40 câu Trắc nghiệm Hình chữ nhật (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

40 câu Trắc nghiệm Hình chữ nhật (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán lớp 8

Van Anh Ngày: 03-01-2024 Lớp 8

1.7 K

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Trắc nghiệm Toán lớp 8 Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác sách Kết nối tri thức. Bài viết gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài trắc nghiệm Toán 8.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác

Câu 1 : Cho $A B = 6 c m, A C = 18 c m$ , tỉ số hai đoạn thẳng $A B$ và $A C$ là:

A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{1}{3}$
C
2
D
3

Đáp án : B

Lời giải :

$A B = 6 c m, A C = 18 c m$

Ta có $\frac{A B}{A C} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Câu 2 : Cho tam giác $A B C$ như hình vẽ dưới đây. Hãy chọn khẳng định sai:

A
$\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} \Rightarrow D E / / B C$
B
$\frac{A D}{B D} = \frac{A E}{E C} \Rightarrow D E / / B C$
C
$\frac{A B}{B D} = \frac{A C}{E C} \Rightarrow D E / / B C$
D
$\frac{A D}{D E} = \frac{A E}{E D} \Rightarrow D E / / B C$

Đáp án : D

Lời giải :

Theo định lí Thalès đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Dễ thấy từ các điều kiện $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}; \frac{A D}{B D} = \frac{A E}{E C}; \frac{A B}{B D} = \frac{A C}{E C}$ ta đều có thể suy ra $D E / / B C$ .

Câu 3 : Cho các đoạn thẳng $A B = 6 c m, C D = 4 c m, P Q = 8 c m, E F = 10 c m,$ $M N = 25 m m, R S = 15 m m$ . Hãy chọn các phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

A
Hai đoạn thẳng $A B$ và $P Q$ tỉ lệ với hai đoạn thẳng $E F$ và $R S$ .
B
Hai đoạn thẳng $A B$ và $R S$ tỉ lệ với hai đoạn thẳng $E F$ và $M N$ .
C
Hai đoạn thẳng $A B$ và $C D$ tỉ lệ với hai đoạn thẳng $P Q$ và $E F$ .
D
Cả 3 phát biểu đều sai.

Đáp án : B

Lời giải :

$M N = 25 m m = 2, 5 c m; R S = 15 m m = 1, 5 m m$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{A B}{P Q} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \\ \frac{E F}{R S} = \frac{10}{1, 5} = \frac{20}{3} \end{array}} \Rightarrow \frac{A B}{P Q} \neq \frac{E F}{R S} \\ \begin{array}{l} \frac{A B}{R S} = \frac{6}{1, 5} = 4 \\ \frac{E F}{M N} = \frac{10}{2, 5} = 4 \end{array}} \Rightarrow \frac{A B}{R S} = \frac{E F}{M N} \\ \begin{array}{l} \frac{A B}{C D} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \\ \frac{P Q}{E F} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \end{array}} \Rightarrow \frac{A B}{C D} \neq \frac{P Q}{E F} \end{array}$

Câu 4 : Cho hình vẽ sau. Có bao nhiêu cặp đường thẳng song song?

Đáp án : D

Lời giải :

Ta có: $\frac{M N}{P Q} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}; \frac{O N}{O P} = \frac{3, 5}{3 + 4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{M N}{P Q} = \frac{O N}{O P}$

$\Leftrightarrow M N / / P Q$ (định lý Thalès đảo) (1)

Ta có: $\frac{O E}{P E} = \frac{3}{4}; \frac{O F}{F Q} = \frac{2, 4}{3, 2} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{O E}{P E} = \frac{O F}{F Q}$

$\Rightarrow E F / / P Q$ (định lý Thalès đảo) (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow M N / / E F$ (cùng song song với $P Q$ ).

Vậy có 3 cặp đường thẳng song song.

Câu 5 : Cho điểm $C$ thuộc đoạn thẳng $A B$ thỏa mãn $\frac{A C}{B C} = \frac{3}{5}$ . Tính tỉ số $\frac{A C}{A B}$ .

A
$\frac{1}{4}$
B
$\frac{2}{5}$
C
$\frac{3}{8}$
D
$\frac{5}{8}$

Đáp án : C

Lời giải :

$\begin{array}{l} \frac{A C}{B C} = \frac{3}{5} \Rightarrow A C = \frac{3}{5} B C \Rightarrow A B = A C + B C = \frac{3}{5} B C + B C = \frac{8}{5} B C \\ \Rightarrow \frac{A C}{A B} = \frac{\frac{3}{5} B C}{\frac{8}{5} B C} = \frac{3}{8} \end{array}$

Câu 6 : Cho các đoạn thẳng $A B = 8 c m, C D = 6 c m, M N = 12 c m, P Q = x c m$ . Tìm $x$ để $A B$ và $C D$ tỉ lệ với $M N$ và $P Q$ .

A
7 cm
B
8 cm
C
9 cm
D
10 cm

Đáp án : C

Lời giải :

$\begin{array}{l} \frac{A B}{C D} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \\ \frac{M N}{P Q} = \frac{12}{x} \\ \frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q} \Leftrightarrow \frac{4}{3} = \frac{12}{x} \Leftrightarrow x = \frac{12.3}{4} = 9 \end{array}$

Câu 7 : Cho hình vẽ sau, biết $D E / / B C$ . $A D = 8, D B = 6, C E = 9$ . Độ dài $A C$ bằng?

