Với lời giải Toán 11 trang 96 Tập 2 chi tiết trong Bài 33: Đạo hàm cấp hai sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai

HĐ2 trang 96 Toán 11 Tập 2: Nhận biết ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chuyển động có phương trình s = 4cos2πt.

a) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

b) Tính gia tốc tức thời tại thời điểm t.

Lời giải:

a)

Ta có: v(t) = s'(t) = –4.2πsin2πt = –8πsin2πt.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là –8πsin2πt.

b) Gia tốc tức thời tại thời điểm t là

a(t) = v'(t) = (–8πsin2πt)' = –8π.2πcos2πt = –16π²cos2πt.

Vận dụng trang 96 Toán 11 Tập 2: Một chuyển động thẳng có phương trình $s=2t^2+\frac{1}{2}{t}^4$ (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.

Lời giải:

Vận tốc tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = 4t + 2t³.

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là a(t) = v'(t) = 4 + 6t².

Tại thời điểm t = 4 giây, gia tốc của vật là:

a(4) = 4 + 6 . 4² = 100 (m/s²).

Bài tập

Bài 9.13 trang 96 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x²e^x. Tính f''(0).

Lời giải:

Với f(x) = x²e^x, ta có:

f'(x) = (x²)' . e^x + x² . (e^x)' = 2x.e^x + x².e^x.

f''(x) = (2e^x + 2x.e^x) + (2x.e^x + x².e^x) = 4xe^x + 2e^x + x²e^x.

Vậy f''(0) = 4 . 0 . e⁰ + 2 . e⁰ + 0² . e⁰ = 2.

Bài 9.14 trang 96 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = ln(x + 1);

b) y = tan2x.

Lời giải:

a) Ta có y' = (ln(x+1))' = $\frac{{\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{x+1}=\frac{1}{x+1}$

$\Rightarrow {y^{\text{'}}}^{\text{'}}={\left(\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(x+1\right)}^2}$.

b)

Ta có y' = (tan2x)' = $\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$

$\Rightarrow {y^{\text{'}}}^{\text{'}}=\frac{-2{\left({\cos }^{2}2x\right)}^{\text{'}}}{{\cos }^{4}2x}=\frac{-2.2\cos 2x.(\cos 2x{)}^{\text{'}}}{{\cos }^{4}2x}$

$=\frac{4.2\sin 2x}{{\cos }^{3}2x}=\frac{8\sin 2x}{{\cos }^{3}2x}$.

Bài 9.15 trang 96 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số P(x) = ax² + bx + 3 (a, b là hằng số). Tìm a, b biết P'(1) = 0 và P''(1) = –2.

Lời giải:

Ta có:

P'(x) = 2ax + b

P''(x) = 2a

Do P'(1) = 0 và P''(1) = –2 nên ta có

Vậy a = – 1 và b = 2.

Bài 9.16 trang 96 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = $2{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ . Chứng minh rằng |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.

Lời giải:

Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=2.2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

$=4\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$

Khi đó ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=2.{\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}^{\text{'}}.\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=4\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$ .

Vì  với mọi x nên 4 $\le$4 với mọi x.

Vậy |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.

Bài 9.17 trang 96 Toán 11 Tập 2: Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi s(t) = 10 + 0,5sin$\left(2\pi t+\frac{\pi }{5}\right)$, trong đó s tính bằng centimet và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Vận tốc tại thời điểm t là:

v(t) = s'(t) = 0,5.2πcos$\left(2\pi t+\frac{\pi }{5}\right)$= πcos$\left(2\pi t+\frac{\pi }{5}\right)$.

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là:

a(t) = v'(t) = –π.2πsin$\left(2\pi t+\frac{\pi }{5}\right)$= –2π²sin$\left(2\pi t+\frac{\pi }{5}\right)$.

Tại thời điểm t = 5 giây, gia tốc của vật là:

a(5) = –2π²sin$\left(2\pi t+\frac{\pi }{5}\right)$ ≈ –11,6 (cm/s²).