Giải SBT Toán 11 trang 99 Tập 2 Cánh diều

313

Với lời giải SBT Toán 11 trang 99 Tập 2 chi tiết trong Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 24 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, đường thẳng d cắt (P) sao cho góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng φ (0° < φ < 90°). Khi đó, góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (Q) bằng:

A. 90° – φ;

B. 180° – φ;

C. φ;

D. 90° + φ.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, đường thẳng d cắt (P)

Gọi B1 = d ∩ (P), B2 = d ∩ (Q).

Gọi A1, A2 lần lượt là hình chiếu của A (A ∈ d) trên mặt phẳng (P) và (Q).

Khi đó đường thẳng d1 (đi qua A1, B1) và d2 (đi qua A2 và B2) lần lượt là hình chiếu của d trên mặt phẳng (P) và (Q).

Suy ra: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) chính là góc giữa hai đường thẳng d và d1, góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (Q) chính là góc hai giữa đường thẳng d và d2.

Lại có: AA1 ⊥ (P) mà (P) // (Q) nên AA1 ⊥ (Q).

Mặt khác AA2 ⊥ (Q)

Suy ra A, A1, A2 thẳng hàng hay A1 ∈ AA2.

Xét tam giác AA2B2 có:

A1B1 ⊥ A1A(vì AA1 ⊥ (P) và A1B1 ⊂ (P))

A2B2 ⊥ A1A(vì AA2 ⊥ (Q) và A2B2 ⊂ (P))

Suy ra: A1B1 // A2B2 hay d1 // d2.

Từ đó ta có: Góc hai giữa đường thẳng d và d2 bằng góc giữa hai đường thẳng d và d1 hay góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) và bằng φ (0° < φ < 90°).

Bài 25 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, mặt phẳng (P) cắt a sao cho góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng φ (0° < φ < 90°). Khi đó, góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) bằng:

A. 90° – φ;

B. φ;

C. 90° + φ;

D. 180° – φ.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, mặt phẳng (P) cắt a

Gọi a’, b’ lần lượt là hình chiếu của a và b trên mặt phẳng (P).

Khi đó: góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) chính là góc giữa hai đường thẳng a và a’; góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) chính là góc giữa hai đường thẳng b và b’.

Vì a // b nên a’ // b’ (tính chất phép chiếu vuông góc).

Suy ra: Góc giữa hai đường thẳng b và b’ bằng góc giữa hai đường thẳng a và a’ hay góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) và bằng φ (0° < φ < 90°).

Bài 26 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi I là hình chiếu của A trên đường thẳng BC, α là góc giữa đường thẳng SI và mặt phẳng (ABC), β là số đo nhị diện [S, BC, A]. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. α = 90° – β;

B. α = 180° – β;

C. α = 90° + β;

D. α = β.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi I là hình chiếu của A trên đường thẳng BC

Do SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu của S trên (ABC) là điểm A.

Suy ra: Góc góc giữa SI và (ABC) chính là SIA^, tức là α=SIA^>. (1)

Ta có: SA ⊥ (ABC), BC ⊂ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ AI (gt) và AI ∩ SA = A trong (SAI).

Suy ra: BC ⊥ (SAI) nên SI ⊥ BC (vì SI ⊂ (SAI)).

Ta thấy: SI ⊥ BC, AI ⊥ BC và SI ∩ AI = I ∈ BC nên SIA^> chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A], tức là β=SIA^. (2)

Từ (1) và (2) ta có: α = β.

Bài 27 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a. Gọi α, β, γ lần lượt là số đo của các góc nhị diện [B, SA, C], [A, BC, S], [A, SC, B]. Tính:

a) cosα, cosβ;

b*) cosγ.

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a

a) Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AC và SA ⊥ BC.

· Ta có: AB ⊥ SA, AC ⊥ SA và AB ∩ AC = A ∈ SA.

Suy ra BAC^ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, C], tức là α=BAC^.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

AC2 = AB2 + BC2 ⇒ AC2 = (3a)2 + (4a)2 = 25a⇒ AC = 5a.

Và cosα=cosBAC^=ABAC=3a5a=35.

· Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ AB và SA ∩ AB = A trong (SAB) suy ra BC ⊥ (SAB).

Mà SB ⊂ (SBC) nên BC ⊥ SB.

Ta có: AB ⊥ BC, SB ⊥ BC và AB ∩ SB = B ∈ BC.

Suy ra SBA^ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BC, S], tức là β=SBA^.

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

SB2 = SA2 + AB2 ⇒ SB2 = (3a)2 + (3a)2 = 18a2 SB=32a.

Và cosβ=cosSBA^=ABSB=3a32a=22.

b*) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC nên AH ⊥ SB và AK ⊥ SC.

Do BC ⊥ (SAB) (cmt) và AH ⊂ (SAB) nên BC ⊥ AH.

Ta có: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC và SB ∩ BC = B trong (SBC) nên AH ⊥ (SBC).

Mà SC ⊂ (SBC) và HK ⊂ (SBC).

Suy ra: AH ⊥ SC và AH ⊥ HK.

Ta có: SC ⊥ AH, SC ⊥ AK (cmt) và AH ∩ AK = A trong (AHK) nên SC ⊥ (AHK).

Mà HK ⊂ (AHK).

Suy ra SC ⊥ HK.

Từ đó ta có: HK ⊥ SC, AK ⊥ SC và HK ∩ AK = K ∈ SC.

Suy ra AKH^ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, SC, B], tức là γ=AKH^.

Áp dụng hệ thức lượng trong:

· Tam giác SAB vuông tại A với đường cao AH có:

AH. SB = SA. AB AH=SA.ABSB=3a.3a32a=32a.

· Tam giác SAC vuông tại A với đường cao AK có:

AK. SC = SA. AC AK=SA.ACSC=SA.ACSA2+AC2

(Do tam giác SAC vuông tại A nên SC=SA2+AC2)

AK=3a.5a3a2+5a2=15a2a34=15a34.

Xét tam giác AHK vuông tại H (vì AH ⊥ HK) có:

HK=AK2AH2=15a3423a22=6a17.

Và cosγ=cosAKH^=HKAK=6a1715a34=225.

Đánh giá

0

0 đánh giá