Với lời giải SBT Toán 11 trang 33 Tập 1 chi tiết trong Bài 5: Dãy số sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 5: Dãy số

Bài 2.1 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số (u_n) sau:

a) $u_n={\left(-1\right)}^{n-1}\frac{n}{2n-1}$;

b) u₁ = 1, u_n = n – u_{n – 1} (n ≥ 2). 

Lời giải:

a) $u_1={\left(-1\right)}^0.\frac{1}{2.1-1}=1$; $u_2={\left(-1\right)}^{2-1}.\frac{2}{2.2-1}=-\frac{2}{3}$; $u_3={\left(-1\right)}^{3-1}.\frac{3}{2.3-1}=\frac{3}{5}$;

$u_4={\left(-1\right)}^{4-1}.\frac{4}{2.4-1}=-\frac{4}{7}$; $u_5={\left(-1\right)}^{5-1}.\frac{5}{2.5-1}=\frac{5}{9}$.

b) u₁ = 1; u₂ = 2 – u₁ = 2 – 1 = 1; u₃ = 3 – u₂ = 3 – 1 = 2; u₄ = 4 – u₃ = 4 – 2 = 2;

u₅ = 5 – u₄ = 5 – 2 = 3.

Bài 2.2 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau:

a) u_n = n² + n + 1;

b) $u_n=\frac{2n+5}{n+2}$;

c) $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n^2+1}$.

Lời giải:

a) Ta có u_{n + 1} – u_n = [(n + 1)² + (n + 1) + 1] – (n² + n + 1)

                             = n² + 2n + 1 + n + 1 + 1 – n² – n – 1

                             = 2n + 2 > 0, ∀ n ≥ 1.

Do đó, u_{n + 1} > u_n ∀ n ≥ 1. Vậy (u_n­) là dãy số tăng.

b) Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{2\left(n+1\right)+5}{n+1+2}-\frac{2n+5}{n+2}$$=\frac{2n+7}{n+3}-\frac{2n+5}{n+2}$

          $=\frac{\left(2n+7\right)\left(n+2\right)-\left(2n+5\right)\left(n+3\right)}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$$=\frac{-1}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}<\mathrm{0,}\forall n\ge 1$.

Do đó, u_{n + 1} < u_n ∀ n ≥ 1. Vậy (u_n­) là dãy số giảm.

c) Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1-1}}{{\left(n+1\right)}^2+1}-\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n^2+1}$$=\frac{{\left(-1\right)}^n}{{\left(n+1\right)}^2+1}+\frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2+1}$

                            $={\left(-1\right)}^n\left(\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2+1}+\frac{1}{n^2+1}\right)$.

Vì $\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2+1}+\frac{1}{n^2+1}>0\forall n\ge 1$ nên hiệu u_{n + 1} – u_n dương hay âm phụ thuộc vào n, cụ thể là dương khi n chẵn và âm khi n lẻ.

Do đó, dãy số (u_n) không tăng cũng không giảm.

Bài 2.3 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $u_n=\frac{n}{2n+1}$;

b) u_n = n² + n – 1;

c) u_n = – n² + 1.

Lời giải:

a) Ta có $u_n=\frac{n}{2n+1}\ge \frac{1}{3}\forall n\ge 1$.

Lại có $u_n=\frac{n}{2n+1}=\frac{\frac{1}{2}\left(2n+1\right)-\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\left(2n+1\right)}$. Suy ra $u_n\le \frac{1}{2}\forall n\ge 1$.

Do đó $\frac{1}{3}\le u_n\le \frac{1}{2}\forall n\ge 1$. Vậy (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Ta có n – 1 ≥ 0 với mọi n ≥ 1 và n² ≥ 0 với mọi n.

Do đó, u_n = n² + n – 1 ≥ 1.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi 1 với mọi n ≥ 1.

c) Ta có u_n = – n² + 1 < 1 với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên bởi 1 với mọi n ≥ 1.