Với giải sách bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 2 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 2

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai điểm A(1; 1; −2) và B(2; 2; 1). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

A. (3; 3; −1).

B. (−1; −1; −3).

C. (3; 1; 1).

D. (1; 1; 3).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{AB}$ = (2 – 1; 2 – 1; 1 – (−2)) = (1; 1; 3).

Bài 2 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 2; −3) và $\overrightarrow{b}$ = (−2; −4; 6). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{b}$ = (−2; −4; 6) = −2(1; 2; −3) = −2$\overrightarrow{a}$.

Vậy $\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{a}$

Bài 3 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai điểm A(2; 0; 1) và B(0; 5; −1). Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ bằng

A. −2.

B. −1.

C. 1.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{OA}$ = (2; 0; 1); $\overrightarrow{OB}$ = (0; 5; −1).

$\overrightarrow{OA}$.$\overrightarrow{OB}$ = 2.0 + 0.5 + 1.(−1) = −1.

Bài 4 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ thỏa mãn $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}-3\overrightarrow{j}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là

A. (2; 1; −3).

B. (2; −3; 1).

C. (1; 2; −3).

D. (1; −3; 2).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}-3\overrightarrow{j}$ = $2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ ⇒ $\overrightarrow{a}$ = (2; −3; 1).

Bài 5 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (−1; 1; 0), $\overrightarrow{b}$= (1; 1; 0) và $\overrightarrow{c}$ = (1; 1; 1). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{a}$ = (−1; 1; 0) ⇒ $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$.

           $\overrightarrow{c}$ = (1; 1; 1) ⇒ $\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$.

        $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = −1.1 + 1.1 + 0.0 = 0 suy ra $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$.

        $\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}$ = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 ≠ 0 do đó $\overrightarrow{c}$ không vuông góc với $\overrightarrow{b}$.

Chọn D.

Bài 6 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (−3; 4; 0) và $\overrightarrow{b}$ = (5; 0; 12). Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: cos$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-3.5+4.0+0.12}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2+0^2}.\sqrt{5^2+0^2+{12}^2}}=-\frac{3}{13}$.

Bài 7 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{u}$ = $\left(-\sqrt{3};0;1\right)$ bằng

A. 30°.

B. 60°.

C. 120°.

D. 150°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{i}$ = (1; 0; 0) và $\overrightarrow{u}$ = $\left(-\sqrt{3};0;1\right)$.

cos$\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u}\right)=\frac{\overrightarrow{i}.\overrightarrow{u}}{\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{1.\left(-\sqrt{3}\right)+0.0+0.1}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}.\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+0^2+1^2}}$ = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇒ $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u}\right)$ = 150°.

Bài 8 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (m; 2; 3) và $\overrightarrow{b}$ = (1; n; 2) cùng phương khi

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (m; 2; 3) và $\overrightarrow{b}$ = (1; n; 2) cùng phương khi $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}m=k.1\\ 2=k.n\\ 3=k.2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=k\\ n=\frac{2}{k}\\ k=\frac{3}{2}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{2}\\ n=\frac{4}{3}\end{array}\right.$

Bài 9 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (2; 1; −2) và $\overrightarrow{b}$ = (0; 2m; −4).

Giá trị của tham số m để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau là

A. m = −4.

B. m = −2.

C. m = 2.

D. m = 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Để hai vectơ vuông góc với nhau khi $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 0 ⇔ 2.0 + 1.2m + (−2).(−4) = 0 ⇔ m = −4.

Bài 10 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai điểm A(2; 3; −1) và B(0; −1; 1). Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A. (1; 1; 0).

B. (2; 2; 0).

C. (−2; −4; 2).

D. (−1; −2; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi I(x; y; z), ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2+0}{2}=1\\ y=\frac{3+\left(-1\right)}{2}=1\\ z=\frac{-1+1}{2}=0\end{array}\right.$ ⇒ I(1; 1; 0).

Bài 11 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 1; −2), $\overrightarrow{b}$ = (−3; 0; −1) và điểm A(0; 2; 1). Tọa độ điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ là

A. M(−5; 1; 2).

B. M(3; −2; 1).

C. M(1; 4; −2).

D. M(5; 4; −2).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: 2$\overrightarrow{a}$ = (2; 2; −4).

$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = (5; 2; −3).

