Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ

Van Anh Ngày: 15-11-2023 Lớp 11

Với giải Bài 3 trang 39 SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 1: Đạo hàm giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Đạo hàm

Bài 3 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ.

Lời giải:

a) Ta có

• $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$ ;

• $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (x^{2} - x + 2) = 2^{2} - 2 + 2 = 4$ .

Vì $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \frac{1}{3} \neq 4 = \lim_{x \to 2^{-}} f (x)$ nên f(x) gián đoạn tại 2, do đó f(x) không có đạo hàm tại 2.

b) Ta có

• $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (\frac{2}{x} + 1) = \frac{2}{1} + 1 = 3$ ;

• $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + 2) = 1^{2} + 2 = 3$ .

Vì $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 3 = \lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ nên f(x) liên tục tại 1.

Ta lại có

• $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 1}$

$= \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} (x + 3) = 1 + 3 = 4$ .

• $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{2}{x} +1 - 3}{x - 1}$

$= \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{2}{x} - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 - 2 x}{x (x - 1)}$

$= \lim_{x \to 1^{+}} - \frac{2}{x} = \frac{- 2}{1} = - 2$ .

Vì $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} \neq \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ nên không tồn tại $\lim_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ .