Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chương 5: Đường tròn sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Chương 5: Đường tròn

A. Lý thuyết Toán 9 Chương 5: Đường tròn

1. Khái niệm đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm tất cả các điểm cách điểm O một khoảng bằng R, kí hiệu (O; R).

Chú ý:

• Khi không cần chú ý đến bán kính, đường tròn (O; R) còn được kí hiệu là (O).

• Cho đường tròn (O; R) và điểm M. Khi đó:

+ Nếu OM = R thì điểm M nằm trên đường tròn hay M thuộc đường tròn.

+ Nếu OM < R thì điểm M nằm trong đường tròn.

+ Nếu OM > R thì điểm M nằm ngoài đường tròn.

2. Tính đối xứng của đường tròn

• Nếu điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta nói hai điểm A và B đối xứng nhau qua O.

• Nếu đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì ta nói hai điểm A và B đối xứng nhau qua d.

• Cho điểm A thuộc đường tròn (O). Ta thấy điểm đối xứng với A qua O cũng thuộc (O); điểm đối xứng với A qua đường thẳng d đi qua O cũng thuộc (O). Khi đó ta nói O là tâm đối xứng của (O), d là trục đối xứng của (O).

• Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm đối xứng là tâm của đường tròn.

• Đường tròn là hình có trục đối xứng. Mọi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn đều là trục đối xứng của nó.

3. Đường kính và dây cung của đường tròn

• Cho hai điểm M, N cùng thuộc một đường tròn. Đoạn thẳng MN gọi là dây cung hoặc dây. Đường kính là một dây đi qua tâm.

• Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.

4. Vị trí tương đối của hai đường tròn

• Hai đường tròn không có điểm chung gọi là hai đường tròn không giao nhau. Hai đường tròn không giao nhau có thể ở ngoài nhau hoặc đường tròn này đựng đường tròn kia.

• Hai đường tròn chỉ có một điểm chung gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm. Hai đường tròn tiếp xúc có thể tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong.

• Hai đường tròn có đúng hai điểm chung gọi là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung gọi là hai giao điểm. Đoạn thẳng nối hai điểm chung được gọi là dây chung.

• Cho hai đường tròn phân biệt (O; R) và $\left(O^{\text{'}};R^{\text{'}}\right)$ với $R\ge R^{\text{'}}.$ Ta có:

+ Nếu OO' > R + R'  thì hai đường tròn (O; R) và (O'; R') ở ngoài nhau.

+ Nếu OO' < R - R'  thì đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O'; R')

+ Nếu OO' = R + R'   thì hai đường tròn (O; R) và (O'; R')  tiếp xúc ngoài.

+ Nếu OO' = R - R'   thì hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc trong.

+ Nếu R - R' < OO' < R + R' thì hai đường tròn (O; R) và (O'; R')  cắt nhau.

Chú ý:

• Nếu OO' = 0 thì O trùng với O' Hai đường tròn có tâm trùng nhau gọi là hai đường tròn đồng tâm.

Nhận xét:

• Bảng tóm tắt vị trí tương đối của hai đường tròn phân biệt (O; R) và (O'; R') với $R\ge R^{\text{'}}:$

5. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Định nghĩa

Nếu đường thẳng a và đường tròn (O):

• Không có điểm chung thì ta nói a và (O) không giao nhau.

• Có duy nhất một điểm chung C thì ta nói a tiếp xúc với (O) tại C, khi đó a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và C là tiếp điểm.

• Có hai điểm chung A, B thì ta nói a cắt (O), a là cát tuyến của đường tròn (O) và A, B là hai giao điểm.

Nhận xét: Cho đường tròn (O; R). Gọi d là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a. Ta có kết quả sau:

• Đường thẳng a và đường tròn (O; R) không giao nhau khi d > R.

• Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R) khi d = R.

• Đường thẳng a cắt đường tròn (O; R) khi d < R.

6. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi nó đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

Chú ý: Ta có các tính chất của tiếp tuyến như sau:

• Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

• Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến luôn bằng bán kính của đường tròn đó.

7. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

8. Góc ở tâm

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

9. Cung, số đo cung

Cung:

• Mỗi phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm A, B trên đường tròn gọi là một cung AB, kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AB}.$

Chú ý:

• Trong hình trên, ta nói góc ở tâm $\widehat{AOB}$ chắn cung AnB hay cung AnB bị chắn bởi góc ở tâm $\widehat{AOB}.$

Khi $0°<\widehat{AOB}<180°,$  để phân biệt hai cung có chung các mút là A và B, ta gọi $\stackrel{⏜}{AnB}$  (cung nằm trong góc $\widehat{AOB}$ ) là cung nhỏ và $\stackrel{⏜}{AmB}$  là cung lớn.

