Để đường thẳng $d_1$ và đường thẳng $d_2$ cắt nhau tại một điểm có tung độ bằng 4 nên thay $y=4$ vào $y=x+1$ ta có: $4=x+1$, $x=3$

Do đó, tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là $\left(3;4\right)$

Thay $x=3,y=4$ vào $y=\left(m-1\right)x-1$ ta có:

$4=3\left(m-1\right)-1$

$3m-3-1=4$

$m=\frac{8}{3}$

A là giao điểm của d với trục hoành nên $0=-2x-4,x=-2$ nên $A\left(-2;0\right)$

B là giao điểm của d với trục tung nên $y=-2.0-4=-4$ nên $B\left(0;-4\right)$

Do đó, $OA=2,OB=4$

Vì tam giác AOB vuông tại O nên diện tích tam giác OAB là: $S=\frac{OA.OB}{2}=\frac{2.4}{2}=4$ (đvdt)

+ Nhận thấy M thuộc $d_2$

Thay tọa độ M vào $y=mx-1$ ta có:

$3=m.2-1$

$2m=4$

$m=2$

Điểm đối xứng với điểm (x; y) qua trục hoành là điểm (x; -y)

Xét hàm số $y=2x+10,$ thay y bởi $-y$ ta được: $-y=2x+10$ hay $y=-2x-10$

Gọi điểm $N\left(x_0;y_0\right)$ là điểm cố định của đường thẳng (1).

Ta có: $y_0=m{x}_0+m+1$

$y_0-m{x}_0-m-1=0$

$-\left(x_0+1\right)m+y_0-1=0$

$\{\begin{array}{l}{x}_0+1=0\\ y_0-1=0\end{array}$    $\{\begin{array}{l}{x}_0=-1\\ y_0=1\end{array}$

Vậy đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định (-1; 1).

Đường thẳng BC có dạng: $y=ax+b$

Vì điểm B(-5; 20) thuộc đường thẳng BC nên $20=-5a+b,$ $b=20+5a\left(1\right)$

Vì điểm C(7; -16)  thuộc đường thẳng BC nên $-16=7a+b\left(2\right)$

Thay (1) vào (2) ta có: $-16=7a+20+5a$

$12a=-36$

$a=-3$ nên $b=20+5.\left(-3\right)=5$

Do đó đường thẳng BC có dạng: $y=-3x+5$

Để 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì điểm A(x; 14) thuộc đường thẳng BC.

Do đó, $14=-3x+5$

$-3x=9$

$x=-3$

Hàm số $y=mx+3$ là hàm số bậc nhất khi $m\ne 0$

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng $y=-x$ nên $m=-1$ (thỏa mãn)

Do đó, d: $y=-x+3$

Vẽ đồ thị của hai hàm số: $y=-x+3$ và $y=x+1$:

Nhìn vào đồ thị ta thấy, A(1; 2), B(3; 0), do đó, $OB=3$

Gọi K là hình chiếu của A trên trục Ox, do đó AK là đường cao trong tam giác OAB và $AK=2$

Diện tích tam giác OAB là: $S=\frac{1}{2}AK.OB=\frac{1}{2}.3.2=3$ (đvdt)