Với lời giải SBT Toán 11 trang 18 Tập 1 chi tiết trong Bài 3: Hàm số lượng giác sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài 1.18 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\cos 2x}{x^3}$ ;

b) y = x – sin 3x;

c) $y=\sqrt{1+\cos x}$ ;

d) $y=1+\cos x\sin \left(\frac{3\pi }{2}-2x\right)$ .

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {0}. Nếu kí hiệu f(x) = $\frac{\cos 2x}{x^3}$  thì với mọi x ∈ D, ta có – x ∈ D và f(– x) = $\frac{\cos 2\left(-x\right)}{{\left(-x\right)}^2}=\frac{\cos 2x}{-x^3}=-\frac{\cos 2x}{x^3}=-f\left(x\right)$ .

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số là D = ℝ. Nếu kí hiệu f(x) = x – sin 3x thì với mọi x ∈ D, ta có – x ∈ D và f(– x) = (– x) – sin 3(– x) = – x + sin 3x = – (x – sin 3x) = – f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. 

c) Tập xác định của hàm số là D = ℝ. Nếu kí hiệu f(x) = $\sqrt{1+\cos x}$  thì với mọi x ∈ D, ta có – x ∈ D và f(– x) = $\sqrt{1+\cos \left(-x\right)}=\sqrt{1+\cos x}=f\left(x\right)$ .

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

d) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Ta có $y=1+\cos x\sin \left(\frac{3\pi }{2}-2x\right)$

$=1+\cos x\left(\sin \frac{3\pi }{2}\cos 2x-\cos \frac{3\pi }{2}\sin 2x\right)$

$=1-\cos x\cos 2x$.

Nếu kí hiệu f(x) = 1 – cos x cos 2x  thì với mọi x ∈ D, ta có – x ∈ D và

f(– x) = 1 – cos (– x) cos (– 2x) = 1 – cos x cos 2x = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Bài 1.19 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) y = A sin(ωx + φ) với A > 0;

b) y = A tan(ωx + φ) với A > 0;

c) y = 3 sin 2x + 3cos 2x; 

d) $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ .

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Nếu kí hiệu f(x) = A sin(ωx + φ) thì với mọi x ∈ D, ta có

 $x+\frac{2\pi }{\omega }\in D,x-\frac{2\pi }{\omega }\in D$và

$f\left(x+\frac{2\pi }{\omega }\right)=A\sin \left(\omega \left(x+\frac{2\pi }{\omega }\right)+\phi \right)$= A sin(ωx + 2π + φ) = A sin(ωx + φ) = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là $\frac{2\pi }{\omega }$ .

b) Nếu kí hiệu D là tập xác định của hàm số f(x) = A tan(ωx + φ) thì với mọi x ∈ D, ta có:

$x+\frac{\pi }{\omega }\in D,x-\frac{\pi }{\omega }\in D$ và

$f\left(x+\frac{\pi }{\omega }\right)=A\tan \left(\omega \left(x+\frac{\pi }{\omega }\right)+\phi \right)$= A tan(ωx + π + φ) = A tan(ωx + φ) = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là $\frac{\pi }{\omega }$ .

c) Ta có 3sin 2x + 3cos 2x = 3(sin 2x + cos 2x) = $3\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ .

Theo câu a, ta suy ra hàm số y = 3sin 2x + 3cos 2x là hàm số tuần hoàn chu kì $\frac{2\pi }{2}=\pi$ .

d) Ta có $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$

$=3.2\sin \frac{\left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)}{2}\cos \frac{\left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)}{2}$

$=3\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{12}\right)$.

Vậy theo câu a, hàm số $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$  là hàm số tuần hoàn chu kì $\frac{2\pi }{2}=\pi$ .

Bài 1.20 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?

a) tan x cot x = 1;

b) 1 + tan² x = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ ;

c) 1 + cot² x = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ ;

d) tan x + cot x = $\frac{2}{\sin 2x}$ .