• Khi AB là đường kính thì gọi cung AB là cung nửa đường tròn.

• Khi nói “góc ở tâm $\widehat{AOB}$ chắn cung AB” thì ta hiểu là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB.

• Nếu EF là đường kính thì mỗi cung EF là một nửa đường tròn. Góc bẹt $\widehat{\text{EOF}}$ chắn nửa đường tròn.

Số đo cung:

• Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ có chung hai đầu mút với cung lớn.

• Số đo của cung nửa đường tròn bằng 180°.

• Số đo của cung AB được kí hiệu là $sđ\stackrel{⏜}{AB}.$

• Trên đường tròn (O), cho B là một điểm nằm trên cung AC. Ta nói điểm B chia cung AC thành hai cung $\stackrel{⏜}{AB},$$\stackrel{⏜}{BC}.$ Ta có: $sđ\stackrel{⏜}{AC}=sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{BC}.$

 

Chú ý:

• Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180°, cung lớn có số đo lớn hơn 180°. Cung nửa đường tròn có số đo 180°.

• Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có cung không với số đo 0° và cung cả đường tròn có số đo 360°.

• Một cung có số đo n° thường được gọi tắt là cung n°.

• Trong một đường tròn, hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

10. Góc nội tiếp

a) Nhận biết góc nội tiếp:

• Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

b) Số đo góc nội tiếp:

Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Chú ý: Trong một đường tròn:

• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

• Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90° có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

11. Độ dài cung tròn

• Người ta chứng minh được tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn luôn bằng một số không đổi gọi là π (ta thường lấy π ≈ 3,14 hoặc lấy π theo máy tính).

• Độ dài của cung tỉ lệ thuận với số đo của chúng.

• Ta có công thức tính chu vi C của đường tròn là: C = πd = 2πR, trong đó d là đường kính và R là bán kính.

• Trên đường tròn bán kính R, độ dài ℓ của một cung có số đo n° được tính theo công thức: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}.$

12. Hình quạt tròn

• Hình quạt tròn là một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó.

• Diện tích hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung n° được tính theo công thức: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}.$

Chú ý:

• Hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA, OB và cung tròn AmB được gọi là hình quạt tròn OAmB hoặc hình quạt tròn OAB.

• Người ta chứng minh được diện tích hình quạt tròn tỉ lệ thuận với số đo của cung ứng với nó.

13. Hình vành khuyên

• Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Hình vành khuyên là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R).

• Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R) được tính bởi công thức: $S=\pi \left(R^2-r^2\right).$

B. Bài tập Toán 9 Chương 5: Đường tròn

Bài 1. Cho hai đường tròn (O; 3 cm) và (A; 2 cm) cắt nhau tại B, C, điểm A nằm trên đường tròn tâm O.

a) Vẽ đường tròn (B; 3 cm);

b) Đường tròn (B; 3 cm) có đi qua hai điểm O và A không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

b) Đường tròn (O) và đường tròn (A) cắt nhau tại B, C suy ra điểm B nằm trên đường tròn (O) và đường tròn (A). Do đó bán kính của đường tròn (O) là OB = 3 cm.

Xét đường tròn (B) có bán kính là 3 cm mà OB = 3 cm, suy ra đường tròn (B) có đi qua điểm O.

Ta có điểm B nằm trên đường tròn (A) nên AB = 2 cm.

Vì AB < 3 cm suy ra điểm A nằm trong đường tròn (B). Do đó đường tròn (B) không đi qua điểm A.

Bài 2. Xác định vị trí tương đối của (O; R) và (O'; R') trong mỗi trường hợp sau:

a) OO' = 3;  R = 7; R' = 2

b) OO'= 10; R = 9;R' = 3

Hướng dẫn giải

a) Ta có 3 < 7 – 2 nên  suy ra đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O'; R')

b) Ta có 9 – 3 < 10 < 9 + 3 nên R - R' < OO' < R + R' suy ra hai đường tròn (O; R) và (O'; R')  cắt nhau.

Bài 3. Trong hình sau, AB = 6, BC = 6, AC = 10 và BC là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Ta có: AB = 6, BC = 8, AC = 10 suy ra AC² = AB² + BC² nên tam giác ABC vuông tại B hay $\widehat{ABC}=90°.$  Suy ra AB ⊥ BC.

Mà O ∈ BC nên AB ⊥ BO.

Vậy AB đi qua B (B ∈ (O)) và AB ⊥ BO = R nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 4. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn tâm O với B, C là tiếp điểm.

a) Chứng minh AO là đường trung trực của BC;

b) Kẻ đường kính CD của (O). Chứng minh BD song song với AO;

c) Kẻ OM vuông góc với OB (M thuộc AC). Chứng minh MO = MA.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) suy ra AC = AB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra A thuộc đường trung trực của BC.

