,5 = $\frac{3}{2}.$

• Số hữu tỉ $\frac{3}{2}$được biểu diễn bởi điểm B nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới (Hình vẽ).

+) Biểu diễn số $\frac{5}{-2}:$

• Ta có:$\frac{5}{-2}=\frac{-5}{2}.$

• Số hữu tỉ $\frac{-5}{2}$ được biểu diễn bởi điểm C nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 5 đơn vị mới (Hình vẽ).

+) Biểu diễn số $-\frac{-7}{2}:$

• Ta có: $-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}.$

• Số hữu tỉ $\frac{7}{2}$ được biểu diễn bởi điểm D nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 7 đơn vị mới (Hình vẽ).

Ta có các điểm A, B, C, D biểu diễn các số $-1\frac{1}{2};1,5;\frac{5}{-2};-\frac{-7}{2}$  trên trục số như hình vẽ sau:

Bài 4.

a) Trong các số hữu tỉ sau, số nào là số hữu tỉ dương, số nào là số hữu tỉ âm, số nào không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm?

$\frac{-11}{9};1,125;-2\frac{1}{3};0;\frac{3}{7}.$

 

b) Hãy sắp xếp các số trên theo thứ tự tăng dần.

Hướng dẫn giải

a) Trong các số hữu tỉ $\frac{-11}{9};1,125;-2\frac{1}{3};0;\frac{3}{7}.$ thì có:

• Các số hữu tỉ dương là: 1,125;$\frac{3}{7}.$

• Các số hữu tỉ âm là:$\frac{-11}{9};-2\frac{1}{3}.$

• Số hữu tỉ không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm là: 0.

b)

• So sánh các số hữu tỉ dương: 1,125;$\frac{3}{7}.$

Ta có: 1,125 = $\frac{1125}{1000}=\frac{1125:125}{1000:125}=\frac{9}{8};$

Vì 3 < 7 và 7 > 0 nên $\frac{3}{7}<\frac{7}{7}$ hay $\frac{3}{7}<1$

Vì 9 > 8 và 8 > 0 nên $\frac{9}{8}>\frac{8}{8}$ hay $\frac{9}{8}>1$ .

Do đó $\frac{3}{7}<\frac{9}{8}$          (1)

• So sánh các số hữu tỉ âm: $\frac{-11}{9};-2\frac{1}{3}.$

Ta sẽ đi so sánh số đối của hai số trên là $\frac{11}{9}$ và $2\frac{1}{3}:$

Ta có: $\frac{11}{9}=1\frac{2}{9}.$

Ta thấy phần nguyên của số $1\frac{2}{9}$ bằng 1; phần nguyên của số $2\frac{1}{3}$bằng 2

Mà 1 < 2 nên $1\frac{2}{9}<2\frac{1}{3}.$

Do đó $-1\frac{2}{9}>-2\frac{1}{3}.$

Hay $\frac{-11}{9}>-2\frac{1}{3}.$  (2)

Mặt khác:

Số 0 luôn lớn hơn các số hữu tỉ âm và số 0 luôn nhỏ hơn các số hữu tỉ dương (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có: $-2\frac{1}{3}<\frac{-11}{9}<0<\frac{3}{7}<\frac{9}{8}.$

Vậy sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần là: $-2\frac{1}{3};\frac{-11}{9};0;\frac{3}{7};\frac{9}{8}.$

Bài 5. Tính:

a) $\frac{3}{7}+\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{3}{5}$ ;                                        

b) $\left(-2\right).\left(\frac{-38}{21}\right).\left(\frac{-7}{4}\right).\left(-\frac{3}{8}\right)$ ;    

c) $\left(\frac{-2}{3}+\frac{3}{7}\right):\frac{4}{5}+\left(\frac{-1}{3}+\frac{4}{7}\right):\frac{4}{5};$                     

d) $\frac{5}{9}:\left(\frac{1}{11}-\frac{5}{22}\right)+\frac{5}{9}:\left(\frac{1}{15}-\frac{2}{3}\right).$  

Hướng dẫn giải

a)  $\frac{3}{7}+\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{3}{5}$

= $\frac{3}{7}-\frac{5}{2}-\frac{3}{5}$

= $\frac{30}{70}-\frac{175}{70}-\frac{42}{70}$   

= $\frac{-187}{70}$ .

b) $\left(-2\right).\left(\frac{-38}{21}\right).\left(\frac{-7}{4}\right).\left(-\frac{3}{8}\right)$  

= $2.\frac{38}{21}.\frac{7}{4}.\frac{3}{8}$

= $\frac{2.38.7.3}{21.4.8}$

= $\frac{2.2.19.7.3}{7\mathrm{.3.}2.2.8}=\frac{19}{8}$ .

c) $\left(\frac{-2}{3}+\frac{3}{7}\right):\frac{4}{5}+\left(\frac{-1}{3}+\frac{4}{7}\right):\frac{4}{5};$    

 

$=\left(\frac{-2}{3}+\frac{3}{7}\right).\frac{5}{4}+\left(\frac{-1}{3}+\frac{4}{7}\right).\frac{5}{4}$

= $\left(\frac{-2}{3}+\frac{3}{7}+\frac{-1}{3}+\frac{4}{7}\right).\frac{5}{4}$

= $\left[\left(\frac{-2}{3}+\frac{-1}{3}\right)+\left(\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\right)\right].\frac{5}{4}$

= $\left(\frac{-3}{3}+\frac{7}{7}\right).\frac{5}{4}$

$=\left(-1+1\right).\frac{5}{4}$

$=0.\frac{5}{4}=0$

d) $\frac{5}{9}:\left(\frac{1}{11}-\frac{5}{22}\right)+\frac{5}{9}:\left(\frac{1}{15}-\frac{2}{3}\right).$

=  $\frac{5}{9}:\left(\frac{2}{22}-\frac{5}{22}\right)+\frac{5}{9}:\left(\frac{1}{15}-\frac{10}{15}\right)$

= $\frac{5}{9}:\frac{-3}{22}+\frac{5}{9}:\frac{-9}{15}$

 

$=\frac{5}{9}.\frac{22}{-3}+\frac{5}{9}.\frac{15}{-9}$

= $\frac{5}{9}.\left(\frac{-22}{3}+\frac{-15}{9}\right)$

$=\frac{5}{9}.\left(\frac{-22}{3}+\frac{-5}{3}\right)$

$=\frac{5}{9}.\frac{-27}{3}$

= $\frac{5}{9}.\left(-9\right)=\left(-5\right)$

Bài 6. Tìm x:

a) $x.{\left(\frac{-2}{5}\right)}^7={\left(\frac{-2}{5}\right)}^9;$

b) $x:{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3}{4};$

c) $x:{\left(0,5\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2.$      

Hướng dẫn giải

a) $x.{\left(\frac{-2}{5}\right)}^7={\left(\frac{-2}{5}\right)}^9$

$x={\left(\frac{-2}{5}\right)}^9:{\left(\frac{-2}{5}\right)}^7$

$x={\left(\frac{-2}{5}\right)}^{9-7}$

$x={\left(\frac{-2}{5}\right)}^2$

$x=\frac{{\left(-2\right)}^2}{5^2}$

$x=\frac{4}{25}$

Vậy $x=\frac{4}{25}$ .

b) $x:{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3}{4}$

$x=\frac{3}{4}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$

$\begin{array}{l}x={\left(\frac{3}{4}\right)}^{1+2}\\ x={\left(\frac{3}{4}\right)}^3\\ x=\frac{3^3}{4^3}\\ x=\frac{27}{64}\end{array}$

Vậy $x=\frac{27}{64}$.

c) $x:{\left(0,5\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$\begin{array}{l}x:{\left(\frac{1}{2}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\\ x={\left(\frac{1}{2}\right)}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\\ x={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2+3}\\ x={\left(\frac{1}{2}\right)}^5\\ x=\frac{1^5}{2^5}\\ x=\frac{1}{32}\end{array}$

Vậy $x=\frac{1}{32}$ .

Bài 7. Tính:

a) $\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^4.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right]:{\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right]}^3;$

b) $3-{\left(-\frac{6}{7}\right)}^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2:2;$

c) $\left(1+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right).{\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}^2.$

Hướng dẫn giải

a) $\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^4.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right]:{\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right]}^3$

$\begin{array}{l}=\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^{4+5}\right]:{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2.3}\\ ={\left(\frac{2}{3}\right)}^9:{\left(\frac{2}{3}\right)}^6\\ ={\left(\frac{2}{3}\right)}^{9-6}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3\end{array}$

$=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$

b) $3-{\left(-\frac{6}{7}\right)}^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2:2$  

=  $3-1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2.\frac{1}{2}$

=  $2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2+1}$

=  $2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$

= $2+\frac{1^3}{2^3}$

= $2+\frac{1}{8}$

= $\frac{16}{8}+\frac{1}{8}=\frac{17}{8}$ ;

c) $\left(1+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right).{\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}^2$

= $\left(\frac{1}{1}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right).{\left(\frac{16}{20}-\frac{15}{20}\right)}^2$

= $\left(\frac{12}{12}+\frac{8}{12}-\frac{3}{12}\right).{\left(\frac{1}{20}\right)}^2$

=  $\frac{12+8-3}{12}.\frac{1^2}{{20}^2}$

=  $\frac{17}{12}.\frac{1}{400}$

= $\frac{17.1}{12.400}=\frac{17}{4800}$ .

Bài 8. Tính nhanh:

a) $\frac{16}{25}.\frac{3}{4}+\frac{9}{25}.\frac{3}{4}$ ;

b) $\frac{5}{8}.\frac{24}{13}-\frac{11}{13}.\frac{5}{8}+\frac{5}{8}$ ;

c) $\left(\frac{-3}{5}+\frac{5}{8}\right):\frac{11}{13}+\left(\frac{3}{8}-\frac{2}{5}\right):\frac{11}{13}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\frac{16}{25}.\frac{3}{4}+\frac{9}{25}.\frac{3}{4}$  

=$\left(\frac{16}{25}+\frac{9}{25}\right).\frac{3}{4}$

= $1.\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$ ;

b) $\frac{5}{8}.\frac{24}{13}-\frac{11}{13}.\frac{5}{8}+\frac{5}{8}$  

= $\frac{5}{8}.\left(\frac{24}{13}-\frac{11}{13}+1\right)$

= $\frac{5}{8}.\left(\frac{13}{13}+1\right)$

= $\frac{5}{8}.\left(1+1\right)$

= $\frac{5}{8}.2=\frac{5}{4}$ .

c) $\left(\frac{-3}{5}+\frac{5}{8}\right):\frac{11}{13}+\left(\frac{3}{8}-\frac{2}{5}\right):\frac{11}{13}$

= $\left(\frac{-3}{5}+\frac{5}{8}+\frac{3}{8}-\frac{2}{5}\right):\frac{11}{13}$

=  $\left[\left(\frac{-3}{5}-\frac{2}{5}\right)+\left(\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\right)\right]:\frac{11}{13}$

= $\left(\frac{-5}{5}+\frac{8}{8}\right):\frac{11}{13}=\left(-1+1\right):\frac{11}{13}$

= $0:\frac{11}{13}=0$ .

Bài 9. Tìm x, biết:

a) $\frac{4}{5}+x=\frac{6}{7}$ ;

b) $5\frac{1}{3}:\left(\frac{5}{4}-x\right)=0,8$ ;

c) $\frac{3}{10}x-2\frac{1}{3}=\frac{-2}{5}:\frac{2}{15}$ .

Hướng dẫn giải

a)  $\frac{4}{5}+x=\frac{6}{7}$                                     

$x=\frac{6}{7}-\frac{4}{5}$

$x=\frac{30}{35}-\frac{28}{35}$

$x=\frac{2}{35}$

Vậy $x=\frac{2}{35}$ .

b) $5\frac{1}{3}:\left(\frac{5}{4}-x\right)=0,8$

$\frac{16}{3}:\left(\frac{5}{4}-x\right)=\frac{4}{5}$                             

$\frac{5}{4}-x=\frac{16}{3}:\frac{4}{5}$

$\frac{5}{4}-x=\frac{16}{3}.\frac{5}{4}$

$\frac{5}{4}-x=\frac{20}{3}$

$x=\frac{5}{4}-\frac{20}{3}$

$x=\frac{15}{12}-\frac{80}{12}$

$x=\frac{-65}{12}$

Vậy $x=\frac{-65}{12}$ .

c) $\frac{3}{10}x-2\frac{1}{3}=\frac{-2}{5}:\frac{2}{15}$                                  

$\frac{3}{10}x-\frac{7}{3}=\frac{-2}{5}.\frac{15}{2}$                              

 $\frac{3}{10}x-\frac{7}{3}=-3$                                             

 $\frac{3}{10}x=-3+\frac{7}{3}$                

$\frac{3}{10}x=\frac{-9}{3}+\frac{7}{3}$                                                                       

$\frac{3}{10}x=\frac{-2}{3}$                                         

$x=\frac{-2}{3}:\frac{3}{10}$ 

$x=\frac{-2}{3}.\frac{10}{3}$                                    

$x=\frac{-20}{9}$                                       

Vậy $x=\frac{-20}{9}$ .

Bài 10. Bảng dưới đây thể hiện nhiệt độ thấp nhất của một số ngày vào tháng 12/2021 tại Moskva (Nga):

(Nguồn: https://weather.com)

Trong những ngày trên, ngày nào là ngày tại Moskva ấm nhất? Lạnh nhất? Tại sao?

Hướng dẫn giải

Ta có: –16 < –14 < –8 < –5 < –3.

Vì nhiệt độ càng thấp thì càng lạnh, nhiệt độ càng cao thì càng ấm.

Do đó, tại Moskva, vào ngày 12/12/2021 sẽ ấm nhất và vào ngày 01/12/2021 sẽ lạnh nhất.

Bài 11. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài bằng 34,6 m, chiều rộng bằng  chiều dài. Tính chu vi và diện tích của khu đất đó.

Hướng dẫn giải

Chiều rộng khu đất hình chữ nhật là:

$\frac{3}{4}.34,6=25,95$ (m)

Chu vi khu đất hình chữ nhật là:

(34,6 + 25,95). 2 = 121,1 (m)

Diện tích khu đất hình chữ nhật là:

34,6 . 25,95 = 897,87 (m²).

Vậy chu vi và diện tích của khu đất lần lượt là 121,1 m và  897,87 m²

Bài 12. Một đội công nhân ngày thứ nhất sửa được $\frac{2}{15}$ quãng đường, ngày thứ hai sửa được $\frac{3}{20}$ quãng đường, ngày thứ ba sửa được $\frac{3}{10}$ quãng đường. Hỏi đội công nhân còn phải sửa bao nhiêu phần của quãng đường nữa?

Hướng dẫn giải

Đội công nhân đã sửa được số phần quãng đường là:

$\frac{2}{15}+\frac{3}{20}+\frac{3}{10}=\frac{8+12+18}{60}=\frac{38}{60}=\frac{19}{30}$ (quãng đường)

Đội công nhân còn phải sửa số phần quãng đường là:

$1-\frac{19}{30}=\frac{11}{30}$ (quãng đường)

Vậy đội công nhân còn phải sửa$\frac{11}{30}$quãng đường.

Bài 13. Một cửa hàng có 45 tạ gạo. Ngày thứ nhất bán được $\frac{3}{4}$ số gạo, ngày thứ hai bán được $\frac{4}{5}$ số gạo còn lại. Hỏi sau hai ngày cửa hàng còn lại bao nhiêu tạ gạo?

Hướng dẫn giải

Ngày thứ nhất cửa hàng bán được số gạo là:

$\frac{3}{4}.45=33,75$ (tạ)

Sau ngày thứ nhất cửa hàng còn lại số gạo là:

45 – 33,75 = 11,25 (tạ)

Ngày thứ hai cửa hàng bán được số gạo là:

$\frac{4}{5}.11,25=9$ (tạ)

Sau hai ngày cửa hàng còn lại số gạo là:

11,25 – 9 = 2,25 (tạ)

Vậy sau hai ngày cửa hàng còn lại 2,25 tạ.

Bài 14. Diện tích của các đại dương được cho trong bảng sau:

Đại dương nào có diện tích nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

+) 16,525.10⁷ = 165,25.10⁶.

+) 219,6.10⁵ = 21,96.10⁶.

Vì 14,09 < 21,96 < 75 < 106,46 < 165,25.

Suy ra 14,09.10⁶ < 21,96.10⁶ < 75.10⁶ < 106,46.10⁶ < 165,25.10⁶.

Khi sắp xếp tên các đại dương theo độ lớn của diện tích từ nhỏ đến lớn, ta được: Bắc Băng Dương, Nam Băng Dương, Ấn Độ Dương, Đại Tây Dương, Thái Bình Dương.

Vậy Bắc Băng Dương có diện tích nhỏ nhất.

Bài 15. Bác An mua 4 món hàng trong một cửa hàng:

+ Món thứ nhất: giá niêm yết là 250 000 đồng và giảm giá 5%.

+ Món thứ hai: giá niêm yết là 125 000 đồng và giảm giá 8%.

+ Món thứ ba: giá niêm yết là 50 000 đồng và giảm giá 15%.

+ Món thứ tư: giá niêm yết là 85 000 đồng và được giảm 20%.

Bác An đã đưa cho thu ngân 500 000 đồng. Hỏi bác An được trả lại bao nhiêu tiền?

Hướng dẫn giải:

Số tiền bác An phải trả khi mua món thứ nhất được giảm giá 5% là:

250 000.(100% – 5%) = 250 000.95%

= $250000.\frac{95}{100}=$ 237 500 (đồng).

Số tiền bác An phải trả khi mua món thứ hai được giảm giá 8% là:

125 000.(100% – 8%) = 123 000.92%

=$125000.\frac{92}{100}=$115 000 (đồng).

Số tiền bác An phải trả khi mua món thứ ba được giảm giá 15% là:

50 000.(100% – 15%) = 50 000.85%

= $50000.\frac{85}{100}$ = 42 500 (đồng).

Số tiền bác An phải trả khi mua món thứ ba được giảm giá 20% là:

85 000.(100% – 20%) = 85 000.80%

= $85000.\frac{80}{100}$ = 68 000 (đồng).

Tổng số tiền bác An phải trả khi mua bốn món hàng là:

237 500 + 115 000 + 42 500 + 68 000 = 463 000 (đồng).

Số tiền bác An được thu ngân trả lại là:

500 000 – 463 000 = 37 000 (đồng).

Vậy bác An được thu ngân trả lại 37 000 đồng.

B. Lý thuyết Chương 1: Số hữu tỉ

1. Số hữu tỉ

– Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với a, b ∈ ℤ, b ¹ 0.

– Các phân số bằng nhau biểu diễn cùng một số hữu tỉ.

– Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là ℚ.

Ví dụ:

• Các số $\frac{4}{5};\frac{-9}{10};\frac{3}{-8}$ là các số hữu tỉ.

• Các số 5; −3,4; 3$\frac{2}{5}$ là các số hữu tỉ vì:

5 = $\frac{5}{1}$ = $\frac{10}{2}$ = …;

−3,4 = $\frac{-34}{10}$ = $\frac{-17}{5}$ = …;

3$\frac{2}{5}$= $\frac{17}{5}$ = $\frac{34}{10}$ = …

– Chú ý: Mỗi số nguyên là một số hữu tỉ.

2. Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ

– Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có: hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y.

– Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương.

Số hữu tỉ bé hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm.

Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

Ví dụ: So sánh các cặp số hữu tỉ sau:

a) −0,8 và $\frac{-1}{5};$

b) −8$\frac{2}{3}$ và 0.

Hướng dẫn giải

a) −0,8 và $\frac{-1}{5}$

Ta có −0,8 = $\frac{-8}{10}$ và  $\frac{-1}{5}=\frac{-2}{10}$.

Vì −8 < −2 và 10 > 0 nên $\frac{-8}{10}<\frac{-2}{10}$.

Vậy – 0,8 < $\frac{-1}{5}$.

b) −8$\frac{2}{3}$ và 0

Ta có −8$\frac{2}{3}$= $\frac{-26}{3}$ và 0 = $\frac{0}{3}$.

Vì −26 < 0 và 3 > 0 nên  $\frac{-26}{3}<\frac{0}{3}$.

Vậy −8$\frac{2}{3}$ < 0.

Chú ý: Số hữu tỉ dương luôn luôn lớn hơn số hữu tỉ âm.

Ví dụ: Hãy sắp xếp các số hữu tỉ sau đây theo thứ tự tăng dần: $\frac{1}{5},\frac{-\text{ 2}}{5},\frac{3}{7},\frac{-\text{ 1}}{3},0.$

Hướng dẫn giải

• Ta so sánh $\frac{-2}{5};$ $\frac{-1}{3}$và 0.

Có:  $\frac{-\text{2}}{5}\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{-\text{6}}{15};$ $\frac{-\text{1}}{3}\text{ = }\frac{-\text{5}}{15}$ và $0=\frac{0}{15}.$

Vì –6 < –5 < 0 nên $\frac{-\text{6}}{15}<\frac{-\text{5}}{15}\text{ <\hspace{0.17em}}\frac{0}{15}.$

Do đó $\frac{-\text{2}}{5}<\frac{-\text{1}}{3}<0.$         (1)

• Ta so sánh $\frac{1}{5}$ với $\frac{3}{7}.$

Có: $\frac{1}{5}\text{ = }\frac{7}{35}$ và $\frac{3}{7}\text{ = }\frac{15}{35}.$

Vì 7 < 15 nên $\frac{7}{35}\text{ < }\frac{15}{35}.$

Do đó $\frac{1}{5}<\frac{3}{7}.$         (2)

Lại có số hữu tỉ dương luôn lớn hơn số hữu tỉ âm.  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\frac{-\text{2}}{5}<\frac{-\text{1}}{3}<0<\frac{1}{5}<\frac{3}{7}.$

 

Vậy sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần là: $\frac{-\text{ 2}}{5}\text{; }\frac{-\text{ 1}}{3}\text{; 0; }\frac{1}{5}\text{; }\frac{3}{7}$ .

3. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

– Trên trục số, mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một điểm. Điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.

– Với hai số hữu tỉ bất kì x, y, nếu x < y thì trên trục số nằm ngang, điểm x ở bên trái điểm y.

Ví dụ:

+ Để biểu diễn số hữu tỉ $\frac{5}{4}$ ta làm như sau:

• Chia đoạn thẳng đơn vị thành bốn phần bằng nhau, ta được đoạn thẳng mới bằng $\frac{1}{4}$ đơn vị cũ.

• Số hữu tỉ $\frac{5}{4}$ được biểu diễn bởi điểm A nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 5 đơn vị mới như trong hình dưới.

+ Để biểu diễn số hữu tỉ $\frac{4}{-3}$ trên trục số ta làm như sau:

• Viết $\frac{2}{-3}$ dưới dạng phân số với mẫu số dương $\frac{2}{-3}=\frac{-2}{3}.$

• Chia đoạn thẳng đơn vị thành ba phần bằng nhau, ta được đoạn đơn vị mới bằng $\frac{1}{3}$ đơn vị cũ.

• Số hữu tỉ $\frac{2}{-3}$ được biểu diễn bởi điểm B nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 2 đơn vị mới như hình dưới.

4. Số đối của một số hữu tỉ

– Hai số hữu tỉ có điểm biểu diễn trên trục số cách đều và nằm về hai phía điểm gốc O là hai số đối nhau, số này gọi là số đối của số kia.

– Số đối của số hữu tỉ x kí hiệu là −x.

Ví dụ:

$\frac{-5}{8}$ là số đối của $\frac{5}{8}$$;\frac{5}{8}$ là số đối của $\frac{-5}{8}$

0,123 là số đối của −0,123; −0,123 là số đối của 0,123.

Số đối của $1\frac{1}{2}$  (có $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$) là $\frac{-3}{2}$ và ta viết là $-1\frac{1}{2}$ .

Chú ý:

– Mọi số hữu tỉ đều có một số đối.

– Số đối của số 0 là số 0.

– Với hai số hữu tỉ âm, số nào có số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.

Ví dụ: Tìm số đối của mỗi số sau: $\frac{12}{19};\frac{-1}{6};$  –2,22; 0; $2\frac{3}{4}.$

Hướng dẫn giải

Số đối của số $\frac{12}{19}$  là số $-\frac{12}{19}$

Số đối của số $\frac{-1}{6}$ là số $\frac{1}{6}$

Số đối của số –2,22 là số 2,22.

Số đối của số 0 là số 0.

Số đối của số $2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$là số $\frac{-11}{4}$ta viết là $-2\frac{3}{4}.$

5. Cộng, trừ hai số hữu tỉ

Để cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y, ta có thể viết chúng dưới dạng hai phân số rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.

Ví dụ: Tính:

a) 0,3 + $\frac{2}{-3}$ ;

b)  $2\frac{5}{6}$ − (−4).

Hướng dẫn giải

a) 0,3 + $\frac{2}{-3}$ = $\frac{3}{10}$ + $\left(\frac{-2}{3}\right)$

$\frac{9}{30}+\frac{-20}{30}=\frac{9+\left(-20\right)}{30}=\frac{-11}{30}$

b)  $2\frac{5}{6}$  − (−4) = $\frac{17}{6}+\frac{4}{1}$

$\frac{17}{6}+\frac{24}{6}=\frac{17+24}{6}=\frac{41}{6}$ .

6. Tính chất của phép cộng số hữu tỉ

Phép cộng số hữu tỉ cũng có các tính chất như phép cộng số nguyên: giao hoán, kết hợp và cộng với số 0.

Ví dụ: Tính một cách hợp lí:

$\frac{-3}{10}+0,125+\frac{-7}{10}+0,875+\frac{4}{5}$

Hướng dẫn giải

Ta có:  $\frac{-3}{10}+0,125+\frac{-7}{10}+0,875+\frac{4}{5}$

= $\frac{-3}{10}+\frac{-7}{10}+0,125+0,875+\frac{4}{5}$          (tính chất giao hoán)

= $(\frac{-3}{10}+\frac{-7}{10})+(0,125+0,875)+\frac{4}{5}$ (tính chất kết hợp)

= − 1 + 1 + $\frac{4}{5}$  

= 0 + $\frac{4}{5}$  = $\frac{4}{5}$                    (cộng với số 0)

7. Nhân hai số hữu tỉ

Cho x, y là hai số hữu tỉ: x = $\frac{a}{b}$ , y = $\frac{c}{d}$ , ta có x . y = $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}$ = $\frac{a.c}{b.d}$ .

Ví dụ 1: Tính:

a) $2\frac{3}{8}$.$\frac{-3}{5};$ 

b) 5,75 .$\frac{9}{10}.$

Hướng dẫn giải

a) $2\frac{3}{8}.\left(\frac{-3}{5}\right)=\frac{19}{8}.\frac{-3}{5}$  

$=\frac{19.\left(-3\right)}{8.5}=\frac{-57}{40}$

b) $5,75.\frac{9}{10}=\frac{575}{100}.\frac{9}{10}$

$=\frac{575:25}{100:25}.\frac{9}{10}=\frac{23}{4}.\frac{9}{10}$  

$=\frac{23.9}{4.10}=\frac{207}{40}$

Ví dụ 2: Một mảnh vườn hình bình hành có đường cao bằng 24,8 m, độ dài đáy bằng $\frac{3}{2}$ chiều cao. Tính diện tích mảnh vườn đó.

Hướng dẫn giải

Độ dài đáy mảnh vườn hình bình hành là:

$\frac{3}{2}$. 24,8  = 37,2 (m).

Diện tích mảnh vườn hình bình hành là:

37,2 . 24,8 = 922,56 (m²).

Vậy diện tích mảnh vườn hình bình hành là 922,56 m².

8. Tính chất của phép nhân số hữu tỉ

Phép nhân số hữu tỉ cũng có các tính chất như phép nhân số nguyên: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Ví dụ: Tính một cách hợp lí:

a) A = $\left(\frac{9}{-8}\right).\frac{4}{15}\left(\frac{-8}{9}\right).3$

b) B = $\left(\frac{-8}{3}\right).\frac{2}{11}-\frac{2}{11}.\frac{5}{3}.$

Hướng dẫn giải

a) A = $\left(\frac{9}{-8}\right).\frac{4}{15}\left(\frac{-8}{9}\right).3$

= $\left(\frac{9}{-8}\right).\left(\frac{-8}{9}\right).\frac{4}{15}. 3$      (tính chất giao hoán)

=$(\frac{9}{-8}.\frac{-8}{9}).\frac{4}{15}. 3$       (tính chất kết hợp)

= 1. $\frac{4}{5}$  = $\frac{4}{5}$ .                    (nhân với số 1)

b) B = $\left(\frac{-8}{3}\right).\frac{2}{11}-\frac{2}{11}.\frac{5}{3}.$

= $\frac{2}{11}.(\frac{-8}{3}-\frac{5}{3})$ . (phân phối của phép nhân đối với phép cộng)

= $\frac{2}{11}.\frac{-8-5}{3}$ .

