Với lời giải Toán 11 trang 62 Tập 2 chi tiết trong Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Luyện tập 2 trang 62 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Lời giải:

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x)³ – x³

              = x³ + 3x²∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³ – x³

              = 3x²∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³

              = ∆x[3x² + 3x∆x + (∆x)²]

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x\left[3x^2+3x\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2\right]}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2.$

⦁ Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[3x^2+3x\cdot \Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2\right]=3x^2+3\Delta x\cdot 0+0^2=3x^2.$

Vậy f’(x) = 3x².

II. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Hoạt động 2 trang 62 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), một điểm M₀ cố định thuộc (C) có hoành độ x₀. Với mỗi điểm M thuộc (C) khác M₀, kí hiệu x_M là hoành độ của điểm M và k_M là hệ số góc của cát tuyến M₀M. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn$k_0=\underset{x_M\to x_0}{\lim }{k}_M$ .

Khi đó, ta coi đường thẳng M₀T đi qua M₀ và có hệ số góc k₀ là vị trí giới hạn của cát tuyến M₀M khi điểm M di chuyển dọc theo (C) dần tới M₀.

Đường thẳng M₀T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀, còn M₀ được gọi là tiếp điểm (Hình 3).

a) Xác định hệ số góc k₀ của tiếp tuyến M₀T theo x₀.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M₀

Lời giải:

a)Từ M₀(x₀; y₀) và M(x_M; y_M) ta có $\overrightarrow{M_{0}M}=\left(x_M-x_0;y_M-y_0\right)$

Đường cát tuyến $\overrightarrow{M_{0}M}=\left(x_M-x_0;y_M-y_0\right)$ nhận làm vectơ chỉ phương nên có

Hệ số góc là: $k_M=\frac{y_M-y_0}{x_M-x_0}=\frac{f\left(x_M\right)-f\left(x_0\right)}{x_M-x_0}$

Khi đó: $k_0=\underset{x_M\to x_0}{\lim }{k}_M=\underset{x_M\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x_M\right)-f\left(x_0\right)}{x_M-x_0}=f^{\text{'}}\left(x_0\right).$

Vậy k₀ = f’(x₀).

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M₀(x₀; y₀) có hệ số góc k₀ = f’(x₀)là:

y = k₀(x – x₀) + y₀ hay y = f’(x₀)(x – x₀) + f(x₀).