Lời giải:

a) Đẳng thức tan x cot x = 1 đúng với mọi x khi tan x và cot x có nghĩa, tức là

⇔ 2sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ (k ∈ ℤ) $\iff x\ne k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

b) Đẳng thức 1 + tan² x = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$  đúng với mọi x khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ $\frac{\pi }{2}$  + kπ (k ∈ ℤ).

c) Đẳng thức 1 + cot² x = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$  đúng với mọi x khi sinx ≠ 0, tức là x ≠ kπ (k ∈ ℤ). 

d) Đẳng thức tan x + cot x = $\frac{2}{\sin 2x}$  đúng với mọi x khi

⇔ 2sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ (k ∈ ℤ) 

$\iff x\ne k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Bài 1.21 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Từ đồ thị hàm số y = cos x, hãy vẽ các đồ thị hàm số sau:

a) y = – cos x;

b) y = |cos x|;

c) y = cos x + 1;

d) $y=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ .

Lời giải:

a) Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = cos x qua trục hoành ta được đồ thị hàm số y = – cos x.

Trong hình trên, đồ thị hàm số y = cos x là đường nét đứt còn đồ thị hàm số y = – cos x là đường nét liền.

b) Ta có 

Từ đó, để vẽ đồ thị hàm số y = |cos x| đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y = cos x, sau đó giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = cos x ở phía trên trục Ox và lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị hàm số y = cos x ở phía dưới trục Ox.

Trong hình dưới đây, đồ thị hàm số y = |cos x| là đường nét liền.

c) Để vẽ đồ thị hàm số y = cos x + 1, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y = cos x, sau đó dịch chuyển đồ thị này dọc theo trục Oy lên phía trên 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = cosx + 1. Trong hình dưới đây, đồ thị hàm số y = cos x + 1 là đường nét liền.

d) Để vẽ đồ thị hàm số $y=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$  đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y = cos x, sau đó dịch chuyển đồ thị này dọc theo trục Ox sang bên trái $\frac{\pi }{2}$  đơn vị ta sẽ được đồ thị hàm số $y=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ . Trong hình vẽ dưới đây đồ thị hàm số $y=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$  là đường nét liền.

Chú ý rằng $\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x$  nên đồ thị hàm số $y=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$  cũng có thể có được bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số y = sin x qua trục Ox.

Bài 1.22 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Từ đồ thị hàm số y = sin x, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn   sao cho:

a) sin x = 0;                                       b) sin x > 0. 

Lời giải:

a) Trên đoạn , đồ thị hàm số y = sinx cắt trục Ox tại bốn điểm x = − π, x = 0, x = π và x = 2π. Suy ra có bốn giá trị của x để sin x = 0 trên đoạn   là x = − π, x = 0, x = π và x = 2π.

b) Giải bất phương trình sinx > 0 là tìm những khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = sinx nằm phía trên trục Ox. Từ đó, ta được tập nghiệm của bất phương trình sinx > 0 trên đoạn   là $S=\left(-\frac{3\pi }{2};-\pi \right)\cup \left(0;\pi \right)\cup \left(2\pi ;\frac{5\pi }{2}\right)$ .

Bài 1.23 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Một con lắc lò xo dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng theo phương trình y = 25 sin 4πt ở đó y được tính bằng centimét còn thời gian t được tính bằng giây.

a) Tìm chu kì dao động của con lắc lò xo.

b) Tìm tần số dao động của con lắc, tức là số lần dao động trong một giây.

c) Tìm khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất của con lắc.

Lời giải:

a) Hàm số y = 25 sin 4πt tuần hoàn với chu kì T = $\frac{2\pi }{4\pi }=\frac{1}{2}$ .

Suy ra chu kì dao động của con lắc lò xo (tức là khoảng thời gian để con lắc thực hiện được một dao động toàn phần) là T = $\frac{1}{2}$  giây.

b) Vì chu kì dao động của con lắc là T = $\frac{1}{2}$  giây nên trong 1 giây con lắc thực hiện được 2 dao động, tức là tần số dao động của con lắc là $f=\frac{1}{T}$ = 2 Hz.

c) Vì phương trình dao động của con lắc là y = 25 sin 4πt nên biên độ dao động của nó là A = 25 cm. Từ đó suy ra, khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của con lắc là 2A = 50 cm.