= $\frac{2}{11}.\frac{-13}{3}$ .

= $\frac{2.(-13)}{11.3}$

= $\frac{-26}{33}$.

9. Chia hai số hữu tỉ

Cho x, y là hai số hữu tỉ: x = $\frac{a}{b}$ , y = $\frac{c}{d}$ (y ≠ 0), ta có x : y = $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$

Ví dụ: Tính:

a) $\left(\frac{-12}{5}\right):(-6,5)$

b) $5\frac{1}{2}:\left(\frac{-2}{3}\right).$

Hướng dẫn giải

a) $\left(\frac{-12}{5}\right):(-6,5)=\left(\frac{-12}{5}\right):\left(\frac{-65}{10}\right)$

$=\frac{-12}{5}:\frac{-13}{2}=\frac{-12}{5}.\frac{2}{-13}$

= $\frac{\left(-12\right).2}{5.\left(-13\right)}=\frac{24}{65}$.

b) $5\frac{1}{2}:\left(\frac{-2}{3}\right)$  

=$\frac{11}{2}:\left(\frac{-2}{3}\right)=\frac{11}{2}.\left(\frac{3}{-2}\right)$

= $\frac{11.3}{2.\left(-2\right)}=\frac{33}{-4}=\frac{-33}{4}$.

Chú ý:

Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y ≠ 0) gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu là $\frac{x}{y}$ hay x : y.

10. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

– Luỹ thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xⁿ , là tích của n thừa số x.

xⁿ =  (x ∈ ℚ, n ∈ ℕ, n >1).

– Ta đọc xⁿ là “x mũ n” hoặc “x luỹ thừa n” hoặc “luỹ thừa bậc n của x”.

– Số x được gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

– Quy ước:

• x¹ = x;

• x⁰ = 1 (x ≠ 0).

Ví dụ: Viết các luỹ thừa sau dưới dạng tích các số:

a) ${\left(\frac{-3}{4}\right)}^2;$

b) (0,8)⁴.

Hướng dẫn giải

a) ${\left(\frac{-3}{4}\right)}^2$ = $\left(\frac{-3}{4}\right).\left(\frac{-3}{4}\right);$                        

b) (0,8)⁴ = 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8.

– Chú ý:

Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng $\frac{a}{b}$ (a, b ∈ ℤ, b ≠ 0) ta có:

 ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\underset{nthuaso}{\underbrace{\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\mathrm{...}.\frac{a}{b}}}=\underset{nthuaso}{\underbrace{\stackrel{nthuaso}{\overbrace{\frac{a.a.\mathrm{...}.a}{b.b.\mathrm{...}.b}}}}}=\frac{a^n}{b^n}$

Vậy ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}.$

Ví dụ: Tính:

a) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3$ ;

b) (−0,125)².

Hướng dẫn giải

a) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{1^3}{4^3}=\frac{1}{64}$ ;                            

b) ${\left(-0,125\right)}^2={\left(\frac{-1}{8}\right)}^2=\frac{{(-1)}^2}{8^2}=\frac{1}{64}$ .

11. Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số

– Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.

x^m . xⁿ = x^m+n

– Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của luỹ thừa bị chia trừ đi số mũ của luỹ thừa chia.

x^m : xⁿ = x^{m – n}  (x ¹ 0, m ³ n)

Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ:

a) (−4,1)⁵ : (−4,1)³;         

b) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^3.{\left(\frac{3}{5}\right)}^4.$

Hướng dẫn giải

a) (−4,1)⁵ : (−4,1)³ = (−4,1)^{5 – 3} = (−4,1)² ;

b) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^3.{\left(\frac{3}{5}\right)}^4={\left(\frac{3}{5}\right)}^{3+4}={\left(\frac{3}{5}\right)}^7$ .

12. Luỹ thừa của luỹ thừa

– Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

(x^m )ⁿ = x^m.n

Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ:

a) ${\left[{\left(-\frac{1}{5}\right)}^2\right]}^3;$

b) ${\left[{\left(0,9\right)}^2\right]}^4.$

Hướng dẫn giải

a) ${\left[{\left(-\frac{1}{5}\right)}^2\right]}^3={\left(-\frac{1}{5}\right)}^{2.3}={\left(-\frac{1}{5}\right)}^6$ ;

b) ${\left[{\left(0,9\right)}^2\right]}^4={\left(0,9\right)}^{2.4}={\left(0,9\right)}^8$ .

13. Quy tắc dấu ngoặc

– Khi bỏ dấu ngoặc, nếu đằng trước dấu ngoặc:

• Có dấu “+”, thì vẫn giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc.

x + (y + z – t) = x + y + z – t

• Có dấu “−”, thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc.

x – (y + z – t) = x – y – z + t

Ví dụ: Tính

a) $3\frac{1}{4}+\left(0,4-\frac{1}{4}\right)$ ;

b) $\left(0,5+1\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{4}\right).$

Hướng dẫn giải

a) $3\frac{1}{4}+\left(0,4-\frac{1}{4}\right)$

=  $\frac{13}{4}+\left(\frac{4}{10}-\frac{1}{4}\right)$

=  $\frac{13}{4}+\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{4}\right)$

=  $\frac{13}{4}+\frac{2}{5}-\frac{1}{4}$

= $\frac{13}{4}-\frac{1}{4}+\frac{2}{5}$

 = $=\frac{12}{4}+\frac{2}{5}=3+\frac{2}{5}$  

= $\frac{15}{5}+\frac{2}{5}=\frac{17}{5}$ .

b) $\left(0,5+1\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{4}\right).$

= $\left(\frac{1}{2}+\frac{4}{3}\right)-\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{4}\right)$  

= $\frac{1}{2}+\frac{4}{3}-\frac{4}{3}-\frac{1}{4}$  

= $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$

= $\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ .

14. Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.

Với mọi x, y, z ∈ ℚ:        Nếu x + y = z thì x = z – y.

Ví dụ: Tìm x, biết:

a) $x+3,5=\frac{31}{2}$ ;                                 

b) $\left(\frac{-3}{4}\right)+x=\frac{5}{6}$ .

Hướng dẫn giải

a) $x+3,5=\frac{31}{2}$

$x=\frac{31}{2}-3,5$

$x=\frac{31}{2}-\frac{7}{2}$

$x=\frac{24}{2}$

$x=12$

Vậy $x=12$ .

b) $\left(\frac{-3}{4}\right)+x=\frac{5}{6}$

$x=\frac{5}{6}-\left(\frac{-3}{4}\right)$

$x=\frac{10}{12}+\frac{9}{12}$

$x=\frac{19}{12}$

Vậy .

15. Thứ tự thực hiện các phép tính

– Thứ tự thực hiện các phép tính trong một biểu thức đối với biểu thức không có dấu ngoặc:

• Nếu biểu thức chỉ có phép cộng, trừ hoặc chỉ có phép nhân, chia, ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

• Nếu biểu thức có các phép cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa, ta thực hiện:

Luỹ thừa → Nhân và chia → Cộng và trừ

– Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức có dấu ngoặc:

() → [] → {}

Ví dụ: Tính:

a) $\frac{1}{3}+\frac{7}{4}-\frac{5}{6}:\left(-0,5\right)$ ;

b) $\left\{\left(-3\frac{1}{5}\right)-\left[\left(-\frac{1}{15}\right):{\left(\frac{1}{5}\right)}^2\right]\right\}:\frac{3}{10}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\frac{1}{3}+\frac{7}{4}-\frac{5}{6}:\left(-0,5\right)$

=  $\frac{1}{3}+\frac{7}{4}-\frac{5}{6}:\left(\frac{-1}{2}\right)$

= $\frac{1}{3}+\frac{7}{4}-\frac{5}{6}.\left(\frac{-2}{1}\right)$

= $\frac{1}{3}+\frac{7}{4}-\frac{5.\left(-2\right)}{6.1}$

=  $\frac{1}{3}+\frac{7}{4}-\left(\frac{-5}{3}\right)$  

= $\frac{1}{3}+\frac{7}{4}+\frac{5}{3}$

= $\frac{1}{3}+\frac{5}{3}+\frac{7}{4}$

= $\frac{6}{3}+\frac{7}{4}=2+\frac{7}{4}$

= $\frac{8}{4}+\frac{7}{4}=\frac{15}{4}$.

b) $\left\{\left(-3\frac{1}{5}\right)-\left[\left(-\frac{1}{15}\right):{\left(\frac{1}{5}\right)}^2\right]\right\}:\frac{3}{10}$

= $\left\{\frac{-16}{5}-\left[\frac{-1}{15}:\frac{1^2}{5^2}\right]\right\}.\frac{10}{3}$

= $\left\{\frac{-16}{5}-\left[\frac{-1}{15}:\frac{1}{25}\right]\right\}.\frac{10}{3}$

= $\left\{\frac{-16}{5}-\left[\frac{-1}{15}.\frac{25}{1}\right]\right\}.\frac{10}{3}$

= $\left\{\frac{-16}{5}-\frac{-25}{15}\right\}.\frac{10}{3}$

= $\left\{\frac{-16}{5}+\frac{25}{15}\right\}.\frac{10}{3}$

= $\left\{\frac{-48}{15}+\frac{25}{15}\right\}.\frac{10}{3}$

= $\frac{-23}{15}.\frac{10}{3}=\frac{-46}{9}$ .