Gọi M(x; y; z), ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x-0=5\\ y-2=2\\ z-1=-3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=4\\ z=-2\end{array}\right.$⇒ M(5; 4; −2).

Bài 12 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm A(3; −1; 1). Hình chiếu vuông góc với điểm A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm

A. M(3; 0; 0).

B. N(0; −1; 1).

C. P(0; −1; 0).

D. Q(0; 0; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oyz) là N(0; −1; 1).

Bài 13 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm M(−3; 2; −1) và điểm M' là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy). Tọa độ điểm M' là

A. (−3; 2; 1).

B. (3; 2; 1).

C. (3; 2; −1).

D. (3; −2; −1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

M' là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) do đó M'(−3; 2; 1).

Bài 14 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1; −1) trên trục Oz có tọa độ là

A. (2; 1; 0).

B. (0; 0; −1).

C. (2; 0; 0).

D. (0; 1; 0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1; −1) trên trục Oz có tọa độ là (0; 0; −1).

Bài 15 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm A(−3; 1; 2) và điểm A' là điểm đối xứng của A qua trục Oy. Tọa độ của điểm A' là

A. (3; −1; −2).

B. (3; −1; 2).

C. (3; 1; −2).

D. (−3; −1; 2).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

A' là điểm đối xứng của A qua trục Oy nên A'(3; 1; −2).

Bài 16 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 2.

Lời giải:

a) S

b) Đ

c) Đ

d) S

Bài 17 trang 79 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai điểm A(3; −2; 4), B(5; 0; 7).

a) $\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$.

b) $\overrightarrow{AB}$ = (8; −2; 11).

c) Điểm B nằm trong mặt phẳng (Oxz).

d) $2\overrightarrow{OB}$ = (10; 0; 14).

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) Đ

d) Đ

a) Ta có: A(3; −2; 4) ⇒ $\overrightarrow{OA}=\left(3;-2;4\right)\Rightarrow \overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (2; 2; 3).

c) Ta có: y_B = 0 do đó điểm B nằm trong mặt phẳng (Oxz).

d) Ta có: B(5; 0; 7) ⇒ $\overrightarrow{OB}$ = (5; 0; 7) ⇒ $2\overrightarrow{OB}$ = (10; 0; 14).

Bài 18 trang 79 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (2; 1; 5) và $\overrightarrow{b}$ = (5; 0; −2).

a) $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{30}$.

b) $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

c) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ = (7; 1; 3).

d) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 1.

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

a) Ta có: $\overrightarrow{a}$ = (2; 1; 5) ⇒ $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2^2+1^2+5^2}=\sqrt{30}$.

b) Để $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng phương thì $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}2=k.5\\ 1=k.0\\ 5=k\left(-2\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{5}\\ k=0\\ k=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$, do đó không có giá trị k thỏa mãn.

Do đó, $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương.

c) Ta có: $\overrightarrow{a}$ = (2; 1; 5) và $\overrightarrow{b}$ = (5; 0; −2) ⇒ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ = (2 + 5; 1 + 0; 5 + (−2)) = (7; 1; 3).

d) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 2.5 + 1.0 + 5.(−2) = 0.

Bài 19 trang 79 SBT Toán 12 Tập 1: Cho một lực $\overrightarrow{F}$ = (4; 6; 9) (đơn vị: N) thực hiện một độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ = (20; 50; 10) (đơn vị: m).

a) Cường độ của lực $\overrightarrow{F}$ là $\sqrt{133}$ N.

b) Độ dài quãng đường dịch chuyển là $10\sqrt{30}$ m.

c) Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ khi thực hiện độ dời $\overrightarrow{d}$ là $10\sqrt{3990}$ J.

d) cos $\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)$= $\frac{470}{10\sqrt{3990}}$

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

a) Cường độ của lực $\overrightarrow{F}=\sqrt{4^2+6^2+9^2}$= $\sqrt{133}$ N.

b) Độ dài quãng đường dịch chuyển là: $\left|\overrightarrow{d}\right|=\sqrt{{20}^2+{50}^2+{10}^2}=10\sqrt{30}$ m.

c) Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ khi thực hiện độ dời $\overrightarrow{d}$ là:

A = $\overrightarrow{F}$.$\overrightarrow{d}$ = 4.20 + 6.50 + 9.10 = 470 (N).

d) Ta có: cos$\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)$ = $\frac{\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}}{\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|}=\frac{4.20+6.50+9.10}{\sqrt{133}.10\sqrt{30}}=\frac{470}{10\sqrt{3990}}$.

Bài 20 trang 79 SBT Toán 12 Tập 1: Hai vật đang chuyển động với vận tốc lần lượt là $\overrightarrow{a}$ = (2; 1; 5) và $\overrightarrow{b}$ = (8; 4; 20).

a) Hai vật đang chuyển động cùng hướng.

b) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 120.

c) cos$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 1.

d) cos$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 0.

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) S

Ta có: $\overrightarrow{b}$ = (8; 4; 20) = 4(2; 1; 5) = $4\overrightarrow{a}$.

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng hướng hay hai vật đang chuyển động cùng hướng.

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 2.8 + 1.4 + 5.20 = 120.

Ta có: cos$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{120}{\sqrt{2^2+1^2+5^2}.\sqrt{8^2+4^2+{20}^2}}=1$.

B. Tự luận

Bài 1 trang 79 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (0; 1; 3) và $\overrightarrow{b}$ = (−2; 3; 1). Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{x}$ thỏa mãn $2\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{b}$

Lời giải:

Ta có: $3\overrightarrow{a}$ = (0; 3; 9), $4\overrightarrow{b}$ = (−8; 12; 4).

$2\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{b}$ ⇔ $2\overrightarrow{x}=4\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}=(-8;9;-5)$.

⇒ $\overrightarrow{x}$ = $\left(-4;\frac{9}{2};-\frac{5}{2}\right)$

Bài 2 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 0; −2), $\overrightarrow{b}$ = (−2; 1; 3) và $\overrightarrow{c}$ = (−4; 3; 5). Tìm hai số thực m, n sao cho $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$

Lời giải:

Ta có: $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$ = (m – 2n; n; −2m + 3n).

Để $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}m-2n=-4\\ n=3\\ -2m+3n=5\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}n=3\\ m=2\end{array}\right.$.

Vậy n = 3 và m = 2.

Bài 3 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (2; m + 1; −1) và $\overrightarrow{b}$ = (1; −3; 2). Tìm giá trị nguyên của m để $\left|\overrightarrow{b}\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\right|=4$

Lời giải:

Ta có: $2\overrightarrow{a}$ = (4; 2m + 2; −2) nên $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = (3; 2m + 5; −4).

            $\overrightarrow{b}\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$ = 3.1 + (2m + 5).(−3) + 2.(−4) = −6m – 20.

Theo đề, ta có: $\left|\overrightarrow{b}\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\right|=4$ ⇒ $\left|-6m-20\right|=4$ ⇒$\left[\begin{array}{l}-6m-20=4\\ -6m-20=-4\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m=-4\\ m=-\frac{8}{3}\end{array}\right.$.

Do m ∈ ℤ nên m = −4.

Bài 4 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (m; −2; m + 1) và $\overrightarrow{v}$ = (0; m – 2; 1). Tìm giá trị của m, để hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương.

Lời giải:

Để hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương thì $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$.

Suy ra, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}m=k.0\\ -2=k\left(m-2\right)\\ m+1=k.1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=0\\ k=0\end{array}\right.$.

Vậy m = 0.

Bài 5 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(2; −1; 3), B(−10; 5; 3) và M(2m – 1; 2; n + 2). Tìm m, n để A, B, M thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (−12; 6; 0), $\overrightarrow{AM}$ = (2m – 3; 3; n – 1).

Để A, B, M thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AM}$.

Suy ra, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}-12=k\left(2m-3\right)\\ 6=k.3\\ 0=k\left(n-1\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k=2\\ m=-\frac{3}{2}\\ n=2\end{array}\right.$.

Vậy n = 2, m = $-\frac{3}{2}$

Bài 6 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{a}\right|=2\sqrt{3}$, $\left|\overrightarrow{b}\right|$ = 3 và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 30°. Tính độ dài của vectơ $3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=2\sqrt{3}\mathrm{.3.}\cos 30°=9$.

Có: $\left|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^2-12\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^2}=\sqrt{9.12-12.9+4.9}=6$

Bài 7 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (2; −1; 2), $\overrightarrow{v}$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{v}\right|$ = 1 và $\left|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right|$ = 4. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

Lời giải:

Ta có: $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}=3$.

Theo đề, $\left|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right|$ = 4 ⇔ ${\left|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right|}^2={\overrightarrow{u}}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2$ ⇒ $2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}={\overrightarrow{u}}^2+{\overrightarrow{v}}^2-{\left|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right|}^2=-6$.

Khi đó, ${\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|}^2={\overrightarrow{u}}^2+{\overrightarrow{v}}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=9+1-6=4$.

Vậy $\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{4}=2$.

Bài 8 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{u}\right|$ = 2, $\left|\overrightarrow{v}\right|$ = 1 và $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ = 60°. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$

Lời giải:

Vẽ tam giác đều ABC và M là trung điểm BC.

Ta chọn $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}$ thỏa mãn giá thiết bài toán.

Suy ra $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA}$.

Khi đó, $\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)=\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{MA}\right)$ = 90°.

Bài 9 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(−3; 4; 2), B(−5; 6; 2) và C(−4; 7; −1). Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (−2; 2; 0), $\overrightarrow{AC}$ = (−1; 3; −3).

Gọi D(x; y; z).

Theo giả thiết, ta có:

$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x+3=-7\\ y-4=13\\ z-2=-9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-10\\ y=17\\ z=-7\end{array}\right.$.

Vậy D(−10; 17; −7).

Bài 10 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho các điểm A, B, C có tọa độ thỏa mãn $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{i}+8\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ ⇒ $\overrightarrow{OA}$ = (1; 1; 1) ⇒ A(1; 1; 1).

           $\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$⇒ $\overrightarrow{OB}$ = (5; 1; −1) ⇒ B(5; 1; −1).

           $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{i}+8\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$ ⇒ $\overrightarrow{BC}$ = (2; 8; 3).

Gọi C(x; y; z), ta có: $\left\{\begin{array}{l}x-5=2\\ y-1=8\\ z-\left(-1\right)=3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=7\\ y=9\\ z=2\end{array}\right.$ ⇒ C(7; 9; 2).

Gọi D(a; b; c). Vì ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ ⇒ $\left\{\begin{array}{l}a-1=2\\ b-1=8\\ c-1=3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=8\\ c=4\end{array}\right.$.

Vậy D(3; 9; 4).

Bài 11 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho tam giác ABC có A(0; 0; 1), B(−1; −2; 0), C(2; 1; −1). Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ A xuống BC.

Lời giải:

Gọi H(x; y; z).

Ta có: $\overrightarrow{AH}$ = (x; y; z – 1), $\overrightarrow{BC}$ = (3; 3; −1), $\overrightarrow{BH}$ = (x + 1; y + 2; z).

H là chân đường cao hạ từ A xuống BC ⇔ $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BH}\text{ cuøng phöông}\end{array}\right.$.

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x.3+y.3+\left(z-1\right).\left(-1\right)=0\\ \frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{-1}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{19}\\ y=-\frac{14}{19}\\ z=-\frac{8}{19}\end{array}\right.$.

Vậy H $\left(\frac{5}{19};-\frac{14}{19};-\frac{8}{19}\right)$

Bài 12 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho sáu điểm A(1; 2; 3), B(2; −1; 1), C(3; 3; −3) và A', B', C' thỏa mãn

$\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{B^{\text{'}}B}+\overrightarrow{C^{\text{'}}C}=\overrightarrow{0}$. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác A'B'C'.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{B^{\text{'}}B}+\overrightarrow{C^{\text{'}}C}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{A^{\text{'}}G}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{B^{\text{'}}G}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}G}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}G}+\overrightarrow{B^{\text{'}}G}+\overrightarrow{C^{\text{'}}G}\right)+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi G(x; y; z), ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1+2+3}{3}=2\\ y=\frac{2+\left(-1\right)+3}{3}=\frac{4}{3}\\ z=\frac{3+1+\left(-3\right)}{3}=\frac{1}{3}\end{array}\right.$ ⇒ G$\left(2;\frac{4}{3};\frac{1}{3}\right)$

Bài 13 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho tam giác ABC có đỉnh C(−2; 2; 2) và trọng tâm G(−1; 1; 2). Tìm tọa độ các đỉnh A, B của tam giác ABC, biết điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy) và điểm B thuộc Oz.

