Với lời giải SBT Toán 11 trang 68 Tập 1 chi tiết trong Bài 1: Giới hạn của dãy số sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 1 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. $\lim \frac{1}{2^n}=0$ .

B. $\lim {\left(\frac{3}{2}\right)}^n=0$ .

C. $\lim \frac{1}{{\left(\sqrt{2}\right)}^n}=0$ .

D. $\lim {\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^n=0$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì limqⁿ = 0 với |q| < 1 nên ta có:

$\lim \frac{1}{2^n}=\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$ do  ;

$\lim \frac{1}{{\left(\sqrt{2}\right)}^n}=\lim {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^n=0$ do  ;

$\lim {\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^n=0$ do  .

Vậy các đáp án A, C, D đúng.

Vì   nên $\lim {\left(\frac{3}{2}\right)}^n\ne 0$ , do đó đáp án B sai.

Bài 2 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limu_n = a, lim v_n = b. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. lim(u_n + v_n) = a + b.

B. lim(u_n – v_n) = a – b. 

C. lim(u_n . v_n) = a . b.

D. $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a-b}{b}$.  

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn thì ta thấy đáp án D sai.

Bài 3 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu limu_n = C và limv_n = +∞ (hoặc limv_n = −∞) thì $\lim \frac{u_n}{v_n}$  bằng:

A. 0.

B. –∞.

C. +∞.

D. –∞ hoặc +∞.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Nếu limu_n = C và limv_n = +∞ (hoặc limv_n = −∞) thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=0$ .

Bài 4 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C > 0 thì lim $\frac{u_n}{v_n}$ = +∞.

B. Nếu limu_n = −∞ và limv_­n = C, C < 0 thì lim $\frac{u_n}{v_n}$ = +∞.

C. Nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C < 0 thì lim $\frac{u_n}{v_n}$= 0.  

D. Nếu limu_n = –∞ và limv_n = C, C > 0 thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=-\infty$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo định lí giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực, nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C < 0 thì lim$\frac{u_n}{v_n}$ = –∞ nên đáp án C sai.  

Bài 5 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng? 

A. Nếu limu_n = a thì $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ .

B. Nếu limu_n = a thì a ≥ 0 và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ .

C. Nếu limu_n = a thì a ≥ 0.

D. Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và limu_n = a thì a ≥ 0 và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ . 

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn, nếu u_n ≥ 0 với mọi n và limu_n = a thì a ≥ 0 và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ . 

Bài 6 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}=0$ .

Lời giải:

Xét dãy số (u_n) có $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}$.

Giả sử h là số dương bé tùy ý cho trước. Ta có: 

Do đó, .

Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn $\frac{1}{\sqrt{h}}$  thì |u­_n| < h.

Suy ra $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}=0$ .

Bài 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với $u_n=3-\frac{4}{n+1}$ , $v_n=8-\frac{5}{3n^2+2}$ . Tính:

a) limu_n, limv_n;

b) lim(u_n + v_n), lim(u_n – v_n), lim(u_n . v_n), $\lim \frac{u_n}{v_n}$ .

Lời giải:

a) Ta có

$\lim u_n=\lim \left(3-\frac{4}{n+1}\right)=\lim 3-\lim \frac{4}{n+1}=3-0=3$;

$\lim v_n=\lim \left(8-\frac{5}{3n^2+2}\right)=\lim 8-\lim \frac{5}{3n^2+2}=8-0=8$.

b) Ta có

lim(u_n + v_n) = limu_n + limv_n = 3 + 8 = 11;

lim(u_n – v_n) = limu_n – limv_n = 3 – 8 = – 5;

lim(u_n . v_n) = limu_n . limv_n = 3 . 8 = 24;

$\lim \frac{u_n}{v_n}$$=\frac{\lim u_n}{\lim v_n}=\frac{3}{8}$.

Bài 8 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{4n+2}{3}$ ;

b) $\lim \frac{3n+4}{-5+\frac{2}{n}}$ ;

c) $\lim \frac{-3+\frac{1}{n+1}}{5^n}$ ;

d) $\lim \left(6-\frac{5}{4^n}\right)$ .

Lời giải:

a) Vì lim(4n + 2) =  = lim (n . 4) = +∞ và lim3 = 3 > 0.

Do đó, $\lim \frac{4n+2}{3}=+\infty$.

b) Vì lim(3n + 4)   = lim (n . 3) = +∞

và $\lim \left(-5+\frac{2}{n}\right)=\lim \left(-5\right)+\lim \frac{2}{n}=-5$  < 0.

Do đó, $\lim \frac{3n+4}{-5+\frac{2}{n}}=-\infty$ .

c) Vì $\lim \left(-3+\frac{1}{n+1}\right)=\lim \left(-3\right)+\lim \frac{1}{n+1}=-3$  và lim5ⁿ = +∞.

Nên $\lim \frac{-3+\frac{1}{n+1}}{5^n}=0$ .

d) $\lim \left(6-\frac{5}{4^n}\right)$$=\lim 6-\lim \frac{5}{4^n}$$=6-\lim \left(5.\frac{1}{4^n}\right)$

$=6-5\lim {\left(\frac{1}{4}\right)}^n=6-5.0=6$.