A
12
B
21
C
14
D
15

Đáp án : B

Lời giải :

Xét tam giác $A B C$ có $D E / / B C$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\begin{array}{l} \frac{A D}{D B} = \frac{A E}{C E} \Leftrightarrow \frac{A D}{D B} = \frac{A C - C E}{C E} \Leftrightarrow \frac{8}{6} = \frac{A C - 9}{9} \\ \Rightarrow A C - 9 = \frac{8.9}{6} = 12 \Rightarrow A C = 12 + 9 = 21 \end{array}$

Câu 8 : Cho hình vẽ dưới dây. Tính $O M$ .

A
$O M = 2, 8$
B
$O M = 1, 8$
C
$O M = 3, 8$
D
$O M = 0, 8$

Đáp án : A

Lời giải :

Ta có: $\frac{M N}{P Q} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}; \frac{O N}{O P} = \frac{3, 5}{3 + 4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{M N}{P Q} = \frac{O N}{O P}$

$\Leftrightarrow M N / / P Q$ (định lý Thalès đảo)

Theo hệ quả định lý Thalès ta có: $\frac{O M}{Q O} = \frac{O N}{O P} \Rightarrow O M = \frac{Q O . O N}{O P} = \frac{(O F + F Q) O N}{O E + E P} = \frac{(2, 4 + 3, 2) 3, 5}{3 + 4} = 2, 8$

Câu 9 : Cho tam giác $A B C$ có $A B = 12 c m$ , điểm $D$ thuộc cạnh $A B$ sao cho $A D = 8 c m$ . Kẻ $D E$ song song với $B C (E \in A C)$ , kẻ $E F$ song song với $C D (F \in A B)$ . Tính độ dài $A F$ .

A
2 cm
B
$\frac{4}{3}$ cm
C
3 cm
D
$\frac{16}{3}$ cm

Đáp án : D

Lời giải :

Xét tam giác $A B C$ có $D E / / B C$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ (1)

Xét tam giác $A C D$ có $E F / / C D$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{A F}{A D} = \frac{A E}{A C}$ (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A F}{A D} \Leftrightarrow A F . A B = A D^{2} \Rightarrow A F = \frac{A D^{2}}{A B} = \frac{8^{2}}{12} = \frac{16}{3}$

Câu 10 : Cho tứ giác $A B C D$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua $A$ và song song với $B C$ cắt $B D$ ở $E$ . Đường thẳng qua $B$ song song với $A D$ cắt $A C$ ở $F$ . Chọn kết luận sai?

A
$\frac{O E}{O B} = \frac{O A}{O C}$
B

$\frac{E F}{A B} = \frac{O E}{O B}$
C
$\frac{O B}{O D} = \frac{O F}{O A}$
D
$\frac{O E}{O D} = \frac{O F}{O C}$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

$A E / / B C$ nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có: $\frac{O E}{O B} = \frac{O A}{O C}$ (1)

$B F / / A D$ nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có: $\frac{O B}{O D} = \frac{O F}{O A}$ (2)
Từ (1), (2) $\Rightarrow \frac{O E}{O B} \cdot \frac{O B}{O D} = \frac{O A}{O C} \cdot \frac{O F}{O A}$ hay $\frac{O E}{O D} = \frac{O F}{O C}$

Câu 11 : Cho tứ giác $A B C D$ . Lấy điểm $E$ bất kì thuộc $B D$ . Qua $E$ kẻ $E F$ song song với $A D (F \in A B)$ , kẻ $E G$ song song với $D C (G \in B C)$ . Chọn khẳng định sai:

A
$\frac{B E}{E D} = \frac{B F}{F A}$
B
$F G / / A C$
C
$\frac{B F}{F A} = \frac{B G}{G C}$
D
$F G / / A D$

Đáp án : D

Lời giải :

Xét tam giác $A B D$ có $E F / / A D$ nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{B F}{F A} = \frac{B E}{E D}$ (1)

Xét tam giác $B C D$ có $E G / / C D$ nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{B E}{E D} = \frac{B G}{G C}$ (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow \frac{B F}{F A} = \frac{B G}{G C}$ do đó $F G / / A C$ (định lí Thalès đảo)

Câu 12 : Cho điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $A B$ sao cho $M A = 2 M B$ . Vẽ về một phía của $A B$ các tam giác đều $A M C$ và $M B D$ . Gọi $E$ là giao điểm của $A D$ và $M C$ , $F$ là giao điểm của $B C$ và $D M$ . Đặt $M B = a$ . Tính $M E, M F$ theo $a$ .

A
$M E = \frac{a}{2}; M F = \frac{a}{3}$
B
$M E = M F = \frac{2 a}{3}$
C
$M E = \frac{2 a}{3}; M F = \frac{a}{3}$
D
$M E = M F = \frac{a}{3}$

Đáp án : B

Lời giải:

$M B = a \Rightarrow M A = 2 a$

Vì các tam giác $A M C$ và $M B D$ đều nên $\hat{M A C} = \hat{B M D} = 60^{\circ}$ .