Lời giải:

Gọi A(x_A; y_A; 0) ∈ (Oxy) và B(0; 0; z_B) ∈ Oz.

Vì G(−1; 1; 2) là trọng tâm tam giác ABC nên

$\left\{\begin{array}{l}-1=\frac{x_A+0+\left(-2\right)}{3}\\ 1=\frac{y_A+0+2}{3}\\ 2=\frac{0+z_B+2}{3}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_A=-1\\ y_A=1\\ z_B=4.\end{array}\right.$

Vậy A(−1; 1; 0), B(0; 0; 4).

Bài 14 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1) và C(−10; 5; 30). Đường phân giác trong của góc B của tam giác ABC cắt BC tại D. Tính BD.

Lời giải:

Gọi D là chân đường phân giác trong của góc B.

Ta có: $\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{3}{15}$ ⇒ $\overrightarrow{DA}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{DC}$ ⇒ D(0; 0; 3).

Khi đó, $\overrightarrow{BD}$ = (−4; 0; 2) ⇒ BD = $\sqrt{{\left(-4\right)}^2+0^2+2^2}$ = $2\sqrt{5}$.

Vậy BD = $2\sqrt{5}$

Bài 15 trang 81 SBT Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(1; 1;1 ), B(−1; 1; 0) và C(3; 1; −1). Gọi M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxz) và cách đều ba điểm A, B, C. Tính tổng a + b + c.

Lời giải:

Vì M(a; b; c) ∈ (Oxz) nên b = 0.

M cách đều ba điểm A, B, C ⇔ $\left\{\begin{array}{l}MA=MB\\ MA=MC\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}M{A}^2=M{B}^2\\ M{A}^2=M{C}^2\end{array}\right.$.

⇔ $\left\{\begin{array}{l}{\left(1-a\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2+{\left(1-c\right)}^2={\left(-1-a\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2+{\left(0-c\right)}^2\\ {\left(1-a\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2+{\left(1-c\right)}^2={\left(3-a\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2+{\left(-1-c\right)}^2\end{array}\right.$

⇔$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{5}{6}\\ c=-\frac{7}{6}\end{array}\right.$.

Suy ra a + b + c = $\frac{5}{6}+\left(-\frac{7}{6}\right)+0$ = $-\frac{1}{3}$

Bài 16 trang 81 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz được thiết lập tại một sân bay, người ta ghi nhận hai máy bay đang bay đến với các vectơ vận tốc $\overrightarrow{u}$ = (90; −80; −120), $\overrightarrow{v}$ = (60; −50; −60).

Tính góc giữa hai vectơ vận tốc nói trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ).

Lời giải:

Ta có: cos$\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{90.60+\left(-80\right).\left(-50\right)+\left(-120\right).\left(-60\right)}{\sqrt{{90}^2+{\left(-80\right)}^2+{\left(-120\right)}^2}.\sqrt{{60}^2+{\left(-50\right)}^2+{\left(-60\right)}^2}}$ ≈ 0,991.

Vậy $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ ≈ 7,5°.

Bài 17 trang 81 SBT Toán 12 Tập 1: Để nghiên cứu mô hình mạng tinh thể than chì, một nhà hóa học đã thiết lập một hệ tọa độ Oxyz như Hình 2 (đơn vị: nm). Cho biết ABCDEF có dạng lục giác đều.

Tìm tọa độ các điểm A, B, C, E, A'.

Lời giải:

Ta có: AH = $\frac{3}{2}AB=0,213$ (nm).

           $CH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}$ ≈ 0,123 (nm).

           AE = $AB\sqrt{3}$ ≈ 0,246 (nm).

Suy ra A(0; 0; 0), B(0,142; 0; 0), C(0,213; 0,213; 0), E(0; 0,246; 0), A'(0; 0; 0,340).

Bài 18 trang 81 SBT Toán 12 Tập 1: Một robot cắt dây đã di chuyển một lực $\overrightarrow{P}$ = (0; 0; −150) (đơn vị: N) theo độ dời $\overrightarrow{d}$ = (0; −8; −10) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{P}$ khi thực hiện độ dời nói trên.

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\overrightarrow{P}$ khi thực hiện độ dời $\overrightarrow{d}$ là:

A = $\overrightarrow{P}$.$\overrightarrow{d}$ = 0.0 + 0.(−8) + (−10).(−150) = 1500 (J).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Nguyên hàm