Với lời giải Toán 11 trang 54 Tập 1 chi tiết trong Bài 2: Cấp số cộng sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Hoạt động khám phá 2 trang 54 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n). Hãy cho biết các hiệu số sau đây gấp bao nhiêu lần công sai d của (u_n) : u₂ – u₁; u₃ – u₁; u₄ – u₁; ...; u_n – u₁.

Lời giải:

Ta có:

u₂ – u₁ = d;

u₃ – u₁ = 2d;

u₄ – u₁ = 3d;

...

u_n – u₁ = (n – 1)d.

Thực hành 3 trang 54 Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:

a) Cấp số cộng (a_n) có a₁ = 5 và d = – 5;

b) Cấp số cộng (b_n) có b₁ = 2 và b₁₀ = 20.

Lời giải:

a) Cấp số cộng (a_n) có a₁ = 5 và d = – 5

Số hạng tổng quát là:

a_n = a₁ + (n – 1).d = 5 + (n – 1).(– 5) = 5 + – 5n + 5 = – 5n + 10.

b) Cấp số cộng (b_n) có b₁ = 2 và b₁₀ = 20.

Số hạng tổng quát là: b_n = b₁ + (n – 1)d

Khi đó b₁₀ = 2 + (10 – 1).d = 2 + 9d = 20

⇒ d = 2

Vậy số hạng tổng quát là: b_n = 2 + (n – 1).2 = 2n.

Vận dụng 2 trang 54 Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (c_n) có c₄ = 80 và c₆ = 40.

Lời giải:

Ta có: c₄ = c₁ + 3d = 80 và c₆ = c₁ + 5d = 40. Khi đó ta có hệ phương trình:

.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là:

c_n = 140 + (n – 1).(– 20) = – 20n +160.

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng (c_n) là: c_n = – 20n + 160.

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Hoạt động khám phá 3 trang 54 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) có công sai d.

a) Tính các tổng u_n + u₁; u₂ + u_n-1; u₃ + u_n-2; ...; u_k + u_n-k+1 theo u₁, n và d.

b) Chứng tỏ rằng 2(u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n) = n(u₁ + u_n).

Lời giải:

a) Ta có: u_n = u₁ + (n – 1)d, u_n-1 = u₁ + (n – 1 – 1)d = u₁ + (n – 2)d

Khi đó:

u₁ + u_n = u₁ + u₁ + (n – 1)d = 2u₁ + (n – 1)d;

u₂ + u_n-1 = u₁ + d + u₁ + (n – 2)d = 2u₁ + (n – 1)d;

u₃ + u_n-2 = u₁ + 2d + u₁ + (n – 3)d = 2u₁ + (n – 1)d;

...

u_k + u_n-k+1 = u₁ + (k – 1)d + u₁ + (n – k + 1 – 1)d = 2u₁ + (n – 1)d;

Vậy u₁ + u_n = u₂ + u_n-1 = u₃ + u_n-2 = ... = u_k + u_n-k+1.

b) Ta có: 2(u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n)

= 2[(u₁ + u_n) + (u₂ + u_n-1) + (u₃ + u_n-2) + ... + (u_k + u_n-k+1)]

= 2[(u₁ + u_n) + (u₁ + u_n) + ... + (u₁ + u_n)]

= $2.\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)$ = n(u₁ + u_n) .