Mặt khác OA = OB (cùng bằng bán kính) suy ra O thuộc đường trung trực của BC.

Do đó AO là đường trung trực của BC.

b) Vì BO là đường trung tuyến của ∆DBC, $BO=\frac{1}{2}CD.$

Suy ra ∆DBC vuông tại B hay BD ⊥ BC.

Mặt khác AO ⊥ BC (do AO là trung trực của BC) suy ra AO // BD.

c) Vì OM ⊥ OB suy ra $\widehat{MOA}+\widehat{AOB}=90°.$  (1)

Ta có $\widehat{MAO}=\widehat{BAO}$  (vì A là giao điểm của hai tiếp tuyến chung của (O)).

Vì $\widehat{OAB}+\widehat{AOB}=90°$  suy ra $\widehat{MAO}+\widehat{AOB}=90°.$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MAO}=\widehat{MOA}$  suy ra ∆AMO cân tại M hay MA = MO.

Bài 5. Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là tiếp điểm) sao cho $\widehat{AMO}=30°.$

a) Chứng minh MO = 2R;

b) Tính AB theo R.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Xét ∆OAM có

Ta có $\sin \widehat{AMO}=\frac{OA}{OM}=\sin 30°=\frac{1}{2}$  suy ra OM = 2R.

b) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) suy ra MA = MB.

Mà MO là tia phân giác của góc $\widehat{AMB}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra ∆MAB cân tại M, $\widehat{AMB}=2\widehat{AMO}=60°.$

Do đó AMB là tam giác đều, suy ra AB = AM.

Xét ∆OAM có $\widehat{OAM}=90°$ suy ra AM² = OM² – OA² (theo định lí Pythagore).

Vậy $AM=R\sqrt{3}=AB.$

Bài 6. Nếu tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn. Chọn khẳng định sai.

A.$\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°;$

B. $\widehat{ABD}=\widehat{ACD};$

C. Tổng 4 góc là 360°;

D. $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét đường tròn (O) có:

$\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$ (tổng hai góc đối)

$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{AD}$ )

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$ (tổng 4 góc trong tứ giác).

Bài 7. Diện tích hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung 45° là

A. $\pi R^2;$

B. $\frac{\pi R^2}{2};$

C. $\frac{\pi R^2}{4};$

D. $\frac{\pi R^2}{8}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung 45° là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi .R^2.45}{360}=\frac{\pi R^2}{8}.$

Diện tích hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung 45° là $\frac{\pi R^2}{8}.$

Bài 8. Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn (O; 1 cm) và (O; 3 cm) là

A. 10 cm²;

B. 8 cm²;

C. 8π cm²;

D. 10π cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn (O; 1 cm) và (O; 3 cm) là:

$S=\pi \left(R^2-r^2\right)=\pi \left(3^2-1^2\right)=8\pi$ (cm²).

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định tâm và bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AM=\frac{BC}{2}.$

Suy ra $MA=MB=MC=\frac{BC}{2}.$

Vậy đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC có tâm là điểm M và bán kính $R=\frac{BC}{2}.$

Bài 10. Cho đường tròn (O), bán kính 8 cm và ba điểm A, B, C thỏa mãn OA = 5 cm, OB = 3 cm, OC = 8 cm. Hãy cho biết mỗi điểm A, B, C nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (O) có bán kính R = 8 cm.

+ Ta có OA = 5 cm < R suy ra điểm A nằm trong đường tròn (O).

+ Ta có OB = 3 cm < R suy ra điểm B nằm trong đường tròn (O).

+ Ta có OC = 8 cm = R suy ra điểm C nằm trên đường tròn (O).

Bài 11. Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ góc ở tâm $\widehat{AOC}=50°$ với C nằm trên (O). Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB.

a) Tính số đo cung nhỏ BE;

b) Tính số đo cung $\stackrel{⏜}{CBE}.$  Từ đó suy ra ba điểm C, O, E thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Xét đường tròn (O) có: AB ⊥ CD và AB là đường kính.

Suy ra AB cắt CD tại trung điểm CD mà DE // AB nên DE ⊥ CD.

Do đó ∆CDE vuông tại D mà C, D, E đều nằm trên đường tròn (O).

Suy ra CE là đường kính của đường tròn (O).

Ta có: AB cắt CE tại O suy ra $\widehat{AOC}=\widehat{BOE}=50°$  (hai góc đối đỉnh).

Vậy $sđ\stackrel{⏜}{BE}=\widehat{BOE}=50°$.

b) Vì CE là đường kính nên $sđ\stackrel{⏜}{CBE}=180°$.