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị $\Rightarrow M D / / A C$

Vì $M D / / A C$ nên theo hệ quả định lí Thalès cho hai tam giác $D E M$ và $A C E$ có $\frac{M E}{E C} = \frac{M D}{A C}$

Mà $M D = M B$ và $A C = M A$ nên $\frac{M E}{E C} = \frac{M D}{A C} = \frac{M B}{M A} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{M E}{E C} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{M E}{M E + E C} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{M E}{2 a} = \frac{1}{3} \Rightarrow M E = \frac{2 a}{3}$

Tương tự, $M F = \frac{2 a}{3}$

Vậy $M E = M F = \frac{2 a}{3}$

Câu 13 : Cho hình thang $A B C D (A B / / C D)$ có diện tích $48 c m^{2}$ , $A B = 4 c m, C D = 8 c m$ . Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Tính diện tích tam giác $C O D$

A
$\frac{64}{3} c m^{2}$
B
$15 c m^{2}$
C
$16 c m^{2}$
D
$32 c m^{2}$

Đáp án : A

Lời giải :

Kẻ $A H ⊥ D C; O K ⊥ D C$ tại $H, K$ $\Rightarrow A H ⊥ O K$ .

Chiều cao của hình thang $A H = \frac{2 S_{A B C D}}{A B + C D} = \frac{2.48}{4 + 8} = 8$ (cm)

Vì $A B / / C D$ ( $A B C D$ là hình thang) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{O C}{O A} = \frac{C D}{A B} = \frac{8}{4} = 2$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{O C}{O A + O C} = \frac{2}{2 + 1} \\ \Rightarrow \frac{O C}{A C} = \frac{2}{3} \end{array}$

Vì $A H / / O K$ nên theo hệ quả định lý Thalès ta có $\frac{O K}{A H} = \frac{O C}{A C} = \frac{2}{3} \Rightarrow O K = \frac{2}{3} A H = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$ (cm)

Do đó $S_{C O D} = \frac{1}{2} O K . D C = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{3} \cdot 8 = \frac{64}{3} c m^{2}$ .

Câu 14 : Cho hình thang $A B C D (A B / / C D)$ có $B C = 18 c m, A D = 12 c m$ . Điểm $E$ thuộc cạnh $A D$ sao cho $A E = 6 c m$ . Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $C D$ , cắt $B C$ ở $F$ . Tính độ dài $B F$ .

A
9 cm
B
10 cm
C
11 cm
D
12 cm

Đáp án : A

Lời giải :

$\begin{array}{l} A B / / C D \\ E F / / C D \end{array}} \Rightarrow A B / / E F$

Gọi $G$ là giao điểm của $E F$ và $A C$ $\Rightarrow {\begin{cases} E G / / C D \\ G F / / A B \end{cases}$

Xét tam giác $A C D$ có $E G / / C D$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{C G}{A G} = \frac{D E}{A E} = \frac{A D - A E}{A E} = \frac{12 - 6}{6} = 1$

Xét tam giác $A B C$ có $G F / / A B$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{C F}{B F} = \frac{C G}{A G} = 1 \Rightarrow B F = C F = \frac{B C}{2} = \frac{18}{2} = 9 c m$

Câu 15 : Cho hình thang $A B C D (A B / / C D)$ . Một đường thẳng song song với $A B$ cắt các cạnh bên $A D, B C$ theo thứ tự ở $E, F$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A
$\frac{E D}{A D} + \frac{B F}{B C} = 1$
B
$\frac{A E}{A D} + \frac{B F}{B C} = 1$
C
$\frac{A E}{E D} + \frac{B F}{F C} = 1$
D
$\frac{A E}{E D} + \frac{F C}{B F} = 1$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l} A B / / C D \\ E F / / C D \end{array}} \Rightarrow A B / / E F$

Gọi $G$ là giao điểm của $E F$ và $A C$ $\Rightarrow {\begin{cases} E G / / C D \\ G F / / A B \end{cases}$

Xét tam giác $A C D$ có $E G / / C D$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{D E}{A D} = \frac{C G}{A C}$ (1)

Xét tam giác $A B C$ có $F G / / A B$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{C G}{A C} = \frac{C F}{B C}$ (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow \frac{D E}{A D} = \frac{C F}{B C} \Rightarrow \frac{D E}{A D} + \frac{B F}{B C} = \frac{C F}{B C} + \frac{B F}{B C} = \frac{C F + B F}{B C} = \frac{B C}{B C} = 1$

Câu 16 : Cho tam giác $A B C$ có $A M$ là trung tuyến và điểm $E$ thuộc đoạn thẳng $M C$ . Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $A C$ , cắt $A B$ ở $D$ và cắt $A M$ ở $K$ . Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $A B$ , cắt $A C$ ở $F$ . Hãy chọn khẳng định sai.

A
$\frac{C F}{E F} = \frac{A C}{A B}$
B
$C F = D K$
C
$\frac{M G}{A G} = \frac{A B}{A C}$
D
$E F = A D$

Đáp án : C

Lời giải:

Xét tứ giác $A D E F$ có: ${\begin{cases} D E / / A F (D E / / A C, F \in A C) \\ E F / / A D (E F / / A B, D \in A B) \end{cases}$ nên $A D E F$ là hình bình hành.

