Với giải Bài 2 trang 63 Toán 11 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2 trang 63 Toán 11 Tập 2: Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 0.

Ta có ∆y = f(0 + ∆x) – f(0) = |∆x| – |0| = |∆x|.

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}.$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }1=1$

            $\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\left(-1\right)=-1$

Do đó $\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}\ne \underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$ nên không tồn tại $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Vậy hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0.

Ta có hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}xkhix>0\\ 0khix=0\\ -xkhix<0\end{array}\right.$

⦁ Với x > 0 ta có hàm số f(x) = x.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x > 0.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x) – x = ∆x.

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }1=1$

Do đó với x > 0 thì hàm số có đạo hàm f’(x) = 1.

⦁ Với x < 0 ta có hàm số f(x) = –x.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x < 0.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = – (x + ∆x) + x = –∆x.

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{–\Delta x}{\Delta x}=-1$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(-1\right)=-1$

Do đó với x < 0 thì hàm số có đạo hàm f’(x) = –1.

Vậy hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại x₀ = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0.