Với lời giải Toán 8 trang 111 Tập 2 chi tiết trong Bài tập cuối chương 9 sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 8 Bài tập cuối chương 9

Bài 9.44 trang 111 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 4 cm. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh H của tam giác HAB.

a) Chứng minh rằng ΔHDA ∽ ΔAHC .

b) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD.

Lời giải:

a) Ta có $\widehat{DAH}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}=90°$$\widehat{ACH}+\widehat{HAC}=90°$(do tam giác ACH vuông ở H).

Suy ra $\widehat{DAH}=\widehat{ACH}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$ ).

Tam giác HDA vuông tại D và tam giác AHC vuông tại H có $\widehat{\widehat{DAH}=\widehat{ACH}}$nên ΔHDA ∽ ΔAHC .

b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC, ta có

BC² = AB² + AC² = 4² + 5² = 41.

Suy ra $BC=\sqrt{41}$cm.

Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 5}{2}=10$ (cm²).

Lại có $S_{ABC}=\frac{AH\cdot BC}{2}$ , do đó AH ∙ BC = 2 . 10 = 20, suy ra AH =$\frac{20}{BC}$  =$\frac{20}{\sqrt{41}}$(cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ACH ta có AC² = AH² + CH².

Do đó, CH² = AC² – AH² = 4² –${\left(\frac{20}{\sqrt{41}}\right)}^2=\frac{256}{41}$ .

Suy ra $CH=\frac{16}{\sqrt{41}}$ (cm).

Vì ΔHDA ∽ ΔAHC nên $\frac{HD}{AH}=\frac{HA}{AC}\Rightarrow HD=\frac{A{H}^2}{AC}=\frac{\frac{400}{41}}{4}=\frac{100}{41}$ (cm).

Ta có BH = BC – HC = $\sqrt{41}-\frac{16}{\sqrt{41}}=\frac{25}{\sqrt{41}}$  (cm).

Bài 9.45 trang 111 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AH = 12 cm, CH = 9 cm, BH = 16 cm. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH (H.9.76).

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A.

b) Chứng minh rằng MN ⊥ AC và CM ⊥ AN.

c) Tính diện tích tam giác AMN. 

Lời giải:

a) Xét tam giác AHB vuông tại H, có:

AH² + HB² = AB² (định lý Pythagore)

Suy ra AB² = 12² + 16² = 400.

Suy ra AB = 20 cm.

Tương tự, có: AC² = AH² + CH² (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC).

Suy ra AC² = 12² + 9² = 225.

Suy ra AC = 15 cm.

Có BC = CH + BH = 9 + 16 = 25 cm.

Trong tam giác ABC, nhận thấy AB² + AC² = BC² (do 20² + 15² = 25² = 625).

Suy ra tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo).

b) Xét tam giác AHB có: 

M là trung điểm của AH

N là trung điểm của BH

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác AHB.

Do đó, MN // AB. Mà AB ⊥ AC (vì tam giác ABC vuông tại A).

Suy ra MN ⊥ AC.

Xét ΔACN có AH ⊥ CN (gt), MN ⊥ AC (cmt), AH ∩ MN = {M}.

Vậy M là trực tâm của ΔACN, do đó CM ⊥ AN.

c) Ta có S_AMN =$\frac{AM\cdot HN}{2}=\frac{\frac{AH}{2}\cdot \frac{BH}{2}}{2}=\frac{AH\cdot BH}{8}=\frac{12\cdot 16}{8}=24$(cm²).

Bài 9.46 trang 111 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:

a) $\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$, từ đó suy ra $AE=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}$;

b) ∆DFC ∽ ∆ABC;

c) DF = DB.

Lời giải:

a) Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ .

Suy ra BD . AC = DC . AB. (*)

Xét BD . (AB + AC) = BD . AB + BD . AC

= BD . AB + DC . AB     (do (*))

= AB . (BD + DC)

                              = AB . BC.

