Với giải Bài 11 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài tập cuối chương 1 trang 37 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 trang 37

Bài 11 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+4$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Lời giải:

a) Xét hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+4$.

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = x² – 2x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (0; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = $\frac{8}{3}$.

● Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^3}\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^3}\right)=+\infty$

Ÿ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 4 nên (0; 4) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ $\frac{1}{3}{x}^3-x^2+4$ = 0, phương trình này có 1 nghiệm nên đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại 1 điểm.

Điểm (0; 4) là cực đại và điểm $\left(2;\frac{8}{3}\right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (3; 4).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I$\left(1;\frac{10}{3}\right)$.

b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (0; 4) và $\left(2;\frac{8}{3}\right)$.

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

$d=\sqrt{{\left(2-0\right)}^2+{\left(\frac{8}{3}-4\right)}^2}=\frac{4\sqrt{10}}{3}$.