Với lời giải Toán 11 trang 108 Tập 2 chi tiết trong Bài tập ôn tập cuối năm sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 25 trang 108 Toán 11 Tập 2: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+3+5+\cdots +\left(2n-1\right)}{n^2+2n+3}$ ;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\cdots +\frac{2^n}{3^n}\right)$ ;

c) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2+3x-2}{x^2-4}$ ;

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2+x+1}+2x\right)$ .

Lời giải:

a) Ta có 1; 3; 5; …; 2n – 1 là một cấp số cộng có $\frac{2n-1-1}{2}+1=n$ (số hạng).

Suy ra 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = $\frac{1+2n-1}{2}\cdot n=n^2$ .

Khi đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+3+5+\cdots +\left(2n-1\right)}{n^2+2n+3}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2+2n+3}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}=1$ .

b) Ta có $1;\frac{2}{3};\frac{4}{9};\mathrm{...};\frac{2^n}{3^n}$ là một cấp số nhân với u₁ = 1 và q = $\frac{2}{3}$.

Khi đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\cdots +\frac{2^n}{3^n}\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}}{1-\frac{2}{3}}$

 = 3.

c) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2+3x-2}{x^2-4}$$=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\left(2x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=\frac{2\cdot \left(-2\right)-1}{-2-2}=\frac{5}{4}$

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2+x+1}+2x\right)$$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{\sqrt{4x^2+x+1}-2x}$= 

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{-x\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-2x}$$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-2}$$=-\frac{1}{4}$.

Bài 26 trang 108 Toán 11 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Hàm số f(x) =  liên tục tại điểm x = −1;

b) Hàm số g(x) =  liên tục trên ℝ.

Lời giải:

a) Ta có $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+4x+3}{x+1}$$=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{x+1}$$=\underset{x\to -1}{\lim }\left(x+3\right)=2$ ; f(−1) = m².

Để hàm số liên tục tại x = −1 thì $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-1\right)$ $\iff$ m² = 2 $\iff$$m=\pm \sqrt{2}$ .

Vậy $m=\pm \sqrt{2}$ thì hàm số liên tục tại x = −1.

b) Ta có x < 1 thì g(x) = 2x + m liên tục với mọi x < 1.

Có x > 1 thì g(x) = $\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}$ liên tục với mọi x > 1.

Tại x = 1, ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x+m\right)=2+m$.

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}$$=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)}{x-1}$

$=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left(x^2+2\right)\left(x-1\right)}{x-1}$$=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2+2\right)=3$.

Có g(1) = 2 ∙ 1 + m = 2 + m.

Hàm số đã cho liên tục trên ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1

$\iff \underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=g\left(1\right)$ $\iff$ 2 + m = 3 $\iff$ m = 1.

Vậy m = 1 thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ.

Bài 27 trang 108 Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $3^{\frac{1}{x}}$= 4;

b) $2^{x^2-3x}$= 4;

c) log₄ (x + 1) + log₄ (x – 3) = 3;

d) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x^2-2x}\ge \frac{1}{125}$ ;

e) ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^x\le {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x+2}$ ;

f) log (3x² + 1) > log (4x).

Lời giải:

a) Điều kiện: x ≠ 0.

Ta có $3^{\frac{1}{x}}=4$$\iff \frac{1}{x}={\log }_{3}4$$\iff x=\frac{1}{{\log }_{3}4}={\log }_{4}3$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = log₄3.

b) $2^{x^2-3x}=4$$\iff 2^{x^2-3x}=2^2$$\iff x^2-3x=2$

$\iff x^2-3x-2=0$$\iff x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ hoặc $x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  .

c) Điều kiện  .

Ta có log₄ (x + 1) + log₄ (x – 3) = 3

$\iff$ log₄ [(x + 1)(x – 3)] = 3

$\iff$ (x + 1)(x – 3) = 4³

$\iff$ x² – 2x – 67 = 0

$\iff$ x = 1 - 2$\sqrt{17}$ (loại) hoặc x = 1 + 2$\sqrt{17}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 + 2$\sqrt{17}$ .

d) Ta có ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x^2-2x}\ge \frac{1}{125}$$\iff {\left(\frac{1}{5}\right)}^{x^2-2x}\ge {\left(\frac{1}{5}\right)}^3$

$\iff x^2-2x\le 3$$\iff x^2-2x-3\le 0$$\iff -1\le x\le 3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [−1; 3].

e) ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^x\le {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x+2}$

$\iff$$\le {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x+2}$

$\iff {\left(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\right)}^x\le {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x+2}$

$\iff {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{-x}\le {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x+2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [−1; +$\infty$).

f) Điều kiện: 4x > 0 $\iff$ x > 0.