$\Rightarrow E F = A D$ (1)

Kẻ $M G / / A C (G \in A B)$ .

Xét tam giác $A B C$ có: $M G / / A C$ nên theo định lí Thalès ta có $\frac{B G}{A G} = \frac{B M}{C M} = 1 \Rightarrow B G = A G$ hay $G$ là trung điểm của $A B$ .

Xét tam giác $A B C$ có $E F / / A B$ nên theo định lí Thalès ta có $\frac{C F}{A C} = \frac{E F}{A B}$ hay $\frac{C F}{E F} = \frac{A C}{A B}$ (2)

Tương tự với tam giác $A G M$ và tam giác $A B C$ có $\frac{D K}{A D} = \frac{M G}{A G} = \frac{M G}{B G} = \frac{A C}{A B}$ (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow C F = D K$ .

Câu 17 : Cho tứ giác $A B C D$ . Qua $E \in A D$ kẻ đường thẳng song song với $D C$ cắt $A C$ ở $G$ . Qua $G$ kẻ đường thẳng song song với $C B$ cắt $A B$ tại $H$ . Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $C D$ , cắt đường thẳng $A C$ tại $I$ . Qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $B A$ , cắt $B D$ tại $F$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A
$I F / / A D$
B
$\frac{O B}{O D} = \frac{O I}{O C}$
C
$\frac{O F}{O B} = \frac{O C}{O A}$
D
$E H / / B C$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l} E G / / D C \Rightarrow \frac{A E}{A D} = \frac{A G}{A C} \\ G H / / B C \Rightarrow \frac{A G}{A C} = \frac{A H}{A B} \end{array}} \Rightarrow \frac{A E}{A D} = \frac{A H}{A B} \Rightarrow E H / / B D$

Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ .

$\begin{array}{l} B I / / D C \Rightarrow \frac{O I}{O C} = \frac{O B}{O D} \\ A B / / C F \Rightarrow \frac{O C}{O A} = \frac{O F}{O B} \end{array}} \Rightarrow \frac{O I}{O A} = \frac{O F}{O D} \Rightarrow A D / / I F$

Câu 18 : Cho hình thang $A B C D (A B / / C D)$ . $M$ là trung điểm của $C D$ . Gọi $I$ là giao điểm của $A M$ và $B D$ , $K$ là giao điểm của $B M$ và $A C$ . Đường thẳng $I K$ cắt $A D, B C$ theo thứ tự ở $E$ và $F$ . Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

(I) $I K / / A B$

(II) $E I = I K = K F$

(III) $\frac{D I}{B D} = \frac{I M}{A M}$

Đáp án : D

Lời giải :

$\begin{array}{l} A B / / D M \Rightarrow \frac{I M}{I A} = \frac{M D}{A B} \\ A B / / M C \Rightarrow \frac{M K}{K B} = \frac{M C}{A B} \end{array}} \Rightarrow \frac{I M}{I A} = \frac{M K}{K B} \Rightarrow I K / / A B$

$\begin{array}{l} A B / / E I \Rightarrow \frac{I E}{A B} = \frac{I D}{D B} \\ A B / / I K \Rightarrow \frac{I K}{A B} = \frac{I M}{M A} \\ A B / / D M \Rightarrow \frac{D I}{B I} = \frac{I M}{I A} \Rightarrow \frac{D I}{B D} = \frac{I M}{A M} \end{array}} \Rightarrow \frac{I E}{A B} = \frac{I K}{A B} \Rightarrow E I = I K$

Tương tự, $I K = K F$ . Do đó $E I = I K = K F$ .

Câu 19 : Cho tam giác $A B C$ có đường cao $A H$ . Trên $A H$ lấy các điểm $K, I$ sao cho $A K = K I = I H$ . Qua $I, K$ lần lượt vẽ các đường thẳng $E F / / B C, M N / / B C$ $(E, M \in A B; F, N \in A C)$ . Cho biết diện tích của tam giác $A B C$ là $90 c m^{2}$ . Hãy tính diện tích tứ giác $M N F$ .

A
$30 c m^{2}$
B
$60 c m^{2}$
C
$90 c m^{2}$
D
$120 c m^{2}$

Đáp án : A

Lời giải:

$\begin{array}{l} N K / / C H \Rightarrow \frac{A K}{A H} = \frac{A N}{A C} \Rightarrow \frac{A N}{A C} = \frac{1}{3} \\ M N / / B C \Rightarrow \frac{M N}{B C} = \frac{A N}{A C} \Rightarrow \frac{M N}{B C} = \frac{1}{3} \\ I F / / C H \Rightarrow \frac{A I}{A H} = \frac{A F}{A C} \Rightarrow \frac{A F}{A C} = \frac{2}{3} \\ E F / / B C \Rightarrow \frac{E F}{B C} = \frac{A F}{A C} \Rightarrow \frac{E F}{B C} = \frac{2}{3} \end{array}$

$M N F E$ có $M N / / F E$ và $K I ⊥ M N$ . Do đó $M N E F$ là hình thang có 2 đáy $M N, F E$ , chiều cao $K I$ .

$\Rightarrow S_{M N E F} = \frac{(M N + F E) K I}{2} = \frac{(\frac{1}{3} B C + \frac{2}{3} B C) \cdot \frac{1}{3} A H}{2} = \frac{1}{3} S_{A B C} = 30 c m^{2}$

Câu 20 : Cho đoạn thẳng $A B C$ , điểm $I$ nằm trong tam giác. Các tia $A I, B I, C I$ cắt các cạnh $B C, A C, A B$ theo thứ tự ở $D, E, F$ . Tổng $\frac{A F}{F B} + \frac{A E}{E C}$ bằng tỉ số nào dưới đây?

A
$\frac{A I}{A D}$
B
$\frac{A I}{I D}$
C
$\frac{B D}{D C}$
D
$\frac{D C}{D B}$

Đáp án : B

Lời giải:

Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $B C$ cắt $C F, B E$ lần lượt tại $H, K$ .

$A H / / B C$ nên theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{A F}{B F} = \frac{A H}{B C}$

$A K / / B C$ nên theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{A E}{E C} = \frac{A K}{B C}$

$\Rightarrow \frac{A F}{B F} + \frac{A E}{E C} = \frac{A H}{B C} + \frac{A K}{B C} = \frac{H K}{B C}$ (1)

Lại có $A H / / D C$ nên theo định lí Thalès ta có $\frac{A I}{I D} = \frac{A H}{C D}$

$A K / / B D$ nên theo định lí Thalès ta có $\frac{A I}{I D} = \frac{A K}{B D}$

Do đó $\frac{A I}{I D} = \frac{A H}{C D} = \frac{A K}{B D}$ (2)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau $\frac{A H}{C D} = \frac{A K}{B D} = \frac{A H + A K}{C D + B D} = \frac{H K}{B C}$ (3)

Từ (2) và (3) $\Rightarrow \frac{A I}{I D} = \frac{H K}{B C}$ (4)

Từ (1) và (4) $\Rightarrow \frac{A F}{B F} + \frac{A E}{E C} = \frac{A I}{I D}$

Câu 21 : Người ta tiến hành đo đạc các yếu tố cần thiết để tính chiều rộng của một khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia sông (hình vẽ bên). Biết $B B^{'} = 20$ m, $B C = 30$ m và $B^{'} C = 40$ m. Tính độ rộng $x$ của khúc sông.

A
30m
B
60m
C
90m
D
120m

Đáp án : B

Lời giải :

Dùng hệ quả của định lý Thalès, ta có:

$\frac{A B}{A B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} \Rightarrow \frac{x}{x + 20} = \frac{30}{40} \Rightarrow x = 60$ m.

Câu 22 : Người ta dùng máy ảnh để chụp một người có chiều cao $A B = 1, 5$ m (như hình vẽ). Sau khi rửa phim thấy ảnh $C D$ cao 4cm. Biết khoảng cách từ phim đến vật kính của máy ảnh lúc chụp là $E D = 6$ cm. Hỏi người đó đứng cách vật kính máy ảnh một đoạn $B E$ bao nhiêu cm?

A
150cm
B
200cm
C
225cm
D
250cm

Đáp án : C

Lời giải:

Đổi đơn vị: 1,5m=150cm.

Ta có: $A B / / C D$ (cùng vuông góc với $B D$ ) $\Rightarrow \frac{E B}{E D} = \frac{A B}{C D}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Rightarrow E B = \frac{E D . A B}{C D} = \frac{6.150}{4} = 225$ (cm)

Vậy người đứng cách vật kính máy ảnh là 225cm.

Câu 23 : Bóng $(A K)$ của một cột điện $(M K)$ trên mặt đất dài 6m. Cùng lúc đó một cột đèn giao thông $(D E)$ cao 3m có bóng $(A E)$ dài 2m. Tính chiều cao của cột điện $(M K)$ .

A
6cm
B
9cm
C
12cm
D
18cm

Đáp án : B

Lời giải:

Ta có : DE // MK

$\Rightarrow \frac{D E}{M K} = \frac{A E}{A K}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{M K} = \frac{2}{6}$

$\Rightarrow M K = \frac{6.3}{2} = 9$ (m)

Câu 24 : Để đo chiều cao $A C$ của một cột cờ, người ta cắm một cái cọc $E D$ có chiều cao 2m vuông góc với mặt đất. Đặt vị trí quan sát tại $B$ , biết khoảng cách $B E$ là 1,5m và khoảng cách $A B$ là 9m.

Tính chiều cao $A C$ của cột cờ.

A
6m
B
9m
C
12m
D
18m

Đáp án : C

Lời giải :

Xét $Δ A B C$ có $A C / / E D (A C ⊥ A B, E D ⊥ A B)$

$\Rightarrow \frac{E B}{A B} = \frac{E D}{A C}$ (hệ quả của định lí Thalès)

$\Leftrightarrow \frac{1, 5}{9} = \frac{2}{A C}$

$\Rightarrow A C = 12$ (m)

Vậy chiều cao $A C$ của cột cờ là 12m.

Câu 25 : Tính chiều cao $A B$ của ngôi nhà biết cái cây có chiều cao $E D = 2$ m và khoảng cách $A E = 4$ m, $E C = 2, 5$ m.

A
2,5m
B
5,2m
C
6,5m
D
4m

Đáp án : B

Lời giải:

Ta có: $E D / / A B$

$\Rightarrow \frac{A B}{E D} = \frac{A C}{E C}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{A B}{2} = \frac{4 + 2, 5}{2, 5} \\ \Leftrightarrow \frac{A B}{2} = \frac{6, 5}{2, 5} \end{array}$

$\Rightarrow A B = \frac{6, 5 .2}{2, 5} = 5, 2$ (m)

Vậy ngôi nhà cao 5,2m.

Câu 26 : Một cột đèn cao 10m chiếu sáng một cây xanh như hình bên dưới. Cây cách cột đèn 2m và có bóng trải dài dưới mặt đất là 4,8m. Tìm chiều cao của cây xanh đó (làm tròn đến mét).

A
4,8mg
B
6,8m
C
7m
D
10m

Đáp án : C

Lời giải :

$M C = M A + A C = 4, 8 + 2 = 6, 8$ (m)

Xét $Δ D C M$ có $A B / / C D$ nên $\frac{A B}{C D} = \frac{M A}{M C}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Leftrightarrow \frac{A B}{10} = \frac{4, 8}{6, 8} \Rightarrow A B = \frac{4, 8.10}{6, 8} \approx 7$ (m)

Vậy chiều cao của cây xanh đó là 7m.

Câu 27 : Một nhóm các bạn học sinh lớp 8 đã thực hành đo chiều cao $A B$ của một bức tường như sau: Dùng một cái cọc $C D$ đặt cố định vuông góc với mặt đất, với $C D = 3$ m và $C A = 5$ m. Sau đó, các bạn đã phối hợp để tìm được điểm $E$ trên mặt đất là giao điểm của hai tia $B D, A C$ và đo được $C E = 2, 5$ m (Hình vẽ bên). Tính chiều cao $A B$ của bức tường.

A
3m
B
5m
C
6m
D
9m

Đáp án : D

Lời giải :

Xét $Δ E A B$ có $C D / / A B$ (do $C D$ và $A B$ cùng vuông góc với $C A$ )

Theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{C D}{A B} = \frac{E C}{E A}$ (*)

Mà $C A = 5$ m, $E C = 2, 5$ m $\Rightarrow C A = 2 E C \Rightarrow \frac{E C}{E A} = \frac{1}{3}$ và $C D = 3$ m

Thay vào (*) ta được $\frac{3}{A B} = \frac{1}{3} \Rightarrow A B = 9$ (m).

Vậy bức tường cao 9m.

Câu 28 : Một người cắm một cái cọc vuông góc với mặt đất sao cho bóng của đỉnh cọc trùng với bóng của ngọn cây. Biết cọc cao 1,5m so với mặt đất, chân cọc cách gốc cây 8m và cách bóng của đỉnh cọc 2m. Tính chiều cao của cây. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A
10m
B
8m
C
7,5m
D
9m

Đáp án : C

Lời giải:

Xét $Δ A B E$ có $C D / / A B$ (cùng vuông góc với mặt đất)

$\Rightarrow \frac{C D}{A B} = \frac{E C}{E A}$ (hệ quả của định lí Thalès)

$\Leftrightarrow \frac{1, 5}{A B} = \frac{2}{2 + 8}$

$\Rightarrow A B = \frac{1, 5 (2 + 8)}{2} = 7, 5$ (m)

Vậy chiều cao của cây là 7,5m.

Câu 29 : Bóng của một tháp trên mặt đất có độ dài $B C = 63$ m. Cùng thời điểm đó, một cây cột $D E$ cao 2 mét cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 3 mét. Tính chiều cao của tháp?

A
63m
B
126m
C
21m
D
42m

Đáp án : D

Lời giải :

Ta có: $D E / / A B$ (cùng vuông góc $B C$ )

$\Rightarrow \frac{D E}{A B} = \frac{C E}{C B}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Leftrightarrow \frac{2}{A B} = \frac{3}{63}$

$\Rightarrow A B = \frac{2.63}{3} = 42$ m

Vậy chiều cao của tháp là 42m.

Câu 30 : Giữa hai điểm $B$ và $C$ có một cái ao. Để đo khoảng cách $B C$ người ta đo được các đoạn thẳng $A D = 2$ , $B D = 10$ m và $D E = 5$ m. Biết $D E / / B C$ , tính khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$ .

A
12m
B
30m
C
25m
D
13m

Đáp án : B

Lời giải:

Xét $Δ A B C$ có $D E / / B C$

$\Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{10 + 2} = \frac{5}{B C}$

$\Rightarrow B C = \frac{5 (10 + 2)}{2} = 30$ m

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$ là 30m.

Câu 31 : Để đo khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ (không thể đo trực tiếp), người ta xác định các điểm $C, D, E$ như hình vẽ. Sau đó đo được khoảng cách giữa $A$ và $C$ là $A C = 6$ m, khoảng cách giữa $C$ và $E$ là $E C = 2$ m; khoảng cách giữa $E$ và $D$ là $D E = 3$ m. Tính khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ .

A
6m
B
9m
C
12m
D
18m

Đáp án : B

Lời giải:

Ta có: $A B / / E D$

$\Rightarrow \frac{E D}{A B} = \frac{C E}{A C}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Leftrightarrow \frac{3}{A B} = \frac{2}{6}$

$\Rightarrow A B = \frac{6.3}{2} = 9$ m

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ là 9m.

Câu 32 : Khi thiết kế một cái thang gấp, để đảm bảo an toàn người thợ đã làm thêm một thanh ngang để giữ cố định ở chính giữa hai bên thang (như hình vẽ bên) sao cho hai chân thang rộng một khoảng là 80 cm. Hỏi người thợ đã làm thanh ngang đó dài bao nhiêu cm?

A
80cm
B
40cm
C
160cm
D
120cm

Đáp án : A

Lời giải:

Gọi $M N$ là thanh ngang; $B C$ là độ rộng giữa hai bên thang.

$M N$ nằm chính giữa thang nên $M, N$ là trung điểm $A B$ và $A C$ .

$\Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow M N / / B C$ (định lí Thalès đảo)

$\Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Rightarrow M N = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \cdot 80 = 40$ (cm)

Vậy người thợ đã làm thanh ngang đó dài 80cm.

Câu 33 : Giữa hai điểm $B$ và $C$ bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình dưới). Hãy xác định độ dài $B C$ mà không cần phải bơi qua hồ. Biết rằng đoạn thẳng $K I$ dài 25m và $K$ là trung điểm của $A B$ , $I$ là trung điểm của $A C$ .

A
12,5m
B
50m
C
25m
D
100m

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Xét $Δ A B C$ có: $K$ là trung điểm của $A B$ , $I$ là trung điểm của $A C$

$\Rightarrow \frac{A K}{A B} = \frac{A I}{A C} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow K I / / B C$ (định lí Thalès đảo)

$\Rightarrow \frac{A K}{A B} = \frac{A I}{A C} = \frac{K I}{B C}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Rightarrow B C = 2 K I = 2.25 = 50$ (m)

Câu 34 : Để thiết kế mặt tiền cho căn nhà cấp bốn mái thái, sau khi xác định chiều dài mái $P Q = 1, 5$ m. Chú thợ nhẩm tính chiều dài mái $D E$ biết $Q$ là trung điểm $E C$ , $P$ là trung điểm của $D C$ . Em hãy tính giúp chú thợ xem chiều dài mái $D E$ bằng bao nhiêu (xem hình vẽ minh họa)?

A
3m
B
6m
C
9m
D
12m

Đáp án : A

Lời giải :

Vì $Q$ là trung điểm $E C$ , $P$ là trung điểm của $D C$ nên

$\frac{C Q}{C E} = \frac{C P}{C D} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow Q P / / E D$ (định lí Thalès đảo)

$\Rightarrow \frac{C Q}{C E} = \frac{C P}{C D} = \frac{Q P}{E D}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Rightarrow D E = 2 P Q = 2.1, 5 = 3$ (m)

Vậy chiều dài mái $D E$ bằng 3m.

Câu 35 : Giữa 2 điểm $A$ và $B$ là một hồ nước. Biết $A, B$ lần lượt là trung điểm của $M C$ và $M D$ (như hình vẽ). Bạn Mai đi từ $C$ đến $D$ hết 120 bước chân, trung bình mỗi bước chân của Mai đi được 4dm. Hỏi khoảng cách từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu mét?

A
12m
B
48m
C
6m
D
24m

Đáp án : D

Lời giải :

$A, B$ lần lượt là trung điểm của $M C$ và $M D$ .

$\Rightarrow \frac{M A}{M C} = \frac{M B}{M D} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow B A / / C D$ (định lí Thalès đảo)

$\Rightarrow \frac{M A}{M C} = \frac{M B}{M D} = \frac{B A}{C D}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Rightarrow B A = \frac{1}{2} \cdot C D = \frac{1}{2} \cdot 4.120 = 240 d m = 24 m$

Câu 36 : Để đo khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ bị ngăn cách bởi một hồ nước người ta đóng các cọc tại các vị trí $A, B, M, N, O$ như hình bên và đo được $M N = 45$ m. Tính khoảng cách $A B$ biết $M, N$ lần lượt là điểm chính giữa $O A$ và $O B$ .

A
22,5m
B
45m
C
90m
D
67,5m

Đáp án : C

Lời giải:

$M, N$ lần lượt là điểm chính giữa $O A$ và $O B$ .

$\Rightarrow \frac{O M}{O A} = \frac{1}{2}; \frac{O N}{O B} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{O M}{O A} = \frac{O N}{O B} \Rightarrow M N / / A B$ (định lí Thalès đảo)

$\Rightarrow \frac{O M}{O A} = \frac{O N}{O B} = \frac{M N}{A B}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Rightarrow A B = 2 M N = 2.45 = 90$ m.

Câu 37 : Để đo khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ bị ngăn cách bởi một hồ nước người ta đóng các cọc ở vị trí $A, B, C, D, E$ như hình vẽ. Người ta đo được $D E = 350$ m. Tính khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ .

A
175m
B
350m
C
700m
D
525m

Đáp án : C

Lời giải:

Ta có: $C D = D A = \frac{A C}{2}; C E = E B = \frac{B C}{2}$
$\Rightarrow \frac{C D}{C A} = \frac{C E}{C B} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow D E / / A B$ (định lí Thalès đảo)

$\Rightarrow \frac{C D}{C A} = \frac{C E}{C B} = \frac{D E}{A B}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Rightarrow A B = 2 D E = 2.350 = 700$ m.

Câu 38 : Giữa 2 điểm $A$ và $N$ là một một hồ nước sâu. Để tính khoảng cách giữa 2 điểm $A$ và $N$ , một học sinh đã lấy $M$ làm mốc và lấy $H, G$ lần lượt là trung điểm của $M A, M N$ . Hỏi $A$ và $N$ cách nhau bao nhiêu mét. Biết khoảng cách giữa 2 điểm $H$ và $G$ là 62m.

A
62m
B
31m
C
93m
D
124m

Đáp án : D

Lời giải :

$H, G$ lần lượt là trung điểm của $M A, M N$ .

$\Rightarrow \frac{M H}{M A} = \frac{1}{2}; \frac{M G}{M N} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{M H}{M A} = \frac{M G}{M N} \Rightarrow H G / / A N$ (định lí Thalès đảo)ư

$\Rightarrow \frac{M H}{M A} = \frac{M G}{M N} = \frac{H G}{A N}$ (hệ quả định lí Thalès)
$\Rightarrow A N = 2 H G = 2.62 = 124$ m.

Câu 39 : Nhà tâm lý học Abraham Maslow (1908 – 1970) được xem như một trong những người tiên phong trong trường phái Tâm lý học nhân văn. Năm 1943, ông đã phát triển Lý thuyết về Thang bậc nhu cầu của con người (như hình vẽ bên). Trong đó, $B K = 6$ cm. Hãy tính đoạn thẳng $C J; E H$ ?

A
$C J = 6 c m; E H = 12 c m$
B
$C J = 12 c m; E H = 24 c m$
C
$C J = 9 c m; E H = 18 c m$
D
$C J = 12 c m; E H = 18 c m$

Đáp án : B

Lời giải:

Ta có: $A B = B C = C D = D E = E F = \frac{A F}{5}$ ;

$A K = K J = J I = I H = H O = \frac{A O}{5}$

$\begin{array}{l} A C = A B + B C = 2 A B \Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{1}{2} \\ A J = A K + K J = 2 A K \Rightarrow \frac{A K}{A J} = \frac{1}{2} \end{array}} \Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{A K}{A J}$

$\Rightarrow B K / / C J$ (định lí Thalès đảo)

$\Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{A K}{A J} = \frac{B K}{C J}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Rightarrow C J = 2 B K = 2.6 = 12$ cm

$\begin{array}{l} A E = A B + B C + C D + D E = 4 A B \Rightarrow \frac{A C}{A E} = \frac{2 A B}{4 A B} = \frac{1}{2} \\ A H = A K + K J + J I + I H = 4 A K \Rightarrow \frac{A J}{A H} = \frac{2 A K}{4 A K} = \frac{1}{2} \end{array}} \Rightarrow \frac{A C}{A E} = \frac{A J}{A H}$

$\Rightarrow C J / / E H$ (định lí Thalès đảo)

$\Rightarrow \frac{A C}{A E} = \frac{A J}{A H} = \frac{C J}{E H}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Rightarrow E H = 2 C J = 2.12 = 24$ cm

Câu 40 : Để làm cây thông noel, người thợ sẽ dùng một cái khung sắt hình tam giác cân như hình vẽ bên, sau đó gắn mô hình cây thông lên. Cho biết thanh $B C = 120$ cm. Tính độ dài các thanh $G F, H E, I D$ .

A
$G F = 30 c m; H E = 60 c m; I D = 90 c m$
B
$G F = 30 c m; H E = 60 c m; I D = 120 c m$
C
$G F = 30 c m; H E = 90 c m; I D = 120 c m$
D
$G F = 60 c m; H E = 90 c m; I D = 120 c m$

Đáp án : A

Lời giải:

Ta có: $A G = G H = H I = I B = \frac{A B}{4}; A F = F E = E D = D C = \frac{A C}{4}$

Xét $Δ A B C$ có $\frac{A G}{A B} = \frac{A F}{A C} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow G F / / B C$ (định lí Thalès đảo)

$\Rightarrow \frac{A G}{A B} = \frac{A F}{A C} = \frac{G F}{B C}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Rightarrow G F = \frac{B C}{4} = \frac{120}{4} = 30$ (cm)

$\begin{array}{l} \frac{A G}{A H} = \frac{A G}{A G + G H} = \frac{A G}{2 A G} = \frac{1}{2} \\ \frac{A F}{A E} = \frac{A F}{A F + F E} = \frac{A F}{2 A F} = \frac{1}{2} \end{array}} \Rightarrow \frac{A G}{A H} = \frac{A F}{A E} = \frac{1}{2} \Rightarrow G F / / H E$ (định lí Thalès đảo)

$\Rightarrow \frac{A G}{A H} = \frac{A F}{A E} = \frac{G F}{H E}$ (hệ quả định lí Thalès)

$\Rightarrow H E = 2 G F = 2.30 = 60$ (cm)

$\begin{array}{l} \frac{A G}{A I} = \frac{A G}{A G + G H + H I} = \frac{A G}{3 A G} = \frac{1}{3} \\ \frac{A F}{A D} = \frac{A F}{A F + F E + E D} = \frac{A F}{3 A F} = \frac{1}{3} \end{array}} \Rightarrow \frac{A G}{A I} = \frac{A F}{A D} = \frac{1}{3}$