Với lời giải Toán 11 trang 81 Tập 2 chi tiết trong Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Hoạt động 2 trang 81 Toán 11 Tập 2: Hình 12 mô tả cửa tròn xoay, ở đó trục cửa và hai mép cửa gợi nên hình ảnh các đường thẳng d, a, b; sàn nhà coi như mặt phẳng (P) chứa a và b. Hỏi đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

Lời giải:

Ta thấy: khi a và b thay đổi (đóng mở cửa) thì đường thẳng d luôn vuông góc với cả hai đường thẳng a và b.

Như vậy ta có thể nói rằng đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a và b trong mặt phẳng (P) hay đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

Luyện tập 1 trang 81 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC).

Lời giải:

Do SA ⊥ (ABCD), BD ⊂ (ABCD).

Suy ra SA ⊥ BD hay BD ⊥ SA.

Vì ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC.

Ta có: BD ⊥ SA, BD ⊥ AC; SA ∩ AC = A trong (SAC)

Suy ra BD ⊥ (SAC).

3. Tính chất

Hoạt động 3 trang 81 Toán 11 Tập 2: Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi b, c là hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (Hình 14).

a) Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a?

Lời giải:

a) Ta có: a ⊥ b, a ⊥ c và b ∩ c = O trong (P).

Suy ra a ⊥ (P).

Vậy mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a.

b) Theo câu a, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), với mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c cùng vuông góc với đường thẳng a và b ∩ c = O.

Mà qua hai đường thẳng b và c cắt nhau, có một và chỉ một mặt phẳng, tức là tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau b và c.

Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với a.

Luyện tập 2 trang 81 Toán 11 Tập 2: Hình 17 mô tả một cửa gỗ có dạng hình chữ nhật, ở đó nẹp cửa và mép dưới cửa lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng d và a. Điểm M là vị trí giao giữa mép gắn bản lề và mép dưới của cửa. Hãy giải thích tại sao khi quay cánh cửa, mép dưới cửa là những đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d.

Lời giải:

Giả sử (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.

Khi đó ta có đường thẳng d’ đi qua M và d // d’ nên d’ ⊥ (P) tại M.

Lại có a đi qua M và a ⊥ d’ nên a ⊂ (P).

Vậy đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d.