Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA = a và đáy ABC là tam giác vuông tại A

Van Anh Ngày: 10-11-2023 Lớp 11

Với giải Bài 7.38 trang 41 SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 27: Thể tích giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 11 Bài 27: Thể tích

Bài 7.38 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $⊥$ (ABC), SA = a và đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a $\sqrt{3}$ . Kẻ AM vuông góc với SB tại M, AN vuông góc với SC tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN.

Lời giải:

Hướng dẫn. Ta chứng minh được công thức tỉ số khoảng cách sau:

Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác với S.

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA = a

Khi đó ta có: $\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A^{'}}{S A} \cdot \frac{S B^{'}}{S B} \cdot \frac{S C^{'}}{S C}$ .

Áp dụng công thức trên với bài tập 7.38, ta có $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A}{S A} \cdot \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S C} = \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S C}$ .

Trình bày lời giải

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA = a

Ta có $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S A$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot S A$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \cdot a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ AB hay tam giác SAB vuông tại A mà SA = AB = a nên tam giác SAB vuông cân tại A.

Vì tam giác SAB vuông cân tại A, AM là đường cao nên AM đồng thời là trung tuyến, suy ra M là trung điểm SB. Do đó $\frac{S M}{S B} = \frac{1}{2}$ .

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ AC hay tam giác SAC vuông tại A

Vì tam giác SAC vuông tại A nên $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + 3 a^{2}} = 2 a$ .

Xét tam giác SAC vuông tại A, đường cao AN có $\frac{S N}{S C} = \frac{S N \cdot S C}{S C^{2}} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{1}{4}$ .

Do đó $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S C} = \frac{1}{8}$ $\Rightarrow V_{S . A M N} = \frac{1}{8} \cdot V_{S . A B C}$ $\Rightarrow V_{S . A M N} = \frac{1}{8} \cdot \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{48}$ .