Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Video giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều

A. Lý thuyết Tích của một số với một vectơ

1. Định nghĩa

Cho một số k ≠ 0 và vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ≠ $\overrightarrow{0}$. Tích của một số k với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ là một vectơ, kí hiệu là k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$, được xác định như sau:

+ cùng hướng với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ nếu k < 0;

+ có độ dài bằng $\left|\mathrm{k}\right|$.$\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$

Quy ước: 0$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$, k$\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{0}$

Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Ví dụ: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, D và E lần lượt là trung điểm của BC và AC. Tìm mối quan hệ của $\overrightarrow{\mathrm{GA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$; mối quan hệ của $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$ 

Hướng dẫn giải

Khi đó ta có:

– Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA = 2GD.

Mà G nằm giữa A và D nên $\overrightarrow{\mathrm{GA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$ là hai vectơ ngược hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{GA}}$ = (–2)$\overrightarrow{\mathrm{GD}}$.

– Ta có: AD = 3GD.

Mà $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ là hai vectơ cùng hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= 3$\overrightarrow{\mathrm{GD}}$.

Ví dụ: Cho vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ có $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$= 4. Tìm số thực x sao cho vectơ x$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ có độ dài bằng 1 và cùng hướng với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left|\mathrm{x}\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$ = 1 ⇔ $\left|\mathrm{x}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$ = 1 ⇔ $\left|\mathrm{x}\right|.4$= 1

⇔ $\left|\mathrm{x}\right|$ = $\frac{1}{4}$

Lại có vectơ x$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ nên x > 0

Suy ra x = $\frac{1}{4}$.

Vậy x = $\frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.

2. Tính chất

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và hai số thực h, k, ta có:

+) k($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) = k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + k$\overrightarrow{\mathrm{b}}$; k($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) = k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – k$\overrightarrow{\mathrm{b}}$;

+) (h + k)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = h$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$;

+) h(k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$) = (hk)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$;

+) 1$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$; (–1)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = –$\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Nhận xét: k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Ví dụ: Tính:

a) 5$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ + 5$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$;

b) 4$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ + 6$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$;

c) 4(2$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$) + 2$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ – 3$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

Hướng dẫn giải:

3. Một số ứng dụng

3.1. Trung điểm của đoạn thẳng

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2\overrightarrow{\mathrm{MI}}$ với điểm M bất kì.

Chứng minh:

Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên $\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}$ = $\overrightarrow{0}$

Suy ra:

$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ = $\left(\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IA}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}\right)$ 

= $\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}$

= $2\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{0}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{MI}}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{MI}}$ (đpcm).

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng minh $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$.

Hướng dẫn giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD nên ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}$ = $\left(\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}\right)$ = $\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ (đpcm).

3.2. Trọng tâm của tam giác

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}=3\overrightarrow{\mathrm{MG}}$ với điểm M bất kì.

Ví dụ: Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{AA'}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}$.

Hướng dẫn giải:

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ nên:

$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{\mathrm{GA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Theo quy tắc cộng vectơ ta có:

$\overrightarrow{\text{AA}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{AG}}+\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\text{'}\mathrm{A}\text{'}}$ (1)

$\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{BG}}+\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}$ (2)

$\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{CG}}+\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}$ (3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:

$\overrightarrow{\text{AA'}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}$ = $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\left(\overrightarrow{\mathrm{AG}}+\overrightarrow{\mathrm{BG}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{GA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}\text{'}}\right)$

= $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\left(-\overrightarrow{\mathrm{GA}}-\overrightarrow{\mathrm{GB}}-\overrightarrow{\mathrm{GC}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{GA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}\text{'}}\right)$

= $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}-\left(\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{GA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}\text{'}}\right)$

= $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}$ = $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}$

⇒ $\overrightarrow{\text{AA'}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}$ (đpcm).

3.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

– Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ($\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ≠ 0) cùng phương là có một số thực k để $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = k$\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ không cùng phương. Với mỗi vectơ $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ có duy nhất cặp số (x; y) thoả mãn $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\mathrm{x}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\mathrm{y}\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Đặt $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$. Dựng các điểm M, N sao cho $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$; $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=2\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

a) Phân tích $\overrightarrow{\mathrm{CM}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ theo các vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

b) Gọi I là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{\mathrm{MI}}=\overrightarrow{\mathrm{CM}}$. Chứng minh I, A, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

+) $\overrightarrow{\mathrm{CM}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ = $-\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

+) Vì $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=2\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ⇒ CN = 2BC ⇒ BC = $\frac{1}{3}$BN ⇒ BN = 3BC.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{BN}}=3\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{AC}}-3\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 

= $-2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = –2$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + 3$\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MI}}$ = $\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CM}}$ = $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $-\frac{1}{3}\left(-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right)$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AI}}$ = $-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AN}}$.

⇒ I, A, N thẳng hàng.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$, $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ qua các vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

Hướng dẫn giải:

+ Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

Ta lại có: CD = 2CN nên N là trung điểm của CD.

Mà $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CN}}$ là hai vectơ cùng hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=2\overrightarrow{\mathrm{CN}}$.

