Với lời giải SBT Toán 11 trang 17 Tập 1 chi tiết trong Bài 3: Hàm số lượng giác sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài 1.16 trang 17 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = cot 3x;

b) $y=\sqrt{1-\cos 4x}$ ;

c) $y=\frac{\cos 2x}{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}$ ;

d) $y=\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{1-\sin 2x}}$ .

Lời giải:

a) Biểu thức cot 3x có nghĩa khi sin 3x ≠ 0 hay $3x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  hay $x\ne k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ .

Vậy tập xác định của hàm số là  .

b) Biểu thức $\sqrt{1-\cos 4x}$ có nghĩa với mọi x vì cos 4x ≤ 1 với mọi x hay 1 – cos 4x ≥ 0 với mọi x.

Vậy tập xác định của hàm số là ℝ.

c) Biểu thức $\frac{\cos 2x}{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}=\frac{\cos 2x}{-\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)}=\frac{\cos 2x}{-\cos 2x}$  có nghĩa khi

cos 2x ≠ 0 hay $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ , tức là $x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ .

Vậy tập xác định của hàm số là  .

d) Ta có cos 2x ≥ – 1 nên 1 + cos 2x ≥ 0 với mọi x.

sin 2x ≤ 1 nên 1 – sin 2x ≥ 0 với mọi x.

Do đó, biểu thức $\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{1-\sin 2x}}$  có nghĩa khi sin 2x ≠ 1 hay  $2x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, tức là $x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ .

Vậy tập xác định của hàm số là  .

Bài 1.17 trang 17 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2 + 3|cosx|;

b) y = $2\sqrt{\sin x}$  + 1;

c) y = 3 cos² x + 4 cos2x;

d) y = sin x + cos x.

Lời giải:

a) Vì 0 ≤ |cos x| ≤ 1 nên 0 ≤ 3|cos x| ≤ 3, do đó 2 ≤ 2 + 3|cos x| ≤ 5 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi

|cos x| = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi

cos x = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$  + kπ (k ∈ ℤ).

b) Điều kiện sin x ≥ 0. Vì 0 ≤ $\sqrt{\sin x}$  ≤ 1 nên 0 ≤ 2 $\sqrt{\sin x}$ ≤ 2,

do đó 1 ≤ 2 $\sqrt{\sin x}$ + 1 ≤ 3 với mọi x thoả mãn 0 ≤ sin x ≤ 1.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi sin x = 1 hay $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sin x = 0 hay x = kπ (k ∈ ℤ).

c) Ta có y = 3 cos² x + 4 cos2x $=3.\frac{1+\cos 2x}{2}+4\cos 2x$$=\frac{3}{2}+\frac{11}{2}\cos 2x$ .

Vì – 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên $-\frac{11}{2}\le \frac{11}{2}\cos 2x\le \frac{11}{2}$ ,

do đó $-4=\frac{3}{2}-\frac{11}{2}\le \frac{3}{2}+\frac{11}{2}\cos 2x\le \frac{3}{2}+\frac{11}{2}=7$  với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi

cos 2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 4, đạt được khi

cos 2x = – 1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$  + kπ (k ∈ ℤ).

d) Ta có y = sin x + cos x = $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ .

Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$  nên $-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}$ , với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$ , đạt được khi  $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$

$\iff x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ hay $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}$ , đạt được khi  $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$

$\iff x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ hay $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .