Với lời giải Toán 11 trang 37 Tập 2 chi tiết trong Bài 1: Đạo hàm sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 1: Đạo hàm

Hoạt động khởi động trang 37 Toán 11 Tập 2: Giữa tốc độ của xe và quãng đường mà xe đi được có mối liên hệ như thế nào? Nếu biết quãng đường s(t) tại mọi điểm t thì có thể tính được tốc độ của xe tại mỗi thời điểm không?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết được:

Tốc độ của xe cho biết tốc độ thay đổi của quãng đường của xe đi được theo thời gian. Nếu biết quãng đường tại mọi thời điểm thì có thể tính được tốc độ của xe tại mọi thời điểm (dựa vào phép tính đạo hàm).

1. Đạo hàm

Hoạt động khám phá 1 trang 37 Toán 11 Tập 2: Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức s(t) = 4,9t² với t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét.

Vận tốc trung bình của chuyển động này trên khoảng thời gian [5; t] hoặc [t; 5] được tính bằng công thức $\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$.

a) Hoàn thiện bảng sau về vận tốc trung bình trong những khoảng thời gian khác nhau. Nêu nhận xét về $\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$ khi t càng gần 5.

b) Giới hạn $\underset{t\to 5}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t₀ = 5. Tính giá trị này.

c) Tính giới hạn $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}$ để xác định vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điềm t₀ nào đó trong quá trình rơi của vật.

Lời giải:

a) • Với t ∈ [5; 5,1], chọn t = 5,1 ta có:

$\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.5,1^2-4,9.5^2}{5,1-5}=49,49.$

• Với t ∈ [5; 5,05], chọn t = 5,05 ta có:

$\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.5,{05}^2-4,9.5^2}{5,05-5}=49,245$.

• Với t ∈ [5; 5,01], chọn t = 5,01 ta có:

$\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.5,{01}^2-4,9.5^2}{5,01-5}=49,049$.

• Với t ∈ [5; 5,001], chọn t = 5,001 ta có:

$\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.5,{001}^2-4,9.5^2}{5,001-5}=49,0049$.

• Với t ∈ [4,999; 5], chọn t = 4,999 ta có:

$\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.4,{999}^2-4,9.5^2}{4,999-5}=49,9951$.

• Với t ∈ [4,99; 5], chọn t = 4,99 ta có:

$\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.4,{99}^2-4,9.5^2}{4,99-5}=49,951$.

Từ đó ta có bảng sau:

Ta thấy $\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$càng gần 49 khi t càng gần 5.

b) $\underset{t\to 5}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\underset{t\to 5}{\lim }\frac{4,9t^2-4,9.5^2}{t-5}$

$=\underset{t\to 5}{\lim }\frac{4,9\left(t^2-5^2\right)}{t-5}=\underset{t\to 5}{\lim }\frac{4,9\left(t-5\right)\left(t+5\right)}{t-5}$

$=\underset{t\to 5}{\lim }4,9\left(t+5\right)=4,9\left(5+5\right)=49.$

c) $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{4,9t^2-4,9t_0^2}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{4,9\left(t^2-t_0^2\right)}{t-t_0}=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{4,9\left(t-t_0\right)\left(t+t_0\right)}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }4,9\left(t+t_0\right)=4,9\left(t_0+t_0\right)=9,8t_0.$