⇔ $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

Suy ra:

$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{CN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ – $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

+ Ta có: AB = 3AM ⇒ AM = $\frac{1}{3}$AB

Mà $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$là hai vectơ cùng hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ = $-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ + ($\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ – $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$) = $-\frac{5}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 

Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên:

$3\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{AN}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ – $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$= $\frac{5}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{5}{18}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

Vậy:

$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ – $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ = $-\frac{5}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{5}{18}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, CD sao cho MB = 2MA và NC = 2ND. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DN}}$ (1)

$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}$ (2)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 ta có:

$2\overrightarrow{\mathrm{MN}}=2\overrightarrow{\mathrm{MA}}+2\overrightarrow{\mathrm{AD}}+2\overrightarrow{\mathrm{DN}}$ (3)

Cộng hai vế của (2) và (3) ta có:

$3\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}+2\overrightarrow{\mathrm{AD}}+2\overrightarrow{\mathrm{DN}}$

⇔ $3\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\left(2\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)+2\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\left(2\overrightarrow{\mathrm{DN}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}\right)$

Vì M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, CD (M, N lần lượt nằm giữa đoạn thẳng AB và CD).

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}},\overrightarrow{\mathrm{MB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{DN}},\overrightarrow{\mathrm{CN}}$ là hai cặp vectơ ngược hướng.

 Mà MB = 2MA và NC = 2ND nên ta có:

$2\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{0}$ 

$2\overrightarrow{\mathrm{DN}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\overrightarrow{0}$ 

Suy ra:

$3\overrightarrow{\mathrm{MN}}=2\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ (đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M, N thỏa mãn các hệ thức: $\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2\overrightarrow{\mathrm{MC}}$;$\overrightarrow{\text{AN}}=2\overrightarrow{\mathrm{NC}}$.

Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Vì:

+) $\overrightarrow{\text{AN}}=2\overrightarrow{\mathrm{NC}}$

Nên AN = 2NC ⇒ CN = $\frac{1}{3}$CA.

Mà $\overrightarrow{\mathrm{CN}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ là hai vectơ cùng hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ .

+) $\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2\overrightarrow{\mathrm{MC}}$ ⇒ MB = 2MC ⇒ C là trung điểm của MB.

⇒ MC = CB

Mà $\overrightarrow{\mathrm{MC}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ là hai vectơ cùng hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$

⇒ $3\overrightarrow{\mathrm{MN}}=3\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ (1)

Ta lại có:

+) C là trung điểm của MB ⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$

+) P là trung điểm của AB ⇒ $\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BA}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MP}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)$ 

= $2\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ = $\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$

⇒ $2\overrightarrow{\mathrm{MP}}=3\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$3\overrightarrow{\mathrm{MN}}=2\overrightarrow{\mathrm{MP}}$ ⇔ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{MP}}$

Do đó ba điểm M, N, P thẳng hàng (đpcm).

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right);$  

B. $\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right);$  

C. $\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}};$  

D. $\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.$ (1)

Mặt khác I là trung điểm AM nên $2\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\overrightarrow{\mathrm{AM}}.$ (2)

Từ (1), (2) suy ra $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=4\overrightarrow{\mathrm{AI}}\iff \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right).$

Câu 2. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho $3\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và $3\overrightarrow{\mathrm{DN}}=2\overrightarrow{\mathrm{DC}}.$ Tính vectơ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

A. $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}};$                                   

B. $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}};$

C. $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}};$                                   

D. $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DN}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}.$ 

Suy ra $3\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DN}}+2\left(\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}\right)$

    $=\left(\overrightarrow{\mathrm{MA}}+2\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+2\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{DN}}+2\overrightarrow{\mathrm{CN}}\right).$

Theo bài ra, ta có:  

+) $3\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}\iff 3\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2\left(\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)$$\iff 3\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2\overrightarrow{\mathrm{AM}}+2\overrightarrow{\mathrm{MB}}$

$\iff \overrightarrow{\mathrm{AM}}=2\overrightarrow{\mathrm{MB}}$$\iff 2\overrightarrow{\mathrm{MB}}-\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{0}$$\iff 2\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MA}}=\overrightarrow{0}$.

+)$3\overrightarrow{\mathrm{DN}}=2\overrightarrow{\mathrm{DC}}\iff 3\overrightarrow{\mathrm{DN}}=2(\overrightarrow{\mathrm{DN}}+\overrightarrow{\mathrm{NC}})$ $\iff 3\overrightarrow{\mathrm{DN}}=2\overrightarrow{\mathrm{DN}}+2\overrightarrow{\mathrm{NC}}$

$\iff \overrightarrow{\mathrm{DN}}=2\overrightarrow{\mathrm{NC}}$$\iff \overrightarrow{\mathrm{DN}}-2\overrightarrow{\mathrm{NC}}=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{\mathrm{DN}}+2\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\overrightarrow{0}$.

Vậy $3\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+2\overrightarrow{\mathrm{BC}}\iff \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{\mathrm{DM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}};$   

B. $\overrightarrow{\mathrm{DM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CD}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}};$   

C. $\overrightarrow{\mathrm{DM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}};$   

D. $\overrightarrow{\mathrm{DM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án ta thấy cần phân tích vectơ $\overrightarrow{\mathrm{DM}}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}.$

Và M là trung điểm AB nên $2\overrightarrow{\mathrm{DM}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}$

$\iff 2\overrightarrow{\mathrm{DM}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}$

$\iff 2\overrightarrow{\mathrm{DM}}=2\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}.$

$\iff 2\overrightarrow{\mathrm{DM}}=-2\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}$  (do $\overrightarrow{\mathrm{DA}}=-\overrightarrow{\mathrm{BC}}$)

Suy ra $\overrightarrow{\mathrm{DM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Lý thuyết Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Lý thuyết Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài giảng Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều