Cho tam giác ABC không vuông tại A. Dựng bên ngoài tam giác đó hai tam giác ABD, ACE

Đỗ Thị Ngọc Ánh Ngày: 14-08-2023 Lớp 8

5.3 K

Với giải Bài 3.19 trang 37 SBT Toán lớp 8 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 12: Hình bình hành giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 8 Bài 12: Hình bình hành

Bài 3.19 trang 37 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC không vuông tại A. Dựng bên ngoài tam giác đó hai tam giác ABD, ACE vuông cân tại đỉnh A rồi dựng hình bình hành AEID.

a) Chứng minh hai tam giác ABC và DAI bằng nhau.

b) Chứng minh đường thẳng AI vuông góc với BC.

c) Chứng minh đường thẳng BE vuông góc với đường thẳng CD.

d) Gọi K là trung điểm của BD, chứng minh KC = KI và KC vuông góc với KI. (Gợi ý: Chứng minh hai tam giác AKI và BKC bằng nhau).

Lời giải:

Cho tam giác ABC không vuông tại A. Dựng bên ngoài tam giác đó hai tam giác ABD

a) Hình bình hành AEID có $\hat{A D I} + \hat{D A E} = 180 °$ (hai góc kề một cạnh của hình bình hành)

Ta có: $\hat{D A E} + \hat{D A B} + \hat{B A C} + \hat{C A E} = 360 °$

Mà ∆ABD vuông tại A, ∆ACE vuông tại A, suy ra

Suy ra $\hat{B A C} + \hat{D A E} = 360 ° - 90 ° - 90 ° = 180 °$

Vậy $\hat{A D I} = \hat{B A C .}$

Do ∆ABD vuông cân tại A nên AD = AB

∆ACE vuông cân tại A nên AC = AE

Mà AEID là hình bình hành nên AE = DI, do đó DI = AC.

Xét ∆ADI và ∆BAC có

AD = AB, , DI = AC (chứng minh trên)

Suy ra ∆ADI = ∆BAC (c.g.c).

b) Giả sử AI cắt BC ở H .

Ta có: $\hat{D A I} + \hat{D A B} + \hat{B A H} = 180 °$ , mà $\hat{D A B} = 90 °$ (do ∆DAB vuông cân tại A)

Suy ra $\hat{D A I} + \hat{B A H} = 90 °$

Mà $\hat{D A I} = \hat{A B C}$ (do ∆ADI = ∆BAC) nên $\hat{A B H} + \hat{B A H} = 90 °$

Trong ∆ABH có: $\hat{A B H} + \hat{B A H} + \hat{A H B} = 180 °$

Suy ra $\hat{A H B} = 180 ° (\hat{A B H} + \hat{B A H}) = 180 ° - 90 ° = 90 °$ hay AI ⊥ BC.

c) Ta có $\hat{B A E} = \hat{B A C} + \hat{C A E} = \hat{B A C} + 90 °$ và $\hat{D A C} = \hat{B A C} + \hat{B A D} = \hat{B A C} + 90 °$

Do đó $\hat{B A E} = \hat{D A C}$

Xét ∆BAE và ∆DAC có:

AB = AD; $\hat{B A E} = \hat{D A C}$ ; AC = AE

Do đó ∆BAE = ∆DAC (c.g.c)

Suy ra $\hat{E B A} = \hat{C D A}$

Gọi J là giao của DC và BE, ta có $\hat{J B A} = \hat{J D A} .$

Gọi P là giao điểm của AB và CD.

Tam giác ADP vuông tại A nên $\hat{P D A} + \hat{D P A} = 90 °$

Mà $\hat{P D A} = \hat{J B P}$ và $\hat{D P A} = \hat{B P J}$ (đối đỉnh)

Do đó $\hat{J B P} + \hat{B P J} = 90 °$ , suy ra $\hat{P J B} = 90 °$ hay CD vuông góc với BE.

d) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AK vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó $\hat{D A K} = \frac{1}{2} \hat{B A D} = 45 °$