Với lời giải Toán 11 trang 42 Tập 2 chi tiết trong Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Vận dụng trang 42 Toán 11 Tập 2: Tâm Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo là một đường elip nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Trong quá trình chuyển động, Trái Đất lại quay quanh trục Bắc Nam. Trục này có phương không đổi và luôn tạo với mặt phẳng chứa quỹ đạo một góc khoảng 66,5°.

(Theo nationalgeographic.org).

a) Giải thích vì sao hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo (P) cũng có phương không đổi.

b) Giải thích vì sao có hai thời điểm trong năm mà tại đó hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng (P) thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất.

Lời giải:

a)

Gọi a, b là hai vị trí của trục Trái Đất, a // b.

Gọi a', b' tương ứng là hình chiếu của a, b trên (P).

Hai mặt phẳng mp(a, a') và mp(b, b') chứa hai phương tương ứng song song với nhau đó là các phương cùng vuông góc với (P) và a // b. Do đó hai mặt phẳng mp(a, a') và mp(b, b') song song với nhau hoặc trùng nhau. Suy ra giao tuyến của chúng với (P) là a' và b' cũng song song hoặc trùng nhau.

b) Hình chiếu của trục Trái Đất lên mặt phẳng (P) có phương cố định. Gọi m là đường thẳng đi qua tâm Mặt Trời và có phương cố định nói trên. Khi đó, hình chiếu của trục Trái Đất xuống (P) thuộc đường thẳng m khi và chỉ khi tâm Trái Đất ở vị trí là giao của m với đường elip quỹ đạo của Trái Đất. Như vậy có hai vị trí thuộc quỹ đạo, ứng với hai thời điểm trong năm mà hình chiếu của trục Trái Đất trên (P) thuộc đường thẳng m (nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất).

Khám phá trang 42 Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó, với một đường thẳng a bất kì, góc giữa a và (P) có mối quan hệ gì với góc giữa a và ∆?

Lời giải:

Ta xét 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: a ⊥ (P).

Vì a ⊥ (P) và ∆ ⊥ (P) nên a // ∆. Khi đó (a, ∆) = 0°; (a, P) = 90°.

Trường hợp 2: a // (P) hoặc a thuộc (P).

Vì a // (P) hoặc a thuộc (P) và ∆ ⊥ (P) nên a ⊥ ∆. Khi đó (a, ∆) = 90°; (a, P) = 0°.

Trường hợp 3: a không vuông góc với (P) và a cắt (P) tại O.

Lấy điểm A khác O thuộc a và gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).

Có AH ⊥ (P) và ∆ ⊥ (P) nên AH // ∆.

Khi đó (∆, a) = (AH, a) = $\widehat{HAO}$ $=90°-\widehat{HOA}$ $=90°-(a,P)$.

Vậy góc giữa a và ∆ phụ thuộc vào góc giữa a và (P).

Trải nghiệm trang 42 Toán 11 Tập 2: Đo góc giữa một sợi dây kéo căng và mặt bàn hoặc sàn lớp học. (Có thể cho một đầu dây thuộc mặt bàn, mặt sàn để thuận tiện hơn cho việc đo).

Lời giải:

Để đo góc giữa một sợi dây kéo căng và mặt bàn hoặc sàn lớp học ta có thể làm như sau:

Bước 1: Đặt một đầu dây lên mặt bàn hoặc sàn lớp học và giữ cho sợi dây căng thẳng.

Bước 2: Xác định hình chiếu vuông góc của dây trên mặt bàn hoặc sàn lớp học.

Bước 3: Dùng thước đo góc để đo góc tạo bởi sợi dây và hình chiếu của dây trên mặt bàn hoặc sàn lớp học.

Bước 4: Ghi lại kết quả đo.

Bài tập

Bài 7.10 trang 42 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, tam giác ABC vuông tại B.

a) Xác định hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC).

b) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC).

c) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (SAB).

Lời giải:

a) Vì SA ⊥ (ABC) nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

b) Có A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC),

B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (ABC),

C là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC).

Do đó hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC) là tam giác ABC.

c) Có SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Vì tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC.

Do AB ⊥ BC và SA ⊥ BC nên BC ⊥ (SAB), suy ra B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB).

B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (SAB), S là hình chiếu của S trên mặt phẳng (SAB).

Do đó hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (SAB) là SB.

Bài 7.11 trang 42 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và $SA=a\sqrt{2}$.

a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Tính góc giữa BD và mặt phẳng (SAC).

c) Tìm hình chiếu của SB trên mặt phẳng (SAC).

Lời giải:

a) Vì SA ⊥ (ABCD) nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Do đó AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và SC, mà (AC, SC) = $\widehat{SCA}$.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$.

Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC.

Xét tam giác SAC vuông tại A và SA = AC = $a\sqrt{2}$ nên tam giác SAC vuông cân tại A, suy ra $\widehat{SCA}=45°$.

Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.

b) Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD.

Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Vì SA ⊥ BD và AC ⊥ BD nên BD ⊥ (SAC).

Do đó góc giữa BD và mặt phẳng (SAC) bằng 90°.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD và ABCD là hình vuông, suy ra BO ⊥ AC.

Mà SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BO.

Vì SA ⊥ BO và BO ⊥ AC nên BO ⊥ (SAC), suy ra O là hình chiếu của B trên mặt phẳng (SAC).

Có S là hình chiếu của S trên mặt phẳng (SAC).

Do đó SO là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (SAC).

Bài 7.12 trang 42 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = BC = a.

a) Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).       

b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

a) Kẻ AD ⊥ SB tại D.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Do ABC là tam giác vuông tại B nên AB ⊥ BC mà SA ⊥ BC, suy ra BC ⊥ (SAB).

Vì BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ AD mà AD ⊥ SB nên AD ⊥ (SBC).

Vậy D là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).

b) Vì SA ⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và SC, mà (AC, SC) = $\widehat{SCA}$.

Xét tam giác ABC vuông tại B có: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AC.

Xét tam giác SAC vuông tại A, có $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow \widehat{SCA}=35,26°$.

Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) khoảng 35,26°.