Ta có log (3x² + 1) > log (4x) $\iff$ 3x² + 1 > 4x $\iff$ 3x² – 4x + 1 > 0 $\iff$ .

Kết hợp với điều kiện, ta có  .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(0;\frac{1}{3}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$ .

Bài 28 trang 108 Toán 11 Tập 2: Để xác định tính acid và tính base của các dung dịch, người ta sử dụng khái niệm độ pH. Độ pH của một dung dịch được cho bởi công thức pH = −log[H⁺], trong đó [H⁺] là nồng độ của ion hydrogen (tính bằng mol/lít).

a) Tính độ pH của một dung dịch có nồng độ ion hydrogen là 0,1 mol/lít.

b) Độ pH sẽ biến đổi như thế nào nếu nồng độ ion hydrogen giảm?

c) Xác định nồng độ ion hydrogen trong bia biết độ pH của bia là khoảng 4,5.

Lời giải:

a) Độ pH của một dung dịch có nồng độ ion hydrogen là 0,1 mol/lít là pH = −log0,1 = 1.

Vậy độ pH của một dung dịch có nồng độ ion hydrogen là 0,1 mol/lít là 1.

b) Vì hàm số y = log x đồng biến trên khoảng (0; +$\infty$) nên hàm số y = −log x nghịch biến trên (0; +$\infty$). Suy ra nếu nồng độ ion hydrogen giảm thì độ pH sẽ tăng.

c) Có pH = 4,5 nên −log[H⁺] = 4,5 $\iff$ [H⁺] = 10^−4,5.

Vậy nồng độ ion hydrogen trong bia là 10^−4,5 mol/lít.

Bài 29 trang 108 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=3x^2-2\sqrt{x}$;

b) $y=\sqrt{1+2x-x^2}$;

c) $y=\tan \frac{x}{2}-\cot \frac{x}{2}$;

d) y = e^2x + lnx².

Lời giải:

a) Ta có: $y^{\text{'}}={\left(3x^2-2\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}$$=6x-\frac{1}{\sqrt{x}}$ . Vậy y' = 6x - $\frac{1}{\sqrt{x}}$.

b) Ta có: $y^{\text{'}}={\left(\sqrt{1+2x-x^2}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(1+2x-x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+2x-x^2}}$

$=\frac{2-2x}{2\sqrt{1+2x-x^2}}$$=\frac{1-x}{\sqrt{1+2x-x^2}}$.

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{1-x}{\sqrt{1+2x-x^2}}$ .

c) Ta có: $y^{\text{'}}={\left(\tan \frac{x}{2}-\cot \frac{x}{2}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\text{'}}}{co{s}^2\frac{x}{2}}+\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\text{'}}}{{\sin }^2\frac{x}{2}}$

$=\frac{\frac{1}{2}}{co{s}^2\frac{x}{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{{\sin }^2\frac{x}{2}}$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\sin }^2\frac{x}{2}+co{s}^2\frac{x}{2}}{{\sin }^2\frac{x}{2}co{s}^2\frac{x}{2}}$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{\sin }^2\frac{x}{2}co{s}^2\frac{x}{2}}$$=\frac{2}{4{\sin }^2\frac{x}{2}co{s}^2\frac{x}{2}}$$=\frac{2}{{\sin }^{2}x}$.

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{2}{{\sin }^{2}x}$ .

d) Ta có: y' = (e^2x + lnx²)' = ${\left(\text{2x}\right)}^{\text{'}}\cdot e^{2x}+\frac{{\left(x^2\right)}^{\text{'}}}{x^2}$$=2\cdot e^{2x}+\frac{2}{x}$$=2\left(e^{2x}+\frac{1}{x}\right)$ .

Vậy $y^{\text{'}}=2\left(e^{2x}+\frac{1}{x}\right)$ .

Bài 30 trang 108 Toán 11 Tập 2: Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = t³ – 3t² – 9t + 2, ở đó thời gian t > 0 tính bằng giây và quãng đường s tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.

b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 giây.

c) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 0.

d) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng 0.

Lời giải:

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = 3t² – 6t – 9.

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t là a(t) = v'(t) = 6t – 6.

a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây là v(2) = 3 . 2² – 6 . 2 − 9 = −9 (m/s).

b) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 6 . 3 – 6 = 12 (m/s²).

c) Vận tốc bằng 0 tức là v(t) = 0 $\iff$ 3t² – 6t – 9 = 0 $\iff$ t = 3 (thỏa mãn) hoặc t = −1 (loại).

Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 0 là a(3) = 12 m/s².

d) Gia tốc bằng 0 tức là a(t) = 0 $\iff$ 6t – 6 = 0 $\iff$ t = 1.

Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng 0 là v(1) = 3 . 1² – 6 . 1 – 9 = −12 m/s.