Vì BD, CE là các đường phân giác trong tam giác ABC nên:
$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac{1}{2};\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{3}{4}$

Do đó $\frac{AB}{2}=\frac{BC}{4}=\frac{AC}{3}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{AB}{2}=\frac{BC}{4}=\frac{AC}{3}=\frac{AB+BC+AC}{2+4+3}=\frac{27}{9}=3$

Do đó, $AB=6cm,BC=12cm,AC=9cm$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}.$

Vì BE và DF lần lượt là phân giác của góc ABC và góc ADC nên $\widehat{ADF}=\widehat{CBE}$

Mặt khác, ta có: $AD=CB=b,\widehat{DAF}=\widehat{BCE}$ (so le trong)

Suy ra: $\mathrm{\Delta }ADF=\mathrm{\Delta }CBE\left(g.c.g\right)$ nên $AF=CE$

Đặt $AF=CE=x$

Xét tam giác ABC có BE là đường phân giác của góc ABC nên

$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{CE}=\frac{FA+FE}{CE}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{x+m}{x}\Rightarrow x=\frac{mb}{a-b}$

$AC=2x+m=\frac{2mb}{a-b}+m=\frac{m\left(a+b\right)}{a-b}=\frac{3,45\left(12,5+7,25\right)}{12,5-7,25}\approx 12,98cm$

Tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC nên $\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow AD=\frac{2}{3}DC$

Lại có: $AC=DC+AD=\frac{2}{3}DC+DC=\frac{5}{3}DC\Rightarrow \frac{5}{3}DC=5\Rightarrow DC=3cm\Rightarrow AD=2cm$

Vì tam giác DAE và tam giác CAE có chung đường cao kẻ từ E đến AC nên $\frac{S_{DAE}}{S_{ACE}}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{5}\left(1\right)$

Vì tam giác ACE và tam giác CAB có chung đường cao kẻ từ C đến AB nên $\frac{S_{ACE}}{S_{ABC}}=\frac{AE}{AB}\left(2\right)$

Tam giác ABC có CE là đường phân giác của góc ACB nên:

$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{EB}{BC}$ hay $\frac{AE}{5}=\frac{EB}{6}$
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{AE}{5}=\frac{EB}{6}=\frac{AE+EB}{5+6}=\frac{AB}{11}=\frac{4}{11}$

Suy ra: $AE=\frac{4}{11}.5=\frac{20}{11}\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{5}{11}\left(3\right)$

Thay (3) vào (2) ta có: $\frac{S_{ACE}}{S_{ABC}}=\frac{5}{11}\left(4\right)$

Nhân vế với vế của (1) và (4) ta có: $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\frac{2}{5}.\frac{5}{11}=\frac{2}{11}$

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD và BI vào các tam giác ABC, ABD ta được: $\frac{DI}{IA}=\frac{DB}{BA}=\frac{DB}{c}\left(1\right)$

$\frac{DB}{BA}=\frac{DC}{CA}$ hay $\frac{DB}{c}=\frac{DC}{b}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{DB}{c}=\frac{DC}{b}=\frac{DB+DC}{c+b}=\frac{BC}{b+c}\Rightarrow DB=\frac{ca}{b+c}\left(2\right)$

Thay (2) vào (1) ta được: $\frac{DI}{IA}=\frac{ca}{c\left(b+c\right)}=\frac{a}{b+c}$

Suy ra: $\frac{DI}{a}=\frac{IA}{b+c}=\frac{DI+IA}{a+b+c}=\frac{AD}{a+b+c}\Rightarrow \frac{DI}{AD}=\frac{a}{a+b+c}\left(3\right)$

Chứng minh tương tự ta có: $\frac{EI}{EB}=\frac{b}{a+b+c},\frac{FI}{FC}=\frac{c}{a+b+c}\left(5\right)$

Cộng theo vế của (3), (4), (5) ta có: $\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

Ta có: $HF=GF-GH=20-x$

Xét tam giác GEF có EH là đường phân giác của góc GEF nên

$\frac{GH}{HF}=\frac{EG}{FE}$ hay $\frac{x}{20-x}=\frac{18}{12}$

$12x=18\left(20-x\right)$

$12x=360-18x$

$30x=360$

$x=12$

Xét tam giác ABC có:

AD là đường phân giác của góc BAC nên $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

BE là đường phân giác của góc ABC nên $\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{AB}$

CF là đường phân giác của góc BCA nên $\frac{FA}{FB}=\frac{AC}{BC}$

Do đó, $\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=\frac{AB}{AC}.\frac{BC}{AB}.\frac{AC}{BC}=1$

Xét tam giác ABC có AM là đường phân giác góc BAC nên $\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{a}{b}$

Xét tam giác ABC có CN là đường phân giác góc BCA nên $\frac{NB}{NA}=\frac{CB}{AC}=\frac{a}{b}$

Do đó, $\frac{NB}{NA}=\frac{MB}{MC}$ nên MN//AC (định lý Thalès đảo)

Ta có: $\frac{NB}{NA}=\frac{CB}{AC}=\frac{a}{b}\Rightarrow \frac{NB}{NB+NA}=\frac{a}{a+b}$ hay $\frac{NB}{AB}=\frac{a}{a+b}$

Do đó, $NB=\frac{a^2}{a+b}$

Lại có: MN//AC nên $\frac{MN}{AC}=\frac{NB}{AB}$ , do đó $MN=\frac{AC.NB}{AB}=\frac{ab}{a+b}$

Xem thêm các bài giải Trắc nghiệm Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: