Với giải Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$;

b) $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$;

c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành.

Khi đó $\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$; $\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AD}\left(=\overrightarrow{BC}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ (theo quy tắc hình hộp).

b) $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$

Có $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$

$=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}B}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$

$=\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}+\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}B}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}\right)$

$= \overrightarrow{BB\text{'}}$

Vì $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{D^{\text{'}}B}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$.

c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}$

Vì AD // B'C' và AD = B'C' (do cùng song song và bằng BC).

Do đó ADC'B' là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}$.

Tương tự DA'B'C là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}$ và $\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$.

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$

$=\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}\right)+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$

$=\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$

$=\left(\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}\right)+\left(\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}\right)=\overrightarrow{0}$