Vậy BD . (AB + AC) = AB . BC. Suy ra $\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$ . (1)

Hai tam giác CED vuông tại E và tam giác CAB vuông tại A có góc nhọn C chung nên

∆CED ∽ ∆CAB.

Suy ra $\frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}\Rightarrow \frac{AC-AE}{AC}=\frac{BC-BD}{BC}\Rightarrow 1-\frac{AE}{AC}=1-\frac{DB}{BC}$.

Do đó, $\frac{AE}{AC}=\frac{DB}{BC}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AB+AC}$, do đó $AE=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}$.

b) Hai tam giác DFC vuông tại D và tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn C chung nên

∆DFC ∽ ∆ABC.

c) Vì ∆DFC ∽ ∆ABC nên $\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{AC}\Rightarrow DF=\frac{AB\cdot DC}{AC}$ . (3)

Từ (*) ta có $DB=\frac{DC\cdot AB}{AC}$ . (4)

Từ (3) và (4) suy ra DB = DF.

Bài 9.47 trang 111 Toán 8 Tập 2: Để tính được chiều cao gần đúng của kim tự tháp Ai Cập, người ta cắm một cây cọc cao 1 m vuông góc với mặt đất và đo được bóng cây cọc trên mặt đất là 1,5 m. Khi đó chiều dài bóng của kim tự tháp trên mặt đất là 208,2 m. Hỏi kim tự tháp cao bao nhiêu mét?

Lời giải:

Giả sử AB là chiều cao của kim tự tháp với BC là bóng; A'B' là chiều cao cây cọc với bóng của nó trên mặt đất là B'C'.

Vì trong cùng một thời điểm, các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất các góc bằng nhau.

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{B\text{'}A\text{'}C\text{'}}$.

Xét hai tam giác BAC (vuông tại B) và tam giác B'A'C' (vuông tại B') có $\widehat{BAC}=\widehat{B\text{'}A\text{'}C\text{'}}$ . Suy ra ΔB'A'C' ∽ ΔBAC.

Do đó, $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}\Rightarrow \frac{1}{AB}=\frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{208,2}}$

Suy ra AB = 208,2 : 1,5 = 138,8 (m).

Vậy kim tự tháp cao 138,8 m.

Bài 9.48 trang 111 Toán 8 Tập 2: Từ căn hộ chung cư nhà mình, bạn Lan đứng cách cửa sổ 1 m nhìn sang tòa nhà đối diện thì vừa nhìn thấy đúng tất cả 6 tầng của tòa nhà đó. Biết rằng cửa sổ nhà Lan cao 80 cm và mỗi tầng của tòa nhà đối diện cao 4 m. Hỏi khoảng cách từ căn hộ nhà Lan đến tòa nhà đối diện là bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử O là vị trí bạn Lan đứng, AB là độ cao cửa sổ của nhà Lan, CD là độ cao của 6 tầng nhà đối diện mà Lan nhìn thấy. OE là khoảng cách từ vị trí bạn Lan đứng đến cửa sổ. OE cắt CD tại F.

Các điểm kí hiệu như trên hình vẽ.

Có OE = 1 m; AB = 80 cm = 0,8 m; CD = 6 ∙ 4 = 24 m.

Xét tam giác OAB và tam giác OCD có AB // CD (do các tòa nhà thẳng đứng vuông góc với mặt đất). Suy ra ΔOAB ∽ ΔOCD.

Do đó, $\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}$ .

Xét tam giác OAE và tam giác OCF có AE // CF (do AB // CD). Suy ra ΔOAE ∽ ΔOCF.

Do đó, $\frac{OE}{OF}=\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}\Rightarrow \frac{1}{OF}=\frac{\mathrm{0,8}}{24}$ .

Suy ra OF = 24 : 0,8 = 30 (m).

Do đó, EF = OF – OE = 30 – 1 = 29 (m).

Vậy khoảng cách từ căn hộ nhà Lan đến tòa nhà đối diện là 29 m.