Suy ra ba điểm C, O, E thẳng hàng.

Bài 12. Xác định số đo các cung  $\stackrel{⏜}{AB},$$\stackrel{⏜}{BC},$$\stackrel{⏜}{CA}$trong mỗi hình vẽ sau.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC, ta có:

$\widehat{BAC}=180°-\widehat{CBA}-\widehat{ACB}=180°-60°-40°=80°.$

 

• $sđ\stackrel{⏜}{BC}=2\widehat{BAC}=2.80°=160°$ (vì $\stackrel{⏜}{BC}$ và $\widehat{BAC}$  cùng chắn cung BC).

• $sđ\stackrel{⏜}{AB}=2\widehat{ACB}=2.40°=80°$ (vì $\stackrel{⏜}{AB}$ và $\widehat{ACB}$ cùng chắn cung AB).

• $sđ\stackrel{⏜}{AC}=2\widehat{ABC}=2.60°=120°$ (vì $\stackrel{⏜}{AC}$ và $\widehat{ABC}$  cùng chắn cung AC).

b) Ta có $sđ\stackrel{⏜}{BC}$ và góc ở tâm $\widehat{BOC}$ cùng chắn cung BC suy ra $sđ\stackrel{⏜}{BC}=\widehat{BOC}=140°.$

Xét ∆OAB có OA = OB = R suy ra ∆OAB cân tại O.

Mặt khác $\widehat{OBA}=40°$ nên $\widehat{AOB}=180°-2\widehat{OBA}=180°-2.40°=100°.$

Ta có $sđ\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}=100°$ (vì $\stackrel{⏜}{AB}$ và $\widehat{AOB}$ cùng chắn cung AB).

Suy ra $sđ\stackrel{⏜}{AC}=360°-sđ\stackrel{⏜}{AB}-sđ\stackrel{⏜}{BC}=360°-100°-140°=120°.$

Bài 13. Tính độ dài các cung 60°; 90°; 150° của đường tròn (O; 5 cm) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Cung 60°, bán kính R = 5 cm có độ dài là: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .5.60}{180}=\frac{5\pi }{3}\approx 5,23$  (cm).

Cung 90°, bán kính R = 5 cm có độ dài là: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \mathrm{.5.90}}{180}=\frac{5\pi }{2}\approx 7,85$ (cm).

Cung 150°, bán kính R = 5 cm có độ dài là: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \mathrm{.5.60}}{180}=\frac{25\pi }{6}\approx 13,09$

Bài 14. Cho đường tròn (O; 5 cm).

a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây bằng 2,5 cm;

b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm);

c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB;

d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Vẽ bán kính OM của đường tròn, trên OM lấy điểm H sao cho OH = 2,5 cm.

Kẻ đoạn thẳng AB vuông góc với OH tại H, cắt đường tròn tại A và B.

Khi đó, ta được dây cung AB cần vẽ.

b) Gọi H là trung điểm của AB.

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R; OH chung; $\widehat{OHA}=\widehat{OHB}=90°$.

Do đó ∆OAH = ∆OBH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra AH = BH (hai cạnh tương ứng) và AB = 2AH.

Xét ∆OAH vuông tại H có: AH² + OH² = OA² (định lí Pythagore)

Hay AH² = OA² – OH² = 5² – 2,5² = 18,75.

Suy ra $AH=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ (cm) và $AB=2.\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\approx 8,66$ (cm).

Vậy độ dài của dây AB khoảng 8,66 cm.

c) Xét ∆OAH vuông tại H có:

$\cos \widehat{AOH}=\frac{OH}{OA}=\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2}$ suy ra $\widehat{AOH}=60°.$

Mà ∆OAH = ∆OBH suy ra $\widehat{BOH}=\widehat{AOH}=60°$  (hai góc tương ứng)

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOH}+\widehat{AOH}=60°+60°=120°$ và $sđ\stackrel{⏜}{AB}=120°.$

Độ dài cung AB là: $\frac{120}{180}.\pi .5=\frac{10}{3}\pi$ (cm).

Vậy $sđ\stackrel{⏜}{AB}=120°$  và độ dài cung nhỏ AB bằng $\frac{10}{3}\pi cm$ .

d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:

$\frac{\pi .5^2.120}{360}=\frac{25\pi }{3}$ (cm²).

Vậy diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB bằng $\frac{25\pi }{3}$ cm².

Xem thêm các bài tóm tắt Lý thuyết Toán 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Phương trình và hệ phương trình

Lý thuyết Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết Chương 3: Căn thức

Lý thuyết Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lý thuyết Chương 5: Đường tròn